2017年秋八年级数学上册12.2一次函数教案沪科版.docx

122一次函数第1课时正比例函数1初步理解正比例函数的概念及其图象的特征2能够画出正比例函数的图象3能够判断两个变量是否能够构成正比例函数关系4能够利用正比例函数解决简单的数学问题 重点正比例函数的概念 难点正比例函数的特征一、创设情境，导入新课活动1问题1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环；4个月零1周后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它 (一个月按30天计算)(1)这只百余克重的燕鸥大约平均每天飞行多少千米？(2)这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？(3)这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米？(4)对这个问题你还能提出什么问题？教师用课件或小黑板出示问题，用投影仪展示这只燕鸥飞行的距离让学生在地图上找出芬兰和澳大利亚的位置，并将两处用直线连接学生稍作思考，自主解决三个问题：燕鸥每天飞行的路程；燕鸥总行程y(千米)与飞行时间x(天)的关系式：y200x.燕鸥飞行一个半月的行程老师提示：这里用函数y200x对燕鸥的飞行路程问题进行刻画，尽管只是近似的，但它反映了燕鸥的行程与时间之间的对应规律教师应重点关注：学生对飞行总路程与飞行时间的函数关系的理解；学生能否正确指出自变量、自变量的函数、自变量的取值范围二、合作交流，探究新知活动2问题首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？1圆的周长C随半径r的大小变化而变化2铁的密度为7.8 g/cm3.铁块的质量m(g)随它的体积V(cm3)的大小变化而变化3每个练习本的厚度为0.5 cm.一些练习本摞在一起的总厚度h(cm)随这些练习本的本数n的变化而变化4冷冻一个0 的物体，使它每分钟下降2 .物体的温度T()随冷冻时间t(分)的变化而变化教师出示四个实例问题(用投影仪)，要求学生：(1)能找出变量对应表达式；(2)能说出表达式中的自变量，自变量的函数学生自主探究，分组讨论，然后分小组代表回答问题，教师对回答的问题进行评价教师提问：C2r中，字母是变量吗？引导学生观察、分析上面4个函数的表达式的共性：都是常数与自变量乘积的形式教师口述并板书正比例函数的概念(1)你能举出一些正比例函数的例子吗？(2)表示梯形的面积和圆的面积的函数式是否是正比例函数关系？什么情况下不是？S(ab)h.Sr2.教师让学生看书，并提问：这里为什么强调ykx中k是常数，且k0?学生讨论，回答并补充教师应重点关注：(1)不要认为表达式中的字母都是表示变量(2)对自变量的取值范围是否能分析清楚(3)是否概括出了这几个函数的共同特点学生举例时教师要提醒：(1)举出实际问题；(2)能对其中的自变量、比例系数、函数关系进行解释对举例不是正比例函数的要认真分析活动3问题画出下列正比例函数的图象：(1)y2x；(2)y2x.(1)我们知道了怎样用解析式表示正比例函数，那么怎样在直角坐标系中画出正比例函数的图象呢？教师在黑板上演示用描点法画出y2x的图象应注意：(1)操作规范，有示范性(2)要师生同画要学生独立画出y2x图象应注意：(1)评价学生所画的图象；(2)与学生一起总结画图象的主要步骤：列表、描点、连线(2)观察分析两个图象的异同两图象都经过_，两图象都是_，函数y2x的图象从左向右呈_，经过第_象限；函数y2x的图象从左向右呈_，经过第_象限练习：在同一坐标系中画出yx和yx的图象活动4问题1从以上作图过程可以发现正比例函数的图象有什么特征？2经过原点与点(1，k)的直线是哪个函数的图象？