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【精品】毕业论文截稿 凸函数的等价命题及应用杨乐强（德州学院数学系山东德州253023）摘要:本文主要从凸函数的各种定义入手,分别讨论了凸函数的一些性质,然后给出了凸函数的几个等价命题,最后利用凸函数的性质及等价命题证明了詹森不等式,Holder不等式,从而给出了凸函数的一些应用.关键词:凸函数,定义,性质,等价命题,应用. 1、引言凸函数是数学中一类极其重要的函数，它在数学规划，最优化理论、运筹与控制理论、模具设计等领域中具有十分重要的作用。 本文将给出凸函数的定义、性质及相应的等价命题，然后讨论凸函数在极值问题中以及其他方面的应用。 2、凸函数的定义及定义之间的等价性的证明.定义1:设函数f(x)在区间I上有定义，当且仅当?x1,x2属于I,有xxf2定义2:设函数f(x)在区间I上有定义,当且仅当?x1,x2xn,属于I,有.()().()fnn12()2?12()f x()f x?,则称f(x)为I上的凸函数。 1212)nnxxxf xf xf x?,则称f(x)为I上的凸函数。 定义3:设函数f（x）在区间I上有定义，当且仅当?x1,x2，?0,1，有?12121()f x (1)(f x)fxx?，则称f(x)为I上的凸函数。 定义4:设函数f(x)在区间I上有定义，当且仅当?0i?且11nii?（i=1,2.n），?x1,x2.xn?I,有f11()()f xnniiiiiix?，则称f(x)为I上的凸函数。 定义5:设函数f（x）在区间I上有定义，当且仅当?x1,x2,x3?I,且x1 定义6:设函数f（x）在区间I上有定义，当且仅当?x1,x2,x3?I,且x1 上述定义中的“”若改为“”，则得f(x)为I上的严格凸函数。 区间I上可导或二阶可导的凸函数还可借助导数()f x的单调递增或()f x来判定或定义. (1)定义1与定义2等价。 证明“定义2?定义1”显然成立,在 (2)中令2n?即得 (1)式，只要证明“定义1?定义2”。 采用反向归纳法由 (1)式知当2n?时 (2)式成立，现证4n?时 (2)式成立。 事实上，任意的1234,x x x xI?，由 (1)式有3434121212341234()()()f x()()()2222()()4224xxxxxxxxffxxxxf xf xf xff?此即对 (2)式4n?时成立，一般的，对任意正整数k，重复上面的过程，应用 (1)式k次，可知121222.()f x().?()()22kkkkxxxf xf xf?，这表明 (2)式对一切2kn?皆成立。 下证 (2)式对1nk?成立时，必对nk?成立。 记12.kxxxtk?，则12.kxxxtk?，可得12.1kxxxttk?假若 (2)式对1nk?成立，则有1212.()f x().?()()()()11kkxxxtf xf xf tf tfkk.?，两边同乘以1k?，减去()ft，最后除以k，由12kxxxtk?从而可得1212.()f x().?()()kkxxxf xf xfkk?，此即 (2)式对nk?也成立，证毕。 (2)定义3与定义1，2等价。 证明“定义3?定义1，2”，在 (3)式中令12?可得 (1)式成立，即定义3蕴含定义1，由上面的证明可知，定义1，2等价，故定义3也蕴含定义2。 “定义1，2?定义3”12,x x?I?若12xx?， (3)式显然成立，12xx?且(0,1)?，先证 (3)式对?为有理数mn?(0,1)?，式成立，事实上，1212(? (1)( (1)(f x)mmnn?12()f x (1)(f x)?。 此即(0,1)?为有理数的情形的证，若(0,1)?为无理数，则存在有理数(0,1)n?(1,2.)n?，使得limnn?，注意到12 (1)nnxx?，表示的点都是区间I内部的点，由凸函数的性质知()f x在这些点上连续，从而12(? (1)fxx?12(limn? (1)nnfxx?12lim(n? (1)nnfxx?，对于有理数(0,1)n?，利用上面的结果有12(? (1)nnfxx?12()f x (1)(f x)nn?，上式中令n?取极限并联系上式，有12(? (1)fxx?12()f x (1)(f x)?，此即 (3)式对任意无理数(0,1)?也成立，故定义1，2也蕴含定义3，证毕。 (3)定义3与定义4等价证明“定义4?定义3”，只要在 (4)中令2n?即得，“定义3?定义4”用数学归纳法可证，定义4即为詹森不等式，证明过程在本文凸函数的应用中已证明，故可知定义3与定义4等价。 (4)定义3与定义5，6等价。 证明定义3?定义5，123,x x xI?且123,xxx?令2131xxxx?则(0,1)?