复变函数部分习题解答分析(复拉).pdf

复变函数部分习题解答分析 作业卷 一 一 判断题 1 复数7 6i 1 3i 两个复数 只有都是实数时 才可比较大小 2 若z 为纯虚数 则z 6 z 按书上定义 纯虚数指yi y 6 0 若z yi 则 z yi 3 函数w arg z 在z 3处不连续 当z 从下方 3时 w arg z 的极限为 当z 从上方 3时 w arg z 的极限为 4 f z u iv 在z0 x0 iy0点连续的充分必要条件是u x y v x y 在 x0 y0 点连续 Th1 4 3 5 参数方程z t2 ti t为实参数 所表示的曲线是抛物线y x2 x y2 二 填空题 1 若等式i 5 7i x i y i 成立 则x y 分析 两复数相等的定义 x 6 y 1 或x 1 y 6 2 方程Im i z 3表示的曲线是 分析 由复数相等 Im i z Im i x iy Im x 1 y i 1 y 3 故填y 2 3 方程z3 27 0的根为 分析 z3 27ei z 271 3 cos 2k 3 sin 2k 3 k 0 1 2 z 3 3 2 3 2 3i 4 复变函数w z 2 z 1 的实部u x y 虚部v x y 分析 将z x iy 代入 分离实部 虚部 得u x y x2 x y2 2 x 1 2 y2 v x y 3y x 1 2 y2 5 设 z1 2i z2 1 i 则Arg z1z2 分析 arg z1 2 arg z2 4 Arg z1z2 2 4 2k 4 2k k 0 1 2 6 复数z 12 2i的三角表示式为 指数表示式为 分析 4 cos 5 6 isin 5 6 4e i 5 6 三 计算 证明题 1 求出复数z 1 3i 4 的模和辐角 解 z 1 3i 4 24 cos 2 3 isin 2 3 4 16ei 8 3 z 16 Arg z 2 3 2k k 0 1 2 2 设z x iy 满足Re z2 3 4 求x与y 的关系式 解 Re z2 4 Re x2 y2 3 2xyi 4 x2 y2 1 3 求f z 1 z 将平面上的直线y 1所映射成w平面上的曲线方程 解 由w 1 z 得z 1 w x iy 1 u iv u u2 v2 v u2 v2i 又由y 1得 v u2 v2 1 u2 v2 v 0 4 求角形域0 arg z 3 在映射w z 下的象 解 arg w arg z 而 3 arg z 0 角形域0 arg z 3 在映射w z 下的象为 3 arg w 0 5 函数f z u x y iv x y 在点z0 x0 iy0可微等价于u x y 和v x y 在点 x0 y0 可微 函数f z u x y iv x y 在点z0 x0 iy0可微等价于u x y 和v x y 在点 x0 y0 可微且满 足C R条件 反例u x v y du dx 0dy dv 0dx dy u v 都可微但f z u iv x iy 无 处可微 6 函数ez是周期函数 2 i为其周期 二 填空题 1 设ez 3 4i 则Re iz 分析 对z 3 4i两边取自然对数 有z Ln 3 4i ln 3 4i iarg 3 4i 2k i 从 而Re iz i iarg 3 4i 2k i arctan 4 3 2k 1 注 这里是从集合角度说 2 3i 分析 3i eiLn3 ei ln3 iarg 3 2k i ei ln3 2k i e2k cosln3 isinln3 3 1 i i 分析 1 i i eiLn 1 i ei ln 1 i iarg 1 i 2k i ei ln 2 i 4 2k i e2k 4 cosln 2 isinln 2 4 cos2i 分析 cos2i ei2i e i2i 2 e2 e 2 2 cosh2 注 后两结果都可 5 方程eiz e iz的解为z 分析 两边同乘以eiz 得e2iz 1 两边取自然对数 得2iz Ln1 ln 1 iarg 1 2k i 2k i z k 6 设z x iy 则ei 