教师在画图过程中进行指导，学生画完图后，让学生讨论回答这两个图象的特点，与活动3中的两个图象的特点相比较让学生根据讨论的结果概括、归纳出正比例函数图象特征，教师板书写出正比例函数图象的特征此处，教师应重点关注：(1)学生是否通过对正比例函数解析式观察分析，发现当k0时的函数y与自变量x同号，当k0时，图象过第一、三象限；当kx3x2，则y1，y2，y3的大小关系为()Ay1y3y2 By1y2y3Cy1y3y2y1分析：由ykx的图象经过第一、三象限，可知k0，即k0，k2x3x2得y1y30时，y随x的增大而增大；k0时，直线ykx经过第一、三象限且从左向右上升，即y随着x的增大而增大；当k0时直线从左向右上升，即y随x的增大而增大；当k0时直线从左向右下降，即y随x的增大而减小应重点指导：(1)观察、类比新知的方法；(2)一次函数的性质与k有关；(3)从“数”和“形”两个方面去理解和掌握一次函数的性质做一做1练习：教材P39练习2课外思考：根据已做的题目，归纳ykxb(k0)中b对函数的影响学生独立板演，老师巡视，了解学生对知识掌握的情况对学生练习中出现的情况，有针对性地讲解，了解学生是否通过数形结合解决问题三、运用新知，深化理解例1已知一次函数y(63m)x(n4)(1)m为何值时，y随x的增大而减小？(2)m、n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？(3)m、n为何值时，函数图象过原点？分析：(1)因为k0时，y随x的增大而减小，故63m0；(2)要使此函数图象与y轴的交点在x轴的下方，必有63m0，同时n40；(3)函数图象过原点是正比例函数的特征，即63m0且n40.解：(1)依题意，得63m0，即m2.故当m2时，y随x的增大而减小；(2)依题意，得解得n4且m2.故当m2且n0，b0，b0，则y2的图象应过第一、二、三象限，故B错；D选项中，由y1的图象知a0，则y2的图象应过第一、三、四象限，故D错【归纳总结】对于两种不同函数的图象共存同一坐标系问题，一般常假设某一图象正确，然后根据相同字母系数的符号的不变性，来判定另一图象是否正确，进而解决问题四、课堂练习，巩固提高1教材P38练习2请同学们完成探究在线高效课堂“随堂演练”内容五、反思小结，梳理新知六、布置作业1请同学们完成探究在线高效课堂“课时作业”内容2教材P47习题12.2第16，13题第3课时用待定系数法求一次函数的表达式1学会用待定系数法确定一次函数解析式2了解两个条件确定一个一次函数；一个条件确定一个正比例函数 重点待定系数法确定一次函数解析式难点灵活运用有关知识解决相关问题一、创设情境，导入新课1复习：画出函数y3x，y3x1的图象2反思：你在作这两个函数图象时，分别描了几个点？你为何选取这几个点？可以有不同取法吗？3引入新课：在上节课中我们学习了在给定一次函数表达式的前提下，可以说出它的图象特征及有关性质；反之，如果给你信息，你能否求出函数的表达式呢？这将是本节课我们要研究的问题二、合作交流，探究新知(1)求下图中直线的函数表达式(2)分析与思考：(1)题是经过原点的一条直线，因此是正比例函数，可设它的表达式为ykx，将点(1，2)代入表达式得2k，从而确定该函数的表达式为y2x.(2)设直线的表达式是ykxb，因为此直线经过点(0，3)，(2，0)，因此将这两个点的坐标代入，可得关于k、b方程组，从而确定了k、b的值，确定了表达式(写出解答过程)(3)反思小结：确定正比例函数的表达式需要1个条件，而确定一次函数的表达式需要2个条件像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法师生整理归纳教师引导学生总结出：数学的基本思想方法：数形结合三、运用新知，深化理解例1如图所示，一次函数的图象过点A，且与正比例函数yx的图象交于点B，则该一次函数的表达式为()Ayx2 Byx2Cyx2 Dyx2分析：由正比例函数yx可知，当x1时，y1，点B的坐标为(1，1)设一次函数的表达式为ykxb，把点B(1，1)，A(0，2)的坐标代入所设函数表达式，得解得yx2.【归纳总结】(1)利用待定系数法求一次函数的表达式时一定要有两个独立的条件，如两个点的坐标，或x与y的两对对应值等；(2)注意通过读图获取有用的信息，如本题中，A点的纵坐标为2，即函数图象的截距为2，B点的横坐标为1，由B点在直线yx上可得其纵坐标 例2如图，一次函数ykxb的图象与正比例函数y2x的图象平行且经过点A(1，2)，则kb_分析：直线y2x与直线ykxb平行，k2.直线ykxb过点(1，2)，2b2.b4.kb2(4)8.