高等数学第十章 曲线积分与曲面积分.doc

第十章 曲线积分与曲面积分10.1曲线积分一 基本概念定义1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）（1）平面曲线的积分：（2）空间曲线的积分：其中表示分割曲线的分法的细度，即段曲线弧长的最大值，或是第段弧上的任意一点。物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线的质量，其中被积函数或表示曲线的线密度。定义2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）（1）平面曲线的积分：（2）空间曲线的积分：其中表示分割曲线的分法的细度，即段的最大弧长，是第段弧上的任意一点。物理意义：第二类曲线积分表示变力沿曲线所作的功，被积函数或表示力在各坐标轴上的分量。二 基本结论定理1 （第一类曲线积分的性质）（1）无向性 （2）线性性质 (1) ；(2) （3）路径可加性 曲线分成两段和（不重叠），则（4）弧长公式 (表示曲线的弧长)（5）恒等变换 积函数可用积分曲线方程作变换（6）奇偶性与对称性 如果积分弧段关于轴对称，存在，则 其中点是曲线弧段与轴的交点定理2 （第二类曲线积分的性质）（1）有向性 （2）线性性质 (1) ；(2) （3）路径可加性 曲线分成两段和（不重叠），则定理3 （第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系） 其中是曲线上的点的切线的方向余弦，且一般地，积分曲线的方向余弦是变量。但是，当积分曲线是直线时，则切线的方向余弦是一个常量。所以，当积分曲线是直线时，可能采用两类不同的曲线积分的转换。定理4 （格林公式） 设是由分段光滑的曲线围成，函数及其一阶偏导数在上连续，则有其中是围成区域的正向边界曲线。 三 基本方法 1 计算第一类曲线积分（对坐标的曲线积分）方法一：基本方法转化为定积分（1）用参数方程给出的积分曲线：，则（2）用一般方程给出的积分曲线：，则（3）用极坐标方程给出的积分曲线：，则例1 计算，上半圆周。解（方法1）曲线的参数方程：，于是有 。（方法2） 曲线的一般方程：，于是有。令，则 。例2 计算，的第一象限部分。解 令，则积分曲线的极坐标方程为：（第一象限部分）, ，。于是有 。方法二：基本技巧利用第一类曲线积分性质例3 计算，其中。 解 根据曲线积分的线性性质，有。根据性质（4）和（5），根据奇偶性和对称性，于是。例4 计算，与相交的圆周。解 由于积分曲线关于的具有轮换对称性，则有；于是，利用积分曲线方程化简被积函数，有，所以。 注1 计算第一类曲线积分，有基本方法和基本技巧，在具体问题中可以兼顾考虑。但是在有些问题中，基本方法是没有办法解决的，这可能有两种情况：一是可以建立积分曲线参数方程，转化为定积分，但没办法计算这个定积分；二是很难建立积分曲线参数方程，如例4。2 计算第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）方法一：基本方法转化定积分设的平面曲线：其参数方程：，起点和终点对应的参数取值分别是和，则设的空间曲线：其参数方程：，起点和终点对应的参数分别是和，则 注2 第二类曲线积分转化为定积分，积分的下限是积分曲线的起点对应的参数取值，上限是积分曲线的终点对应的参数取值，所以有时可能下限大于上限。方法二：基本技巧利用格林公式转化为二重积分（平面曲线）设曲线是闭合正向逐段光滑曲线，以及一阶偏导数在围成的区域内连续，则 方法三：基本技巧利用斯托克斯公式转化为曲面积分（空间曲线）设有向分段光滑闭合曲线张成分片光滑有向曲面，具有一阶连续偏导数，则其中方向和法线方向满足右手系，是曲面的法向量的方向余弦。注3 当曲面是平面时，方向余弦是常量。于是，当空间曲线比较复杂时，而曲线在某个平面上，即张成(围成)的曲面是一个平面，我们常常将第二类空间曲线积分转化为曲面积分。 