2z的模为 分析 ei 2z ei 2 x iy e 2x 7 函数f z u iv 在z0 x0 iy0点连续是f z 在该点解析的条件 分析 f z 在该点解析 则f z 在该点的某一个邻域内可导 在该点当然连续 填必要 三 计算 证明题 1 问k 取何值时 f z k ln x2 y2 iarctan y x 在域x 0内是解析函数 分析 解析的充要条件 ux 2kx x2 y2 uy 2ky x2 y2 vy 1 x 1 y x 2 x x2 y2 vx y x2 y2 由ux vy uy vx得 k 1 2 即k 1 2 时f z 在域x 0内是解析函数 2 讨论函数f z x y 2 2 x y i在何处可导 何处解析 并求其可导点处的导数 分析 可导与解析的概念及其联系 可导与解析的充要条件 ux 2 x y uy 2 y x vx 2 vy 2 由ux vy uy vx得 x y 1 故f z 仅在x y 1上可导 f0 z ux ivx 2 2i 无处解析 3 若函数f z u iv 解析 且u v2 求证f z 为一常数 2 分析 解析的充要条件 u x 2vvx vy u y 2vvy vx两式相乘并整理得 4v2 1 vxvy 0 由以上 三式易得vx vy 0 v为常数 又u v2 u为常数 从而f z const 4 若函数f z u iv 解析 且u v x y x2 4xy y2 试求u x y 和v x y 分析 解析的充要条件 由u v x y x2 4xy y2 0 得u v x3 3x2y 3xy2 y3 又 由ux vy uy vx 得 vx 3x2 6xy 3y2 vy 1 vy 3x2 6xy 3y2 vx 2 由 1 2 得vy 6xy v 3xy2 C x 3 ux vy 6xy u 3x2y D y 4 将 3 4 代入 0 式 得u 3x2y y3 C v 3xy2 x3 C 5 求方程chz 0的全部解 分析 双曲函数的定义 解法一 chz ch z ch iiz cos iz 0 z k 1 2 i 解法二 chz ez e z 2 0 e2z 1 0 2z Ln 1 ln 1 iarg 1 2k i z k 1 2 i 作业卷 三 一 判断题 1 设C 为f z 的解析域D内的一条简单正向闭曲线 则HCf z dz 0 分析 f z 的解析域D不足以保证f z 在C上及内解析 关键词 单连通区域 反例 f z 1 z 在0 z 0 0 if 0 于是 f 3 5i 0 f 1 2 i 2 1 1 8 i f0 1 2 i 4z 1 z 1 10 i 说明 由于提取出 了 f z 的表达式 后面的计算异常简单 三 计算 证明题 1 设点A B 分别为z1 i和z2 1 i 试计算 R C z 2dz 的值 其中C 为 1 点z 0到点z2的直线段 2 由点z 0沿直线到z1再到z2的折线段OAB 解 1 该直线段的参数方程 x t y t 0 t 1 R C z 2dz R 1 0 t2 t2 d t it 2 3 i2 3 2 Oz1段参数方程 x 0 y y 0 y 1 z1z2段参数方程 x x y 1 0 x 1 R C z 2dz R 1 0 y2d iy R 1 0 x2 1 d x i1 4 3 1 3i 2 设C 为从 2到2的上半圆周 计算积分 R C 2z 3 z dz 的值 解法一 I R C 2 3 z dz 2z 3lnz 2 2 8 3 i 解法二 该半圆周参数方程 x 2cos y 2sin 从 到0 I R 0 2ei 3 2ei d 2ei 8 3 i 3 计算 R i 0 cosz dz 解 I sinz 1 0 sini ie e 1 2 4 计算 H C 2z 1 2i z 1 z 2i dz 其中C 为正向圆周 z 3 解法一 I H C 1 z 1 dz H C 1 z 2i dz 2 i 2 i 4 i 解法二 作两正向小圆C1 z 1 1 10 C2 z 2i 1 10 则由复合闭路定理 I H C1 2z 1 2i z 