【名师原创】2016高考数学大一轮教学复习讲义：专题三 三角函数与平面向量 第1讲 三角函数的图像与性质.pdf

43 专题三 三角函数与平面向量 专题三 三角函数与平面向量 第第 1 讲 三角函数的图象与性质讲 三角函数的图象与性质 总序总序 6 考情解读 1 以图象为载体 考查三角函数的最值 单调性 对称性 周期性 2 考查三角函数式的化 简 三角函数的图象和性质 角的求值 重点考查分析 处理问题的能力 是高考的必考点 热点一 三角函数的概念 诱导公式及同角三角函数的基本关系 例1 1 点P从 1 0 出发 沿单位圆x2 y2 1逆时针方向运动2 3 弧长到达Q点 则Q点的坐标为 2 已知角 的顶点与原点重合 始边与 x 轴的正半轴重合 终边上一点 P 4 3 则 cos 2 sin cos 11 2 sin 9 2 的值为 答案 1 1 2 3 2 2 3 4 解析 1 设 Q 点的坐标为 x y 则 x cos2 3 1 2 y sin 2 3 3 2 所以 Q 点的坐标为 1 2 3 2 2 原式 sin sin sin cos tan 根据三角函数的定义 得 tan y x 3 4 所以原式 3 4 1 如图 以 Ox 为始边作角 0 0 cos 3 4 0 0 2 的部分图象如图所示 44 则将 y f x 的图象向右平移 6个单位长度后 得到的图象解析式为 2 若函数 y cos 2x 3sin 2x a 在 0 2 上有两个不同的零点 则实数 a 的取值 范围为 答案 1 y sin 2x 6 2 2 1 解析 1 由图知 A 1 3T 4 11 12 6 故 T 2 所以 2 又函数图象过点 6 1 代入解析式中 得 sin 3 1 又 2 故 6 则 f x sin 2x 6 向右平移 6后 得到 y sin 2 x 6 6 sin 2x 6 2 由题意可知 y 2sin 2x 6 a 该函数在 0 2 上有两个不同的零点 即 y a y 2sin 2x 6 在 0 2 上有两个不同的交点 结合函数的图象可知 1 a 2 所以 20 0 2 与坐标轴的三 个交点 P Q R 满足 P 2 0 PQR 4 M 为 QR 的中点 PM 2 5 则 A 的值 为 2 若将函数 y tan x 4 0 的图象向右平移 6个单位长度后 与函数 y tan x 6 的图象重合 则 的最小正值为 答案 1 16 3 3 2 1 2 解析 1 由题意设 Q a 0 R 0 a a 0 则 M a 2 a 2 由两点间距离公式得 PM 2 a 2 2 a 2 2 2 5 解得 a 8 由此得 T 2 8 2 6 即 T 12 故 6 由 P 2 0 得 3 代入 f x Asin x 得 f x Asin 6x 3 从而 f 0 Asin 3 8 得 A 16 3 3 2 y tan x 4 的图象向右平移 6 得到 y tan x 4 6 的图象 与 y tan x 6 重合 得 4 6 k 6 故 6k 1 2 k Z 所以 的最小正值为 1 2 热点三 三角函数的性质 例 3 设函数 f x 2cos2x sin 2x a a R 1 求函数 f x 的最小正周期和单调递增区间 2 当 x 0 6 时 f x 的最大值为 2 求 a 的值 并求出 y f x x R 的对称轴方程 解 1 f x 2cos2x sin 2x a 1 cos 2x sin 2x a 2sin 2x 4 1 a 45 则 f x 的最小正周期 T 2 2 且当 2k 2 2x 4 2k 2 k Z 时 f x 单调递增 即 k 3 8 x k 8 k Z 所以 k 3 8 k 8 k Z 为 f x 的单调递增区间 2 当 x 0 6 时 4 2x 4 7 12 当 2x 4 2 即 x 8时 sin 2x 4 1 所以 f x max 2 1 a 2 a 1 2 由 2x 4 k 2 得 x k 2 8 k Z 故 y f x 的对称轴方程为 x k 2 8 k Z 已知函数 f x 2sin xcos x 2 3sin2 x 3 0 的最小正周期为 1 求函数 f x 的单调增区间 2 将函数 f x 的图象向左平移 6个单位长度 