注4 利用格林公式一定要平面曲线，并且是闭合的。对非闭合曲线积分，如果欲用格林公式，可以补充曲线段。通常情况下，补充的曲线段是平行于坐标轴的线段，这样有利于计算在补充曲线段上的曲线积分。注5 计算第二类曲线积分，不论积分曲线是平面曲线还是空间曲线，都有两个方法：（1）平面曲线积分：将曲线积分转化为定积分或重积分；（2）空间曲线积分：将曲线积分转化为定积分或曲面积分。例5 计算，其中为上半椭圆：，取顺时针方向解 曲线的参数方程：，因为顺时针，于是积分弧段的起点和终点对应的参数分别是和，所以 根据三角函数积分公式和性质，于是有例6 计算，其中是从点到点的线段解 直线的方程为 于是，积分曲线的参数方程可表示为：，参数从到。于是 例7 计算，其中是从到的上半圆周。解 。例8计算，其中是与（）的交线，曲线是逆时针方向。解 积分曲线参数方程：，所以 。例9计算曲线积分，其中为平面被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，其方向与三角形的上侧满足右手法则解 曲线张成曲面是三角形，利用斯托克斯公式，得在面上的投影区域：，利用矢量点积法，积分曲面法向量为，所以 题型 平面曲线积分与路径无关的条件设是平面单连通有界闭区域，是内的逐段光滑曲线，若，在上连续，则下面四个命题等价：（1）曲线积分与路径无关，只与起点和终点有关；（2）在内存在一个函数，使；（3），；（4）对内的任意光滑或逐段光滑闭曲线，有例10 计算，其中是过，的圆周。解（方法1）由于，于是曲线积分和积分路线无关。因此（方法2）利用凑微分所以，故练习 10-1 1计算下列第一类曲线积分：（1），其中为连接和两点的线段；（2），其中为，；（3），其中为，直线和轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；（4），其中为圆周；（5），其中是与的相交的圆周；（6），其中是与的相交的圆周；2计算下列对坐标的曲线积分：（1），其中是抛物线上从点到点的一段弧；（2），其中为圆周及轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(逆时针方向绕行)；（3），其中为圆周，上对应从到的一段弧； （5），其中从到点的一条直线段；3计算，为曲线从点到点的弧段4计算下列曲线积分： （1），其中为在抛物线上从点和的一段弧； （2），其中为围成的正方形的边界，沿顺时针方向 5验证下列在整个平面内是某一函数的全微分，并求这样的一个： (1) ； (2) ；(3) ；(4) 6证明下列曲线积分在整个面内与路径无关，并计算积分值：（1）；（2），和为连续函数 7利用曲线积分，计算下列曲线所围成的图形面积： （1）椭圆：； （2）圆：8已知曲线积分与路径无关，且求9设曲线积分与积分路径无关，其中具有连续的导数，且，计算10.2 曲面积分 一 基本概念定义1 第一类曲面积分（对面积的曲线积分）；其中表示分割曲面的分法的细度，即块曲面直径的最大值，是第块曲面上的任意一点。物理意义：第一类曲面积分表示物质曲面的质量，其中被积函数是曲面的面密度。定义2 第二类曲面积分（对坐标的曲面积分） ；其中表示分割曲面的分法的细度，是第块曲面上的任意一点。，是分别在坐标面，上的投影。物理意义：第二类曲面积分表示单位时间内流速场流经曲面一侧的流量，其中被积函数，是流量场在个坐标轴方向上的分量。二 基本结论定理1（第一类曲面积分性质）（1）线性性质 (1) ；(2) (2) 曲面可加性 (3) 面积公式 （表示曲面的面积）(4) 恒等变换 被积函数可以用积分曲面方程作变换(5) 奇偶性与对称性 如果光滑或逐片光滑曲面关于坐标面对称，函数在上连续，则其中是被面分成的半部分 定理2 （第二类曲面积分性质）(1) 有向性 设是与有相反侧的同一光滑曲面， (2) 线性性质 (1) ；(2) (3) 曲面可加性 定理3 （两类曲面积分关系） 其中表示处法线的方向余弦。