2i z 1 dz H C2 2z 1 2i z 1 z 2i dz 2 i2z 1 2i z 2i z 1 2 i2z 1 2i z 1 z 2i 4 i 5 计算积分 1 2 i H C ez z 1 z 3 dz 1 当点0在C 内 点1在C 外 2 当点1在C 内 点0在C 外 3 当点0 1均 在C 内 4 当点0 1均在C 外 1 I 1 2 i H C ez 1 z 3 z dz ez 1 z 3 z 0 1 2 I 1 2 i H C ez z z 1 3 dz 1 2 e z z 00 z 1 e 2 3 1 e 2 4 0 6 证明u x y y3 3x2y 为调和函数 再求其共轭调和函数v x y 并写出f z u iv 关于z 的表 达式 证 ux 6xy uxx 6y uxy 6x uy 3y2 3x 2 uyx 6x uyy 6y u的所有二阶偏导数存在 且连续 uxx uyy 0 u x y 为调和函数 vy ux 6xy v R 6xy dy 3xy2 x uy 3y2 3x2 vx 3y2 0 x x x3 C v x3 3xy2 C 为求f z 的表达式 先考察f0 z f0 z ux ivx ux iuy 6xy i 3y2 3x2 3iz2 从 而f z iz3 iC 其中C 为实的常数 说明 此题也可这样做 由u先求f0 f0 ux iuy 求出f 后再根据f u iv 定v 这样定的u v 由 解析函数性质 均为调和函数 且v 为u的共轭调和函数 这样做显然简单 求f z 的表达式另法 f x f x i0 u x 0 iv x 0 i x3 C ix3 iC 故f z iz3 iC 此法理论依据是什么 解析函数的惟一性定理 已知调和函数u求解析函数 f z u iv 公式 f z 2u z 2 z 2i u 0 0 iC u x y 1 2 f x iy f x iy f x iy u x y iv x y f x iy u x y iv x y 作业卷 四 一 判断题 1 数列zn n 1 ni n 必收敛 4 分析 收敛到1 注意区分数列收敛与级数收敛 2 设zn xn iyn 则级数 P n 1zn收敛的充要条件是级数 P n 1xn与 P n 1yn都收敛 分析 Th4 1 2 3 每个幂级数必在其收敛圆上收敛 反例 P n 1 zn n 在其收敛圆 z 1上的点z 1处发散 4 若幂级数 P n 1an z 1 n 在点z i收敛则它必在点z i收敛 反例 an 1 n 1 1 i n 则在z i点收敛 P n 1 1 n 1 i n 1 i n P n 1 1 n i n 在z i点发 散 P n 1 1 n 1 i n 1 i n P n 1 1 n 5 若幂级数 P n 1anz n 在z 2i处收敛 则它必在z 1处收敛 Th4 2 1 Abel定理 二 填空题 1 设 P n 1anz n 的收敛半径为R 则幂级数 P n 1 an n zn的收敛半径为 R 说明 原题 设 P n 1anz n 的收敛域为 z R 则幂级数 P n 1 an n zn的收敛域为 只能由具 体问题而定 一般不会得到 z 1 R 反例 P n 1z n 收敛域为 z 1 而 P n 1 z 1 n n 的收敛域显然 不是 z 1 1 2 幂级数 P n 1 n 2n z i n 的收敛圆的中心为 收敛半径为 i 2 3 函数f z tanz 在z0 4 处所展泰勒级数的收敛半径为 4 说明 收敛圆的中心到其最近奇点的距离 4 设f z cosz z2 z i 的洛朗级数展开式为 P n cn z i n 则其收敛圆环域为 A 1 z i B 0 z 1或1 z C 0 z i 1或1 z i D 1 z i 分析 C 在f z 的解析区域中的所有收敛圆环域 三 计算 证明题 1 将函数f z R z 0 ez 2 dz 在z0 0处展成泰勒级数 并指出其收敛半径 解 ez 2 1 z2 z4 2 z6 3 z2n n R z 0 ez 2 dz z 1 3z 3 1 2 z5 5 