再向上平移 1 个单位长度 得到函数 y g x 的图象 若 y g x 在 0 b b 0 上至少含有 10 个零点 求 b 的最小值 解 1 由题意得 f x 2sin xcos x 2 3sin2 x 3 sin 2 x 3cos 2 x 2sin 2 x 3 由周期为 得 1 得 f x 2sin 2x 3 函数的单调增区间为 2k 2 2x 3 2k 2 k Z 整理得 k 12 x k 5 12 k Z 所以函数 f x 的单调增区间是 k 12 k 5 12 k Z 2 将函数 f x 的图象向左平移 6个单位长度 再向上平移 1 个单位长度 得到 y 2sin 2x 1 的图象 所以 g x 2sin 2x 1 令 g x 0 得 x k 7 12或 x k 11 12 k Z 所以在 0 上恰好有两个零点 若 y g x 在 0 b 上有 10 个零点 则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可 即 b 的最小值为 4 11 12 59 12 真题感悟 1 2014 辽宁改编 将函数 y 3sin 2x 3 的图象向右平移 2个单位长度 所得图象对应的函数的单调增区 间为 答案 k 12 k 7 12 k Z 解析 y 3sin 2x 3 的图象向右平移 2个单位长度得到 y 3sin 2 x 2 3 3sin 2x 2 3 令 2k 2 2x 2 3 2k 2 k Z 得 k 12 x k 7 12 k Z 则 y 3sin 2x 2 3 的单调增区间为 k 12 k 7 12 k Z 2 2014 北京 设函数 f x Asin x A 是常数 A 0 0 若 f x 在区间 6 2 上具有单调性 46 且 f 2 f 2 3 f 6 则 f x 的最小正周期为 答案 解析 f x 在 6 2 上具有单调性 T 2 2 6 T 2 3 f 2 f 2 3 f x 的一条对称轴为 x 2 2 3 2 7 12 又 f 2 f 6 f x 的一个对称中心的横坐标为 2 6 2 3 1 4T 7 12 3 4 T 押题精练 1 已知函数 f x sin x cos x g x sin x cos x 有下列四个命题 将 f x 的图象向右平移 2个单位长度可得到 g x 的图象 y f x g x 是偶函数 f x 与 g x 均在区间 4 4 上单调递增 y f x g x 的最小正周期为 2 其中真命题的个数是 答案 3 解析 f x 2sin x 4 g x sin x cos x 2sin x 4 显然 正确 函数 y f x g x sin2x cos2x cos 2x 其为偶函数 故 正确 由 0 x 4 2及 2 x 4 0 都可得 4 x 4 所以由图象可判断函数 f x 2sin x 4 和函数 g x 2sin x 4 在 4 4 上都为增函数 故 正确 函数 y f x g x sin x cos x sin x cos x 1 tan x tan x 1 tan x 4 由周期性定义可判断其周期为 故 不正确 2 已知函数 f x sin x cos x 3cos2 x 3 2 0 直线 x x1 x x2是 y f x 图象的任意两条对称 轴 且 x1 x2 的最小值为 4 1 求 f x 的表达式 2 将函数 f x 的图象向右平移 8个单位长度后 再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍 纵坐标 不变 得到函数 y g x 的图象 若关于 x 的方程 g x k 0 在区间 0 2 上有且只有一个实数解 求实数 k 的取值范围 解 1 f x 1 2sin 2 x 3 1 cos 2 x 2 3 2 1 2sin 2 x 3 2 cos 2 x sin 2 x 3 由题意知 最小正周期 T 2 4 2 T 2 2 2 所以 2 所以 f x sin 4x 3 2 将 f x 的图象向右平移 8个单位长度后 得到 y sin 4x 6 的图象 47 再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 