【归纳总结】两直线yk1xb与yk2xb平行，则k1k2.先由两直线平行求得k，再把点(1，2)代入ykxb求解可得b的值补充练习：(1)若一次函数y3xb的图象经过点P(1，1)，则该函数图象必经过点()A(1，1)B(2，2)C(2，2) D(2，2)(2)若直线ykxb平行于直线y3x2，且在y轴上的截距为5，则k_，b_(3)小明根据某个一次函数关系式填写了下表：x2101y310其中有一格不慎被墨汁遮住了，想想看，该空格里原来填的数是多少？解释你的理由四、课堂练习，巩固提高1教材P40练习2请同学们完成探究在线高效课堂“随堂演练”内容五、反思小结，梳理新知六、布置作业1请同学们完成探究在线高效课堂“课时作业”内容2教材P4748习题12.2第712题第4课时一次函数的应用1理解分段函数的特点，会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象；能深入了解一次函数的应用价值2在多变量的问题的解决中，能合理选择某个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数 重点对分段函数图象的理解 难点能将具体的实际问题转化为数学问题，利用数学模型解决实际问题一、创设情境，导入新课小明从家里出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离 该图表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？二、合作交流，探究新知探究点一：对分段函数图象的理解 例1某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇已知货车的速度为60千米/时，两车的距离y(千米)与货车行驶的时间x(小时)之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时；甲、乙两地之间的距离为120千米；图中点B的坐标为(3，75)；快递车从乙地返回时的速度为90千米/时以上4个结论中正确的是_ 分析：根据题意可判断图中OA为快递车从甲地行驶到乙地过程中两车的间距，AB为快递车在甲地卸货时两车的间距，BC为快递车返回甲地直至两车相遇过程两车的间距通过分析找出各个阶段量的关系，可求出正确结论A点为快递车到达乙地的时刻，快递车从甲地到乙地共用3小时，两车速度差为120340(千米/时)，已知货车速度为60千米/时，则快递车速度为100千米/时，正确；甲、乙两地的距离为1003300(千米)，错误；B点为快递车卸货结束的时刻，快递车卸货45分钟，因此B点横坐标为3，此时货车行驶距离为603225(千米)，30022575(千米)，所以B点纵坐标为75，则点B的坐标为(3，75)，正确；BC段所用时间为43(小时)，在B点时两车相距75千米，相遇时货车行驶距离为6030(千米)，快递车行驶距离为753045(千米)，故此段快递车的速度为4590(千米/时)，正确【归纳总结】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程探究点二实际问题中的方案选择例2电信局为满足不同客户的需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图(MNCD)，若通话时间为500分钟，则应选择哪种方案更优惠()A方案AB方案BC两种方案一样优惠 D不能确定分析：由图可知，通话时间为500分钟时，方案A的费用是230元，方案B的费用是168元，230168，选择方案B更优惠【归纳总结】根据图象可知通话500分钟两种方案的通话费用，选择费用少的一种方案即可三、运用新知，深化理解例3某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x2)个羽毛球，供社区居民免费借用该社区附近A，B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价均为3元，目前两家超市同时在做促销活动：A超市：所有商品均打九折(按标价的90%)销售；B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA(元)，在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB(元)请解答下列问题：(1)分别写出yA和yB与x之间的关系式；(2)若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？