一类广义耦合的非线性波动方程组时间 周期解的存在性X.pdf

文章编号 1000 0887 2003 06 0595 10 一类广义耦合的非线性波动方程组时间 周期解的存在性 房少梅 1 2 郭柏灵 3 1 广东韶关学院 数学系 广东韶关512005 2 中国工程物理研究院 研究生部 北京100088 3 北京应用物理与计算数学研究所 北京100088 我刊编委郭柏灵来稿 摘要 研究了一类广义耦合的非线性波动方程组关于时间周期解的问题 首先利用Galerkin方 法构造近似时间周期解序列 然后利用先验估计和Laray Schauder不动点原理 证明近似时间周期 解序列的收敛性 从而得到该问题时间周期解的存在性 关 键 词 非线性波动方程组 先验估计 时间周期解 中图分类号 O175 25 O175 29 文献标识码 A 引 言 文 1 给出了如下非线性方程组的光滑解的存在性 ut uxxx buux 2vvx 1 vt 2 uv x 2 该方程组描述了内长波相互作用的过程 Ito M 提出了一个构造循环算子的方法 2 由此推 出方程 1 2 具有无穷多个对称和运动常数 P F He 3 得到了耦合非线性KdV方程组 4 的光滑解的存在性 ut a uxxx buux 2bvvx 3 vt vxxx 3uvx 4 其中a和b是常数 我们注意到M E Schonbek 5 对于类似的耦合非线性方程系统 6 ut uxxx uux vx 5 vt uv x 6 使用抛物正则化方法和L1里弱紧集的Dunford定理证明了它的弱解的整体存在性 本文 我们研究了如下具有周期边界条件的耗散耦合非线性波动方程的时间周期解 ut f u x uxx uxxx 2vvx G1 u v h1 x 7 595 应用数学和力学 第24卷 第6期 2003年6月 Applied Mathematics and Mechanics 应用数学和力学编委会编 重 庆 出 版 社 出 版 收稿日期 2001 05 28 修订日期 2003 03 03 作者简介 房少梅 1964 女 安徽淮北人 副教授 博士 研究方向 无穷维动力系统与计算可视化 E mail dz90 163 net 1995 2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved vt vxx 2 uv x g v x G2 u v h2 x 8 u x t u x t v x t v x t x R t R 9 u x D t u x D t v x D t v x D t x R t R 10 其中 0 D 0 0 0 0是实数 函数u x t v x t 是关于时间t的周期 函数 其周期同为 并且关于空间变量x 函数u x t v x t 也是周期的 f u g v G1 u v G2 u v 为已知的实值函数 我们证明了非线性波动方程组 7 10 时间周期强 解的存在性 为方便起见 我们用 表示 L2 用 p表示 Lp 用 m表示 Hm D D t 0 0 本文中 L2 是具有如下内积 u v uvd x 的Hilbert空间 设X是Banach空间 我们定义CK X 是X中具有1到K阶导数的周期函数 周期为 其范数定义如下 u CK X sup 0 t 6 K i 1 Ditu X 用Lp X 1 p 表示X中具有模 u Lp X 0 u p X 1 p 1 p 0是常数 2 hi x L2 i 1 2 D D 3 uN x t vN x t C1 HN 则有不等式 17 成立 证明 问题 15 16 能写为如下的等价形式 u Nt f uN x uNxx uNxxx 2 vNvNx G1 u N vN h1 x j x 0 18 v Nt g vN x vNxx 2 u NvN x G2 u N vN h2 x j x 0 19 用 jN t jN t 分别乘以 18 19 从1到N对j求和 有 u Nt f uN x uNxx uNxxx 2 vNvNx G1 u N vN h1 x uN 0 20 v Nt g vN x vNxx 2 u NvN x G2 u N vN h2 x vN 0 21 其中 u N vN D DuN x t vN x t dx uN f uN x 0 u N uNxx uNx 2 vN vNxx vNx 2 u N uNxxx 0 vN g vN x 0 u N 2 vNvNx vN 2 u NvN x 2 uNvNvNxdx 2 uNvNvNxdx 0 795一类广义耦合的非线性波动方程组时间周期解的存在性 1995 2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved u N G1 u N vN vN G2 u N vN u N G1uNuN G1vNvN vN G2uNuN G2vNvN u N vN G1uN G2uN G1vN G2vN uN vN b0 uN 2 vN 2 u N h1 x b0 2 u 2 1 2b0 h1 2 v N h2 x b0 2 v 2 1 2b0 h2 2 20 和 21 相加 得 1 2 d dt uN 2 vN 2 uNx 2 vNx 2 b0 2 1 uN 2 vN 2 1 2b0 h1 2 h2 2 22 在0 上对 22 积分 有 0 uN t 2 vN t 2 dt b20 2 1 h1 x 2 h2 x 2 E1 23 因此 存在一个t 3 0 使得 uN t 3 2 vN t 3 2 1 b20 2 1 h1 x 2 h2 x 2 E1 24 对 22 再次积分从t 3 到t t 0 可得 uN t 2 vN t 2 uN t 3 2 vN t 3 2 b20 2 1 h1 x 2 h2 x 2 1 1E1 25 故 uN t 2 vN t 2 1 1E1 即存在一个确定的与 N无关的常数E1 因此 由Laray Schauder不动点定理 我们知道方程 15 16 的解属于C1 HN 当 1 我们得到在C1 HN 中存在方程 15 16 的解 u N vN 引理证完 定理1 1 对任意的自然数N 方程 15 16 存在有近似时间周期解 u N vN C1 HN 2 一致性先验估计 在第1节里 我们得到了方程 7 10 的近似时间解序列 uN vN 本节 我们将 证明这个解序列 uN vN 是收敛的 而且它的极限就是问题 