插值法与数据拟合.doc

佛山科学技术学院实 验 报 告课程名称 数值分析 实验项目 插值法 专业班级 姓名 学号 指导教师 成 绩 日 期 5月12日 一、实验目的1、学会Lagrange 插值、牛顿插值和 分段线性插值等基本插值方法；2、讨论插值的Runge现象，掌握分段线性插值方法3、学会Matlab提供的插值函数的使用方法，会用这些函数解决实际问题。二、实验原理1、拉格朗日插值多项式2、牛顿插值多项式3、分段线性插值三、实验步骤1、用MATLAB编写独立的拉格朗日插值多项式函数；2、用MATLAB编写独立的牛顿插值多项式函数；3、利用编写好的函数计算本章P66例1、P77例1的结果并比较；4、已知函数在下列各点的值为：0.20.40.60.81.00.980.920.810.640.38试用4次牛顿插值多项式对数据进行插值，根据，画出图形。5、在区间-1,1上分别取用两组等距节点对龙格函数作多项式插值，对不同值，分别画出插值函数及的图形。6、下列数据点的插值01491625364964012345678(1)可以得到平方根函数的近似，在区间0,64上作图。（2）用这9个点作8次多项式插值。四、实验结果1、用MATLAB编写独立的拉格朗日插值多项式函数Lagrange 插值多项式源代码function yi=Lagrange(x, y, xi)% Lagrange 插值多项式，其中% x - 向量，全部的插值节点% y - 向量，插值节点处的函数值% xi - 标量，自变量x% yi - xi 处的函数估计值n=length(x); m=length(y);if n=m error(The lengths of X and Y must be equal); return;endp=zeros(1,n);% 对向量p赋初值0for k=1:n t=ones(1,n); for j=1:n if j=k if abs(x(k)-x(j)eps error(the DATA is error!); return; end t(j)=(xi-x(j)/(x(k)-x(j); end end p(k)=prod(t);endyi=sum(y.*p);2、用MATLAB编写独立的牛顿插值多项式函数function yi=New_Int(x, y, xi)% Newton 基本插值公式，其中% x - 向量，全部的插值节点，按行输入% y - 向量，插值节点处的函数值，按行输入% xi - 标量，自变量x% yi - xi 处的函数估计值n=length(x); m=length(y);if n=m error(The lengths of X and Y must be equal); return;end% 计算均差表YY=zeros(n); Y(:,1)=y; % Y(:,1)表示矩阵中第一列的元素for k=1:n-1 for i=1:n-k if abs(x(i+k)-x(i) y=0.41075,0.57815,0.69675,0.88811; yi=New_int(x,y,0.596)yi =0.6319144055040004、已知函数在下列各点的值为：0.20.40.60.81.00.980.920.810.640.38试用4次牛顿插值多项式对数据进行插值，根据，画出图形。解： X=0.2:0.2:1.0; y=0.98,0.92,0.81,0.64,0.38;xx=0.2:0.08:1.0; m=length(xx); z=zeros(1,m);for i=1:m z(i)=Lagrange(x, y, xx(i);endhold onplot(x,y,o);plot(xx,z,r*);hold off得到如下图形：图一 练习4的图形5、在区间-1,1上分别取用两组等距节点对龙格函数作多项式插值，对不同值，分别画出插值函数及的图形。解：a=-1;b=1;n=100;h=(b-a)/n; x=a:h:b;y=1./(1+25.*x.2); plot(x,y,k)其函数原图形分别如下所示：图二 龙格函数的图形用龙格函数的Lagrange（）插值函数画图源程序当n =10时，有：function Runge(10)% Runge现象% n - 等距离节点a=-1; b=1; h=(b-a)/n;x=a:h:b; y=1./(1+25.*x.2);xx=a:0.01:b; yy=1./(1+25.*xx.2); m=length(xx); z=zeros(1,m);for i=1:m z(i)=Lagrange(x, y, xx(i);endhold onplot(x,y,o);plot(xx,z,r-);hold off当n =20时，有：function Runge(10)% Runge现象% n - 等距离节点a=-1; b=1; h=(b-a)/n;x=a:h:b; y=1./(1+25.*x.2);xx=a:0.01:b; yy=1./(1+25.*xx.2); m=length(xx); z=zeros(1,m);for i=1:m z(i)=Lagrange(x, y, xx(i);endhold onplot(x,y,o);plot(xx,z,r-);hold off其图形分别如下所示： 图三 Runge(10) 图四 Runge(20)6、下列数据点的插值01491625364964012345678(1)可以得到平方根函数的近似，在区间0,64上作图。