(3)若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案分析：(1)可根据题意，直接写出yA和yB与x之间的关系式；第(2)题在第(1)题的基础上，分类讨论，得到对应的自变量的取值范围；第(3)题须在第(2)题的基础上再次分类讨论，特别需要提醒的是，这里不再限制“只在一家超市购买”，所以，要考虑到B超市免费送羽毛球的情况，经过计算、比较，得到结果解：(1)yA27x270，yB30x240；(2)当yAyB时，27x27030x240，解得x10；当yAyB时，27x27030x240，解得x10；当yAyB时，27x27030x240，解得x10.当2x10时，到B超市购买划算；当x10时，两家超市都一样；当x10时，到A超市购买划算；(3)x1510，选择在A超市购买，yA2715270675(元)；可先在B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，后在A超市购买剩下的羽毛球(101520130)个，则共需费用：103013030.9651(元)651675，最省钱的购买方案是：先在B超市购买10副羽毛球拍，后在A超市购买130个羽毛球【归纳总结】解答函数的应用题，必须读懂题意，注意题干条件与各个问题的条件之间的关系题干中的条件适用于每一个小题，但是，各个小题的条件并不互相影响；要针对各个小题的条件，结合所问问题做不同的分类讨论四、课堂练习，巩固提高1教材P42及P44练习2请同学们完成探究在线高效课堂“随堂演练”内容五、反思小结，梳理新知1分段函数六、布置作业1请同学们完成探究在线高效课堂“课时作业”内容2教材P48习题12.2第1516题第5课时一次函数与一元一次方程、一元一次不等式(组)1理解一次函数与一元一次方程的关系以及一元一次不等式与一次函数问题的转化关系2会根据一次函数的图象解决一元一次方程及不等式的求解问题3进一步理解数形结合思想，提高问题间互相转化的能力 重点一次函数与一元一次方程关系的理解以及一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系的理解 难点对一次函数与一元一次方程关系的理解以及用图象法求解不等式中自变量取值范围的确定一、创设情境，导入新课活动1问题1解方程2x200.2在坐标系中画出一次函数y2x20的图象思考：直线y2x20与x轴交点的横坐标是方程2x200的解吗？为什么？这两个问题是同一个问题吗？学生独立思考问题1，2，并完成画图，相互交流观察与思考的结果教师巡视，对学生出现的问题给予帮助师生共同归纳：(1)在问题1中，解方程02x20，得x10.(2)解问题2就是要考虑当函数y2x20的值为0时，所对应的自变量x为何值，这可以通过解方程2x200，得x10.因此这两个问题实际上是同一个问题即这两个问题是同一个问题的两种不同的表达方式(3)从“数”的角度看，方程2x200的解是x10；从“形”的角度去看，直线y2x20与x轴交点的坐标是(10，0)，这也说明，方程2x200的解是x10.在此活动中，教师应关注：(1)学生能否通过问题1，2体会一次函数与一元一次方程在数与形两个方面的关系(2)学生独立思考活动2问题1解不等式5x63x10.思考：不等式5x63x10可以转化为axb0的形式吗？所有的不等式是否都能转化为这种形式呢？2当自变量x为何值时，函数y2x4的值大于0?思考：以上两个问题是同一个问题吗？3问题2能用一次函数图象说明吗？引导学生解不等式后再思考问题师生共同归纳：(1)在问题1中，不等式5x63x10可以转化为2x40，解这个不等式得x2.(2)思考问题的答案是肯定的(3)解问题2就是要解不等式2x40，得出x2时，函数y2x4的值大于0.