，且231 (1)xxx?，又有 (3)式知3131(? (1)x()f x (1)()f xfx?即32212133131()()f x()f xxxxxf xxxxx?，此式化简便的 (5)，故定义3?定义5成立，反之(0,1)?，12,x x?I?，不妨设12xx?，令012 (1)xxx?，则102xxx?从而由 (5)式并化简可得 (3)式成立。 故定义3?定义5成立。 注意到 (5)式和 (6)式只是公式上的等价变形，所以定义5?定义6，即定义3与定义5，6等价。 3、凸函数的性质性质1如果函数f（x）是区间I上的可导函数，那么f（x）是I的下凸函数的充要条件是()f x0且为I上的递增函数。 证明先证必要性，对I上任意两点x1，x2（x10,且为I上的递增函数。 再证充分性由题设知f（x）在?12,x x?上连续，在（x1，x2）内可导，由拉格朗日中值定理知，存在?12,x x?，使2121()()f x()(?)f xfxx?，由于()f x?0且为I的递增函数，有1()?()0ff x?，从而21121()()f x()(f x)f xxx?，即21121()()f x()(f x)f xxx?，令312 (1)xxx?， (01)?，有133133123()f x()f x()(f x)()f x (1)()()f xxxxx?，233233213()()f x()(f x)()f x()()f xxxxx f x?上式两式分别乘以?和1?并相加，得到12312()f x (1)(f x)()f x(? (1)fxx?，从而()f x是I的下凸函数。 性质2如果函数()f x在区间I内具有一阶和二阶导数，那么f（x）是I的下凸函数的充要条件是在I上()f x?0。 证明先证必要性，由于f（x）是I的下凸函数及性质1知()f x为I上的递增函数，所以有?充分性是显然的。 ?()f x0?即()f x?0。 性质3定义在开区间（x1，x2）上的凸函数()f x是连续函数。 证明为证明()f x在x上的连续性，设0x是介于x与2x的任一点，故可得xx()()f x()()f x()f xf xxxxx?，1001()f x()f x()()f x()f xxxxx?以上两式中分别令0xx?，可得到()f x在x是右连续的，同理可证明()f x在x是左连续的，即在任一点x?12,x x?是连续的，故函数()f x在开区间（x1，x2）上是连续函数。 性质4设函数()f x是在?,a b?上定义的严格凸函数，则存在?,a b上定义的函数()h x，使得000()f x()()()f xh xxx?，?ax b?，0xx?，0(,),a bx?。 证明0(,),a bx?及?,xa b?,且0xx?,当0xx?时,(,)a but?且0uxtx?,则由000000()()f u()()()f x()f xftf xf xxutxxx?,于是有:000()()f u()supf xh xxu?存在,且00()f x()f xxx?0()h x,即000()f x()()()f xh xxx?,当0xx?时,?0,ux x?,有00()f x()f xxx?00()()f uf xxu?.由于00()()f u()g uf xxu?是?0,a x上的严格增函数，故?00000,00()()f u()()f u()supa x?supx x?uuf xf xh xxuxu?，故有000()f x()()f xhxxx?，即000()f x()()()f xhxxx?，所以可令()f x()f u()h xsupux?x u?，()axb?，则0(,)a bx?，有000()f x()()()f xhxxx?，0(,)axb xx?。 4、凸函数的等价命题命题1设()f x在区间?,a b?上有定义，如果存在?,a b上定义的函数()hx，使得任给?0,xa b?，有000()f x()()()f xhxxx?，?ax b?，则()f x是凸函数。 证明?1212,01,x xa b xx?令012 (1)xxx?，则0(,),a bx?由已知有100100012()f x()()()() (1)(hx)()f xh xxxf xxx?，xx00021()()()()()()()f xf xhxxxf xhxxx?，从而由上两式可得1xx()f x (1)(f x)()(? (1),f xfxx?所以我们可知()f x是凸函数。 如果把命题1中的?改为?，则函数()f x是严格凸函数。 在证明过程中只需将不等号?改为严格不等号?即可。 命题2()f x为区间(,)a b上的凸函数的充要条件对(,)a b内的任意三点123xxx?恒有1122331()f x1()01()xxf xxf x?。 