1 3 z7 7 1 n z2n 1 2n 1 P n 0 z2n 1 n 2n 1 R 2 将f z 1 z 1 z 2 分别在下列圆环域内展成洛朗级数 1 0 z 1 2 1 z 1 解 1 1 z 1 2 1 1 z 0 1 z z2 zn 0 1 2z nzn 1 f z 1 z 1 z 2 P n 1nz n 2 2 f z 1 z 1 z 2 1 z 1 3 1 1 1 z 1 1 z 1 3 P n 0 1 n z 1 n P n 0 1 n z 1 n 3 3 将f z 1 z2 z 2 3 在圆环域0 z 2 1 极点 则z0必为f0 z 的m 1级极点 f z z z z0 m z z z0 m f0 z 0 z z z0 m m z z z0 m 1 z z0 0 z m z z z0 m 1 4 z0 0是 tanz z 的可去奇点 lim z z0 tanz z 1 5 已知 1 z 1 z 2 P n 0 1 n z 2 n 2在1 z 2 内成立 由式中c 1 0知 Res 1 z 1 z 2 2 0 c 1 0指的是在2的某空心邻域内的展式 事实上 Res 1 z 1 z 2 2 limz 2 z 2 1 z 1 z 2 1 二 选择 填空题 1 z0 1为函数 z 1 2e 1 z 1的 A 二级零点 B 一级极点 C 可去奇点 D 本性奇点 D ez P n 0 zn n z 1 2e 1 z 1 P n 0 1 n z 1 n 2 2 z0 1是f z ln 1 z 的 A 非孤立奇点 B 一级极点 C 可去奇点 D 本性奇点 A 参考 ln z 的解析性 3 z0 0为函数 cosz z2sinz的 级极点 3 分子cos0 1 6 0 z0 0为分母z2sinz的3级零点 4 Res z z 2i 2 2i 1 Res z z 2i 2 2i 1 2 1 lim z 2i d dz z 2i 2z z 2i 2 1 三 计算 证明题 1 判断下列函数的孤立奇点的类型 对其极点 指出其级数 1 f z tanz zk k 2 k 取所有整数 一级极点 2 g z ez z2 ez 1 z0 0为3级极点 zk 2k i k 6 0 一级极点 2 求下列函数在有限孤立奇点处的留数 1 f z 1 cosz z2 2 f z z 1 z2 2z 3 f z 1 e2z z4 4 f z 1 z4 z2 1 3 5 f z ze 3 z 解 1 法1 f z 的有限孤立奇点仅有z 0 f z 1 2 z2 4 1 n 1 z 2n 2 2n 由此得Res f 0 c 1 0 法2 f z 的有限孤立奇点仅有z 0 lim z 0 1 cosz z2 lim z 0 sinz 2z lim z 0 cosz 2 1 2 罗比达法则 0为f z 的可去奇点 Res f 0 0 注 有判断错奇点类型的情况 如一阶极点 二阶极点等 可最终留数正确 为什么 言多必有失 少说为 妙 2 Res f 0 lim z 0zf z limz 0 z 1 z 2 1 2 Res f 2 lim z 2 z 2 f z limz 2 z 1 z 3 2 3 法1 f z 1 e2z z4 1 z4 1 1 2z 2z 2 2 2z 3 2z n n 由此得 Res f 0 c 1 4 3 法2 Res f 0 1 4 1 lim z 0 z 4f z 000 1 6lim z 0 1 e 2z 000 4 3 4 Res f i 1 2 lim z i d2 dz2 z i 31 z4 z i 3 z i 3 3 8i Res f i 1 2 lim z i d2 dz2 z i 31 z4 z i 3 z i 3 3 8i 5 f z ze 3 z z 1 3 z 32 2 z2 3n n zn Res f 0 c 1 9 2 作业卷 六 6 1 求 f z cot z z 1 2 的孤立奇点 解f z cos z z 1 2sin z z 1 为 f z 的三级极点 z 0 1 2 3 为一级极点 2 设 C 