（2） 用这9个点作8次多项式插值。function L8%平方根函数的8次多项式插值x=0 1 4 9 16 25 36 49 64; y=sqrt(x);m=length(x); z=zeros(1,m);for i=1:m z(i)=Lagrange(x, y, x(i);endhold onplot(x,y,o); plot(x,y,o);xlabel(x);ylabel(y);plot(x,z,r-);hold off得到其图形如下所示：图五 的图形x=0 1 4 9 16 25 36 49 64;y=0 1 2 3 4 5 6 7 8;xx=0:0.5:64; yy=sqrt(xx);m=length(xx);z=zeros(1,m);for i=1:mz(i)=Lagrange(x,y,xx(i);endplot(x,y,o,xx,yy,.,xx,z,r-);的8次Lagrange插值函数图形图六 的8次Lagrange插值函数图形五、讨论分析从下面这段代码可以看出，利用mathlab自带的增长型变量来作图，是一种在c语言学习中没有发现的方法。而且，代码中还体现了一种比较作图和数据共用的思维方法。例如：x=0 1 4 9 16 25 36 49 64;y=0 1 2 3 4 5 6 7 8;xx=0:0.5:64; yy=sqrt(xx);m=length(xx);z=zeros(1,m);for i=1:mz(i)=Lagrange(x,y,xx(i);endplot(x,y,o,xx,yy,.,xx,z,r-);利用以上简单的程序，matble就可以做出图形，方便观察和研究。我们知道，利用计算机则可以方便地增加曲线上样点的个数，随着样点的个数增加，让学生观察函数的图像性质，从而抽象出函数图像的形状。当然，作图的话我们也可以利用zz超级画板。下面我们完成这个过程：（1）在坐标系的属性对话框中，选择“画坐标网格”和“显示刻度”选项。（2）在作图区空白处单击鼠标右键，在快捷菜单中单击【函数或参数方程曲线】命令，如下图所示弹出函数作图属性对话框，在“”对应的编辑框中输入：x，然后在下面的曲线属性中，设置“曲线的点数”为：9，选择曲线以“折线段”方式显示，设置变量x的参数范围为：0到64，选择在折线段上“画点”，设置点的大小为：2；最后单击【确定】按钮完成,同样可以画出函数图像，通过改变曲线的点数，函数曲线越来光滑；六、改进实验建议三次样条插值直接用spline函数做。 边界条件加在y的首尾，第一个表示y(x0)，最后一个表示y(xt)。 如果不加边界条件，默认是not-a-knot边界条件（注意不是自然边界条件） 自然边界条件的插值要用csape函数才能得到。 如果用interp1，则只能使用spline函数的默认边界条件，即not-a-knot条件。 下面是例子 :x=0:3:9; y=x.*cos(x); xx=linspace(0,9); plot(x,y,o);%样本点 hold on; plot(xx,interp1(x,y,xx,spline),r);%interp1只能使用默认边界条件plot(xx,spline(x,0 y 0,xx),r:);%spline可以使用第一类边界条件，这里y(0)=y(9)=0 pp=csape(x,y,second); plot(xx,fnval(pp,xx) %第二类边界条件要用csape做，这里自然边界条件 legend(样本点,默认边界条件,一阶导数为0,自然边界条件,location,south)hold off;另外，我们可以设： y=a0+a1*x+a2*x2+a(n-1)*x(n-1)，则其 n次拉格朗日函数插值程序：function LagrangesNs() %用于求过n点的拉格朗日n-1次插值多项式options=Name of data file;title=Lagranges_points;lineNo=2;def=Lagranges.dat;outval=inputdlg(options,title,lineNo,def);if isempty(outval)=1,return,endfilename=outval1;data=load(filename);x=data(:,1);y=data(:,2);lagrangesN(x,y);endfunction lagrangesN(x,y)%画出已知n个点的位置plot(x,y,*);hold on%n次拉格朗日多项式为 y=a0+a1*x+a2*x2+a(n-1)*x(n-1) %其中a0 a1 a2a(n-1)为待求系数n=length(x);X=Vandermonde(x,1);A=Xy;%绘制插值函数图象x1=linspace(0,max(x);x2=Vandermonde(x1,n);y1=x2*A;plot(x1,y1);hold on%显示公式func=y= ,num2str(A(1);for i=2:n; b=+ ,num2str(A(i),*x,num2str(i-1); func=func,b;endtext(0.8,0.8,func);end%创建