证明:将此行列式按第一列展开，则有1122331()f x1()1()xxf xxf x?=233313311221()()x f x()()()()xf xx f xx f xx f xx f x?=132213321()(f x)()()()(f x)xxf xxxxx?=112212223331()(f x)()()()()()(f x)xxf xxxf xxxxx?=23121223(f x)()(f x)()f x?()()xxf xxx?。 于是1122331()f x1()01()xxf xxf x?的充要条件是()f x为区间(,)a b上的凸函数。 命题4设()f x为区间(,)a b内的连续函数，()f x为区间(,)a b上的凸函数的充要条件是不等式()f x1()2hhf x t dth?在任何含于(,)a b的闭区间?, (0)x hx?hh?成立.证明:必要性:th?,因()f x是凸函数,则11111()fx( (2)()()()(fx t)()2222hfx t?xt?fxtf xtf xt?,于是1()fxdt(fxt)()2hhhhf xt dt?,即12()(fxt)()2hhf xfxt dt?,于是我们可以得到1()fx()2hhf xtdt?h?,结论得证.充分性:反证法,假设()fx不是(,)a b内的凸函数，由凸函数的定义可知,对121211,?,?1,22?存在12,(,)a bx x?,使得1212111()()fx()222fxxf x?,不妨设12xx?作辅助函数11()g x()fx()()f xkxx?其中2121()()f xfxkxx?,则12122121()()fx()()22xxxxf xgfxx?,121211121()()fx()()fx()0222xxxxxff x?,y又因为()fx为区间(,)a b内的连续，故()g x也在区间(,)a b内的连续，当然在12,x x内连续，因此在12,x x内能够取得最大值，记()g x在12,xx内取到最大值为0()g x，012,xxx?，取00120,xx,hxh xh?当th?时，有00()()0g xg xt?，且恒不等于0，因此，00()()0hhg xg xt dt?，即00()()hhhhg xdtg xt dt?，即002()()hhhg xg xt dt?，再由()g x的定义得到002()()hhhf xfxtdt?矛盾，假设不成立，故()fx为区间(,)a b上的凸函数。 5、凸函数的应用5.1詹森不等式 (1)离散形式设()fx是区间?,a b?上的凸函数，则对任意,a bp0(1,2.),iixin?1n1111()0,()nniiiiniiiniiiiip xpf xpfpp?，令1iniipp?则1ii?，这时可以得到JESSEN不等式的标准形式()()f xiiiiiifx?。 证明数学归纳法:()i当2n?时，由函数定义11x221122(?)()fx()fxf x?，显然成立。 ()ii设1nk?时成立，即对于1?10,1k?iii?，有()()f xiiiiiifx?，于是当0,1,iii?只需令(1,2.1)1iiiik?，就有11x221111x221111x2211.()( (1).)1. (1)(f)() (1)(f.)()1kkiikkkikkkkkkkkkkkkxxfxfxxxf xxxfx?112211 (1)?()fx().?()()kkkkkf xf xfx?112211()fx().?()()()f xkkkkiiifxfxfx?。 即对于nk?也成立。 (2)积分形式若()fx是区间,?上的凸函数，,p q在,?上可积，()p x,()q x0,a bx?，且()0baq x dx?则()()q xp xdx()()q xf pxdx()()q xdx()q xdxbbaabbaaf?。 证明取()kkxaban?由凸函数的定义可得()()(f px?)(q x)()()()kkkkkkkkkkp xq xxxfqxxq xx?，令n?得原命题成立。 5.2H older不等式 (1)离散形式对任给,0(1,2.)iia bin?，,1,p q?111pq?，有11111()()nnnpqpqi iiiiiiabab?。 (2)积分形式,p q定义如前，(),()fxg x在,ab上可积，有11()()fxg xdx()fx)()g x)pqbbbpqaaadxdx?。 证明令()fx (1),(0,1)pxpx?，则()fx为凸函数，对任意一组实数12.nx xx令1(1,2.)kkniiqpknq?，则有1n111pnnpkkkkk?k?nkkk?k?q xq xqq?，记11,11pqppq?于是上式变为11q111()()nnnppkkk