为圆周 z 2 的正向 求 H C z z4 1 dz 解 z z4 1 有四个奇点 1 1 i i Res f 1 lim z 1 z 1 z z2 1 z 1 z 1 1 4 Res f 1 lim z 1 z 1 z z2 1 z 1 z 1 1 4 Res f i lim z i z i z z2 1 z i z i 1 4 Res f i lim z i z i z z2 1 z i z i 1 4 故 H C z z4 1 dz 2 i P4 n 1Res f zi 0 其中zi指上述奇点 i 1 2 3 4 3 计算H z 1z4sin 1 z dz 解原式 H z 1z 4 1 z 1 3 z3 1 5 z5 dz 2 i 1 5 60i 4 求 R C cosz 1 sinz dz 其中C 为 z 3 4 2 的正向 解 cosz 1 sinz 的奇点为 z k k 为任意整数 但在 C 内只有奇点 z C 上无奇点 故 原式 2 iRes f 2 ilim z z cosz 1 sinz 2 ilim z 1 cos 2 4 i 5 设z0为f z 的一级极点 且Res f z z0 a 而 z 在z0点解析 z0 b 6 0 试证 Res f z z z0 ab 证由Res f z z0 a 及z0为f z 的一级极点 可设f z P n 1cn z z0 n c 1 a 由 z 在 点z0解析 可设 z P n 0dn z z0 n d0 b 则f z z P n 1cn z z0 n P n 0dn z z0 n 其中z 1项系数为c 1d ab 即Res f z z z0 ab 注 由证明可以看出 b 6 0无关紧要 也可用一阶极点留数的求法证 6 计算积分 R 2 0 1 2 cos d cf 课本p 94 例5 4 1 7 计算积分 R xsinx x2 4 dx 解R xeix x2 4 dx R xcosx x2 4 dx i R xsinx x2 4 dx 2 ilim z 2i z 2i zeiz z 2i z 2i e 2i 由此得 R xsinx x2 4 dx e 2 作业卷 八 1 写出下列Laplace变换结果 L e 3tcos2t L R 1 0 cos2tdt L tcos2t L t 1 2e t 解 1 L cos2t s s2 4 由位移性质 L e 3t cos2t s 3 s 3 2 4 2 L R 1 0 cos2tdt L sin2 2 sin2 2s 3 L cos2t s s2 4 由象函数的微分性质 L tcos2t d ds s s2 4 s2 4 s2 4 2 4 L t 1 2e t L t2 2t 1 e t L t2e t L 2te t L e t 1 2 d 2 ds2 1 s 1 2 1 d ds 1 s 1 1 s 1 s2 1 s 1 3 2 求下列函数的拉氏变换 1 f t 3 0 t 2 2t 2 2 f t R t 0 sint t dt 3 f t sin2kt 4 f t 1 t u t 1 2 解 1 L f t R 0 f t e stdt R 2 0 3e stdt R 2 2e stdt 3 s 1 se 2s 2 L f t 1 sL sint t 1 s R s 1 s2 1 ds 1 s arctans s 1 sarccots 3 L f t L 1 cos2kt 2 1 2 L 1 L cos2kt 1 2 1 s s s2 4k2 2k2 s s2 4k2 4 L 1 t u t 1 2 1 s 1 1 se s 2 3 求拉式逆变换 1 L 1 1 s4 Res est s4 0 展开 t3 6 2 L 1 1 s2 s 1 L 1 1 s 1 s2 1 s 1 e t t 1 3 L 1 s 2 2s 1 s s 1 2 L 1 1 s 2 s 1 2 s 1 2 1 2e t 2tet 2 1 t et 1 4 求下列函数的拉氏变换 1 f t et e2t t 2 f t t R t 0 e 3