且。定理4（高斯公式）表示的外测。三 基本方法3 计算第一类曲面积分（对面积的曲面积分）方法一：基本方法转化为二重积分（1）曲面方程：，有界闭区域，则其中是积分曲面在面的投影。类似的，曲面方程：或时，得到相应公式。（2）曲面参数方程：，有界闭区域，则方法二：基本技巧利用第一类曲面积分性质例1 计算曲面积分，其中是球面被平面截出的顶部。解 积分曲面的方程：，于是在坐标面上的投影区域：又由于，于是有 (极坐标变换) 例2 计算曲面积分，其中是平面在第一卦限部分解(方法1) 曲面的方程：，则 根据公式(1)，有 ，其中所以 . 用曲面积分的性质解此题：(方法2) 由于积分曲面关于具有轮换对称性，所以有于是是积分曲面块的面积，即等腰三角形的面积：所以 例3 计算曲面积分，其中：解 由于根据曲面积分的对称性和奇偶性，有又由于积分曲面关于具有轮换对称性，于是所以 。例4 计算曲面积分，其中：解 根据积分线性性质，有=根据第一类曲面积分的对称性和奇偶性，有于是4 计算第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）方法一：基本方法转化为二重积分（1）投影法：将第二类曲面积分化为二重积分 其中号取决于的侧方向与坐标轴方向是相同还是相反，若相同，则取正；若相反，则取负。，分别是曲面在坐标面，上的投影。（2）矢量点积法：积分曲面，（在上的投影）其中：号取决于的侧面与轴方向是相同还是相反，若相同，则取正，若相反，则取负。方法二：基本技巧利用高斯高斯转化为三重积分（3）高斯公式其中表示的外侧。例5 计算曲面积分，其中是球面的，部分的外侧解（投影法）将分成与，：，下侧；：，上侧，与在面上投影区域：的第一象限部分，因此 (极坐标变换，)(三角变换，)注1 计算，只能往投影，将积分曲面表示为：，被积函数的用去替换。例6 计算，其中是在第一挂限和部分的上侧。解（矢量点积法）积分曲面的法向量，在面的投影：，从而有。注2 若曲面积分中含有两种或两种以上坐标面，常常用矢量点积法，当然也可以用投影法，但是需要做多次投影，这样会很麻烦，工作量也很大。例7 计算曲面积分，其中是上半球面的上侧。解 补充曲面片，下侧，使其变成闭曲面积分，于是有 （利用高斯公式）由于。，所以。注2 应用高斯公式计算闭曲面积分，是计算闭曲面积分的基本技巧，但是如果不是闭曲面，我们常常通过补充曲面片，变成闭曲面，再应用高斯公式，但是补充的曲面片一般是平行于坐标面的平面，因为这样有利于计算函数在补充曲面片上的曲面积分。例 8 设具有连续的导数，计算其中是与球面与所围成的立体表面的外侧。解 本题是闭合曲面的第二类曲面积分，满足高斯公式条件，又由于，根据高斯公式 （利用球面坐标变化）。练习 10-2 1计算下列对面积的曲面积分：（1），其中是由锥面及平面围成的区域的整个边界曲面；（2），其中是球面上的部分；（3），其中是球面；（4），其中是球面2计算下列第二类曲面积分： （1），其中是柱面被平面和所截得的在第一卦限内的部分的前侧；（2），其中函数连续，是平面在第四卦限内的部分的上侧；（3），其中是平面，所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧； （4），其中是抛物面在和之间部分的外侧 3 计算曲面积分，其中为曲面在平面的右侧部分的外侧4计算曲面积分，其中为上半球面的上侧5计算曲面积分，其中为圆柱面被平面和截得的部分的外侧 6计算曲面积分，其中为上半球面的外侧7利用高斯公式计算曲面积分（1），其中为球面的外侧；（2），其中为曲面与所围成的立体表面的外侧 8设为单位上半球面的外侧，计算9利用斯托克斯公式计算，其中是与的交线，从轴正向看逆时针方向 第十章答案与提示练习10-1答案与提示1（1）；（2）；（3）提示：将曲线积分表示为在三段曲线积分的和；（4）提示：令，则；（5）提示：积分曲线是与的交线，也是与的交线；于是（6）提示：由于积分曲线关于是