机械振动5多自由度振动7矩阵迭代法.ppt

5 7矩阵迭代法 2020年3月3日 振动力学 2 求多自由度系统的固有频率和模态是振动分析的主要内容 下面介绍矩阵迭代法求系统的最低几阶固有频率和模态 随着自由度的增加 计算系统的固有频率和模态难度增大 采用近似解 是个好办法 特别是借助计算机 很有效 对于系统的任意阶固有频率和模态都有 2020年3月3日 振动力学 3 任选系统的一个假设模态w 它一般不是真实模态 但总能表示为真实模态的线性组合 上式左乘D矩阵 上式再左乘一次D矩阵 2020年3月3日 振动力学 4 k次左乘D矩阵 相当于k次迭代 后 由于 每作一次迭代上式括号内第一项的优势就加强一次 2020年3月3日 振动力学 5 k次迭代后 由于 每作一次迭代上式括号内第一项的优势就加强一次 迭代次数愈多 上式括号内第二项所包含的高于一阶的模态成分所占比例愈小 将Dkw作为一阶模态的k次近似 记作wk 则矩阵迭代法的计算公式为 2020年3月3日 振动力学 6 k次迭代 当迭代次数k足够大 除一阶模态以外的其余高阶模态成分小于容许误差时 即可将其略去 得到 于是k次迭代后的模态近似地等于第一阶真实模态 对wk再作一次迭代 在wk和wk 1中任选第j个元素wj k和wj k 1 其比值关系如下 2020年3月3日 振动力学 7 k次矩阵迭代 在具体计算过程中 前k次迭代均应进行归一化 如使每个模态的最后元素成为1 使得各次迭代的模态之间具 在第k 1次迭代后 不需归一化 以算出基频 第一阶模态 第一阶固有频率 有可比性 也避免计算过程中模态迭代的数值过大或过小 2020年3月3日 振动力学 8 例5 7 1 三自由度系统 试用矩阵迭代法计算基频和第一阶模态 解 先求系统的柔度矩阵 由定义求或求刚度矩阵的逆阵 仅对m1施加F1 1 各坐标的位移 仅对m2施加F2 1 各坐标的位移 仅对m3施加F3 1 各坐标的位移 2020年3月3日 振动力学 9 假设模态为 系统的动力矩阵 第一次迭代 归一化 2020年3月3日 振动力学 10 第二次迭代 归一化 第三次迭代 归一化 2020年3月3日 振动力学 11 第四次迭代 归一化 第五次迭代 归一化 2020年3月3日 振动力学 12 终止迭代 为第一阶模态 利用和的最后一个元素计算基频 2020年3月3日 振动力学 13 采用常规方法 基频 采用矩阵迭代法 基频 第一阶模态 第一阶模态 基频误差为0 2 模态在精确到四位小数时 完全一致 正则化第一阶模态 2020年3月3日 振动力学 14 趋于零的速度 从迭代过程看出 获得模态 收敛 的速度取决于 主要体现在两个方面 一是 1比 2大多少 相差越大 收敛越快 迭代次数越少 二是 假设模态选取的准确性 w越接近于第一阶模态u1 收敛速度越快 迭代次数越少 有时从模型可以粗略推测第一阶模态中质量位移的比值关系 矩阵迭代有个最大的优点 防止误差 即使某一步迭代发生 误差 只是意味着以新的假设模态重新开始迭代 只不过延缓了收敛 但不会破坏收敛 只要动力矩阵D正确 无论假设模态如何 总能得到近似解 2020年3月3日 振动力学 15 高阶模态及固有频率 用矩阵迭代法求出系统的第一阶模态和基频后 还可以用同样的方法求第二阶模态和频率 任选一个假设模态w 总能通过迭代算得第一阶模态u 1 有一个原因是假设模态w中含有第一阶模态u 1 的成分C1 若假设模态w中第一阶模态u 1 的成分C1 0 则迭代的结果 趋向于第二阶模态u 2 因此求第二阶模态u 2 时 需使w中的C1 0 同样求第三阶模态u 3 时 须使假设模态w的成分C1 C2 0 2020年3月3日 振动力学 16 已经求出第一阶正则模态u 1 利用正交性可得C1 任选系统的一个假设模态w1 它一般不是真实模态 但总能表示为真实模态的线性组合 用动力矩阵左乘w1 2020年3月3日 振动力学 17 则有 再左乘D 2 则有 2020年3月3日 振动力学 18 即得到第二阶模态 同样的 在具体计算过程中 每次迭代均应进行归一化 同样的 最后也可以算出第二阶固有频率 2020年3月3日 振动力学 19 同样可以用 作算子迭代计算得到第三阶模态和固有频率 归纳得出 求第s阶模态和固有频率的算子矩阵为 对于重特征根情况 也一样能求出前s阶模态和固有频率 如 1是二重特征根 则推导过程 可以看出u 2 还是对应于 1的 而且u 2 还与u 1 正交 2020年3月3日 振动力学 20 例5 7 1 三自由度系统 已求出第一阶正则模态和 1 试用矩阵迭代法计算高阶模态和固有频率 解 前面已给出系统的质量矩阵和动力矩阵 2020年3月3日 振动力学 21 2020年3月3日 振动力学 22 期望模态有个节点 选取 第一次迭代 归一化 2020年3月3日 振动力学 23 第二次迭代 第14次迭代后 2020年3月3日 振动力学 24 得到第二阶固有频率和振型 得到第二阶正则振型 若直接从特征值问题可得精确解 相对误差很小 2020年3月3日 振动力学 25 若要求第三阶固有频率和振型 由 任取 重复迭代过程 将得到 2020年3月3日 振动力学 26 以上方法算得前几阶的精度是较高的 但随着阶数的增高 精度逐步降低 而且迭代过程的收敛速度越来越慢 矩阵迭代法的突出优点是 最初假设模态的选取只影响收敛速度 而不影响其收敛精度 即使计算过程中发生错误 也不影响最终的结果 只是相当于从新的假设模态开始迭代 若假设的模态恰好精确等于某一阶模态 此时计算得到的结果就是该模态及该阶固有频率 对于任意假设