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7 3线性变换和矩阵 一 线性变换关于基的矩阵和坐标 1 线性变换关于基的矩阵 现设是数域上的维向量空间 令是的一个线性变换取定的一个基 对于 有 仍是的一个向量 设 1 现在的问题是 如何计算的坐标 令 2 3 这里就是关于基的坐标 令 则阶矩阵叫做线性变换关于基的矩阵 矩阵的第列的元素就是关于基的坐标 这样 取定数域上维向量空间的一个基后 对于的每一个线性变换 有唯一确定的上的阶矩阵与之对应 例1 设是维向量空间的标准基 线性变换定义如下 求关于标准基的矩阵 例2 令是数域上的一个维向量空间 线性变换是的一个位似 求关于任意基的矩阵 特别地 1 当时 的单位变换关于任意基的矩阵为单位矩阵 2 当时 的零变换关于任意基的矩阵为零矩阵 例3 设的线性变换定义如下 求 1 关于标准基的矩阵 2 关于基的矩阵 例4 设 求下面的线性变换关于基 的矩阵 1 2 2 线性变换关于基的坐标 为了计算关于基的坐标 由等式 3 即 设 因为是线性变换 所以 4 将 3 代入 4 得 上式表明 关于基的坐标所成的列是 比较 1 式 得 定理7 3 1 令是数域上一个维的向量空间 是的一个线性变换 而关于的一个基的矩阵是 如果中向量关于这个基的坐标是 而的坐标是 那么 例5 设是数域上的一个二维向量空间 是的一个基 线性变换关于基的矩阵为 而中一向量关于基的坐标为 求关于这个基的坐标 3 一个线性变换关于两个基的矩阵的关系 定理 设是数域上的一个维向量空间 是的一个线性变换 关于的两个基和的矩阵分别为和 而基到的过渡矩阵为 则有 例6 设是数域上的一个二维向量空间 线性变换关于的一个基的矩阵是 而基到的过渡矩阵为 求关于基的矩阵 例7 设是的一个基 是的线性变换 且 求 1 在标准基下的矩阵 2 在基下的矩阵 二 矩阵的相似 1 定义 设 是数域上的两个阶矩阵 若存在上阶可逆矩阵 使得成立 则称与相似 记作 2 性质 1 自反性 每一个阶矩阵均与它本身相似 2 对称性 若 则 3 传递性 若且 则 结论 维向量空间的一个线性变换关于两个基的矩阵是相似的 推广 1 2 三 矩阵在给定基下的线性变换 引理7 3 2 设是数域上一个维向量空间 是的一个基 那么对于中任意个向量 恰有的一个线性变换 使得 定理7 3 3 设是数域上一个维向量空间 是的一个基 对于的每一个线性变换 令关于基的矩阵与它对应 则 1 这样建立的映射是一个双射 2 若 而 那么 结论 它们的同构映射还保持乘法运算 推论 设数域上维空间的一个线性变换关于的一个
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