因此这两个问题实际上是同一个问题教师导入新课：是不是所有的一元一次不等式都可转化为一次函数的相关问题呢？它在函数图象上的表现是什么？如何通过函数图象来解一元一次不等式？解不等式，讨论归纳画图尝试二、合作交流，探究新知探究一方程axb0(a，b为常数)与“求自变量x为何值时，一次函数yaxb的值为0”有什么关系？教师引导学生从特殊事例中寻求一般规律，进而总结出一次函数与一元一次方程的内在联系，从思想上真正理解函数与方程的关系学生在教师引导下，通过自主合作，分析思考，找出这两个具体问题中的一般规律，从而经过讨论，归纳概括出较完整的关系，还要从思想上正确理解函数与方程关系的目的学生认真思考、积极讨论，并展示自己的结论师生共同归纳：由于任何一元一次方程都可以转化为axb0(a，b为常数，a0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线ykxb确定它与x轴交点的横坐标值在此活动中，教师应重点关注：(1)学生是否能从“数”和“形”两个角度去认识一次函数与解一元一次方程；(2)学生是否会考虑用函数的图象法去解一元一次方程探究二一个物体现在的速度是5 m/s，其速度每秒增加2 m，再过几秒它的速度为17 m/s?思考：(1)本题的相等关系是什么？(2)设再过x秒物体速度为17 m/s，能否列出方程？(3)如果速度用y表示，那么能否列出函数表达式？(4)上面不同的解法，各有什么特点？学生审题后，教师引导，让学生用方程或函数解决此题解答如下：解法一：设再过x秒物体速度为17 m/s.由题意可知：2x517，解之得：x6.解法二：速度y(m/s)是时间x(s)的函数，关系式为：y2x5.当函数值为17时，对应的自变量x值可通过解方程2x517得到，x6.解法三：由2x517可变形得到：2x120.从图象上看，直线y2x12与x轴的交点为(6，0)，得x6.此问题教师应关注：(1)让学生知道，解法一、二是从“数”的方面考虑；解法三就是从“形”的方面考虑(2)对于解法三，学生能否画图解决(3)学生对比两种解法的优缺点：直接解方程比解法三更简洁但解法三显示了一次函数与一元一次方程之间的联系探究三利用图象求方程6x3x2的解思考：(1)如何将方程变形为一般形式？哪条直线与x轴的交点就是原方程的解？教师引导学生通过解决问题掌握方法，提高认识，从思想上真正理解数形结合的重要性学生在教师引导下用不同的思维方法来解决这一问题，从思想上理清数与形的有机结合活动过程与结论：方法一：我们首先将方程6x3x2整理变形为5x50.然后画出函数y5x5的图象，看直线y5x5与x轴的交点为(1，0)，故可得x1.(2)我们可以把方程6x3x2看作函数y6x3与yx2在何时两函数值相等？如果这样，原方程的解应是什么？ 方法二：我们可以把方程6x3x2看作函数y6x3与yx2在何时两函数值相等，即可从两个函数图象上看出，直线y6x3与yx2的交点，交点的横坐标即是方程的解由图象可以看出直线y6x3与yx2交于点(1，3)，所以x1.教师应关注：(1)学生是否理解原方程6x3x2整理变形为5x50，然后再用画出函数y5x5的图象求解的意图(2)对两条直线交点的坐标的含义是否理解探究四1我们先观察函数y2x4的图象能否解决活动2下的问题2?如图：教师引导学生看图：在x轴上方的函数值及所对应的自变量x的对应关系师生共同归纳：由此可知，通过函数图象也可求得不等式2x40的解集为x2.由上面两个问题的关系，我们能得到“解不等式axb0”与“求自变量x在什么范围内，一次函数yaxb的值大于0”之间的关系，实质上是同一个问题师生共同归纳：由于任何一元一次不等式都可以转化为axb0或axb2时，直线y2x4上的点全在x轴上方，即这时y2x40.2由上面的两个问题，你能否说出一次函数与一次不等式之间有何关系？探究五用画函数图象的方法解不等式5x42x10.解法一：原不等式可以化为3x60，画出直线y3x6的图象，可以看出，当x2时，这条直线上的点在x轴的下方即这时y3x60，所以不等式的解集为：x2.解法二：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y5x4与直线y2x10，可以看出，它们交点的横坐标为2.当x2时，对于同一个x，