得到 y sin 2x 6 的图象 所以 g x sin 2x 6 令 2x 6 t 因为 0 x 2 所以 6 t 5 6 g x k 0 在区间 0 2 上有且只有一个实数解 即函数 g t sin t 与 y k 在区间 6 5 6 上有且只有一个交点 如图 由正弦函数的图象可知 1 2 k 1 2或 k 1 所以 1 20 且 2 在区间 6 2 3 上单调递减 且函数值从 1 减小到 1 那么此函数图象 与 y 轴交点的纵坐标为 答案 1 2 解析 依题意知 T 2 2 3 6 所以 T 2 所以 2 将点 6 1 代入 y sin 2x 得 sin 3 1 又 0 0 2 在一个周期内的图象如图所示 M N 分别是这段图象的最高 点与最低点 且OM ON 0 则 A 48 答案 7 6 解析 由题中图象知T 4 3 12 所以 T 所以 2 则 M 12 A N 7 12 A 由OM ON 0 得7 2 122 A 2 所以 A 7 12 所以 A 7 6 5 已知函数 f x sin 2x 其中 若 f x f 6 对 x R 恒成立 且 f 2 f 5 f x 是奇函数 f x 的单调递增区间是 k 3 k 6 k Z 答案 解析 由 f x f 6 恒成立知 x 6是函数的对称轴 即 2 6 2 k k Z 所以 6 k k Z 又 f 2 f 所以 sin sin 2 即 sin 0 得 6 即 f x sin 2x 6 由 2 2k 2x 6 2 2k k Z 得 3 k x 6 k k Z 即函数的单调递增区间是 k 3 k 6 k Z 6 已知 A B C D E 是函数 y sin x 0 0 0 0 2 一个周期内的图象上的五个点 A 6 0 由题意得 T 4 12 6 所以 2 因为 A 6 0 所以 f 6 sin 3 0 0 0 0 0 和 g x 3cos 2x 的图象的对称中心完全相同 若 x 0 2 则 f x 的取值范围是 答案 3 2 3 解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同 可知两函数的周期相同 故 2 所以 f x 3sin 2x 6 那么当 x 0 2 时 6 2x 6 5 6 所以 1 2 sin 2x 6 1 故 f x 3 2 3 10 给出命题 函数 y 2sin 3 x cos 6 x x R 的最小值等于 1 函数 y sin xcos x 是最小正 周期为 2 的奇函数 函数 y sin x 4 在区间 0 2 上单调递增的 若 sin 2 0 cos sin 0 则 一定为第二象限角 则真命题的序号是 答案 解析 对于 函数 y 2sin 3 x cos 6 x sin 3 x 所以其最小值为 1 对于 函数 y sin xcos x 1 2sin 2 x 是奇函数 但其最小正周期为 1 对于 函数 y sin x 4 在区间 0 4 上单调递增 在区间 4 2 上单调递减 对于 由 sin 2 0 cos sin 0 cos 0 所以 一定为第二象限角 二 解答题 11 已知函数 f x Asin 3x A 0 x 0 在 x 12时取得最大值 4 1 求 f x 的最小正周期 2 求 f x 的解析式 3 若 f 2 3 12 12 5 求 sin 解 1 f x 的最小正周期 T 2 3 2 由函数的最大值为 4 可得 A 4 所以 f x 4sin 3x 当 x 12时 4sin 3 12 4 所以 sin 4 1 所以 2k 4 k Z 因为 0 所以 4 所以 f x 的解析式是 f x 4sin 3x 4 50 3 因为 f 2 3 12 12 5 故 sin 2 4 4 3 5 所以 cos 2 3 5 即 1 2sin 2 3 5 故 sin 2 1 5 所以 sin 5 5 12 设函数 f x sin2 x 2 3sin x cos x cos2 x x R 的图象关于直线 x 对称 其中 为常 数 且 1 2 1 1 求函数 f x 的最小正周期 2 若 y f x 的图象经过点 4 0 求函数 f x 在 x 0 2 上的值域 解 1 因为 f x sin2 x