7 10 的时间周期解 为了这个目的 我们需要证明方程 7 10 关于时间近似周期解的一致性先验估计 引理2 1 Sobolev s不等式 8 设u Lq 其中1 r q 0 使得 D ju Lp C Dmu a Lr u 1 a Lq 其中 0 j m j m a 1 1 p 和 1 p j n a1 r m n 1 a q 895房 少 梅 郭 柏 灵 1995 2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 引理2 2 在引理1 1的条件下 我们设 1 f u C1 g v C1 Gi u v C1 i 1 2 2 f u A u 5 g v B v 6 A 0 B 0 0 Gi Ci u 5 v 5 C i 0 则关于方程 7 10 的近似时间周期解 我们有如下估计 uNx 2 vNx 2 1 1E2 26 其中常数E2不依赖于N 证明 考察下列方程 u Nt f uN x uNxx uNxxx 2vNvNx G1 u N vN h1 x j 0 27 v Nt g vN x vNxx 2 u NvN x G2 u N vN h2 x j 0 28 用 jN乘以 27 对j从1到N求和 有 u Nt f uN x uNxx uNxxx 2vNvNx G1 u N vN h1 x uNxx 0 29 其中 u Nxx uNt 1 2 d dt uNx 2 u Nxx f uN x uNxxx f uN 1 u Nt f uN x uNxx 2vNvNx G1 u N vN h1 x f uN 1 d dt F uN dx u Nxx f uN 2 v NvNx f uN 1 G 1 u N vN h1 x f uN 由Sobolev插值不等式 得到 uNxx f uN uNxx f uN A uNxx uN 5 10 2 12 uNxx 2 C uN 2 vNvNx f uN 2 vN 4 vNx f uN 2 12 uNxx 2 8 vNxx 2 C uN vN 1 G 1 u N vN f uN 4C1 uN 10 10 vN 5 10 2 vN 5 10 12 uNxx 2 8 vNxx 2 C uN vN uNxx h1 uNxx h1 12 uNxx 2 3 h1 2 u Nxx uNxx uNxx 2 uNxx uNxxx 0 根据 29 有 1 2 d dt uNx 2 2 F uN dx 7 12 uNxx 2 2 u Nxx vNvNx uNxx G1 u N vN 4 uNxx 2 3 h1 2 C 30 用 jN乘以 28 关于j从1到N求和 有 v Nt g vN x vNxx 2 u NvN x G2 u N vN h2 x vNxx 0 31 其中 995一类广义耦合的非线性波动方程组时间周期解的存在性 1995 2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved v Nxx vNt 1 2 d dt vNx 2 vNxx vNxx vNxx 2 vNxx g vN x C vNxx g vN x 16 vNxx 2 C vNxx h2 vNxx h2 16 vNxx 2 4 h2 2 2 u Nxx vNvNx 2 v Nxx uNvN x 3 uNxv2Nxdx 3 uNx 2 vNx 2 4 24 uNxx 2 16 vNxx 2 C u Nxx G1 u N vN vNxx G2 u N vN uNx G1x u N vN vNx G2x u N vN uNx G1uNuNx G1vNvNx vNx G2uNuNx G2vNvNx uNx vNx G1uNG2uN G1vNG2vN uNx vNx b0 uNx 2 vNx 2 不等式 30 和 31 相加 得到 d dt t 2b0 t uNxx 2 vNxx 2 3 h1 2 4 h2 2 C 32 其中 t uNx 2 vNx 2 2 F uN dx 在0 上对 32 积分 注意到 2 F u dx A u 6 6 1 2 uxx 2 C 因此我们得到 0 uNx 2 vNx 2 dt 2b0 3 h1 2 4 h2 2 E2 33 故存在一个t 3 0 使得 uNx t 3 2 vNx t 3 2 1 2b0 3 h1 2 4 h2 2 E2 34 对 32 再次积分 从t 3 到t t 0 得到 uNx t 2 vNx t 2 uNx t 3 2 vNx t 3 2 E2 1 1E2 35 即有 26 成立 引理证完 引理2 3 在引理2 2的条件下 设 1 f u C2 g v C2 Gi u v C2 i 1 2 2 hi x H1 i 1 2 则关于方程 7 10 的近似时间周期解 我们有如下估计 uNxx 2 vNxx 2 1 1E3 36 其中E3是不依赖于N的常数 证明 考察下列方程 006房 少 梅 郭 柏 灵 1995 2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved u Nt f uN x uNxx uNxxx 2vNvNx G1 u N vN h1 x 4 j 0 37 v Nt g vN x vNxx 2 u NvN x G2 u N vN h1 x 4 j 0 38 用 jN乘以 37 对j从1到N求和 得到 u Nt f uN x uNxx uNxxx 2vNvNx G1 u N vN h1 x uNxxxx 0 39 其中 uNxxxx f uN x uNxxx f u N u 2 N x f u N u Nxx f u N uNxxx uNx 2 4 f u N uNxxx uNxx 10 uNxxx 2 C uNxxxx uNxx uNxxx 2 uNxxxx uNxxx 0 uNxxxx 2vNvNx uNxxx 2 v 2 Nx vNvNx 8 vNxxx 2 10 uNxxx 2 C uNxxxx h1 uNxxx h1x 5 h1x 2 10 uNxxx 2 用 jN乘以 38 对j从1到N求和 得到 v Nt g vN x vNxx 2 u NvN x G2 u N vN h2 x vNxxxx 0 40 注意到 vNxxxx vNxx vNxxx 2 vNxxxx 2 u NvN x vNxxx 2 u NxvN uNvNx x vNxxx 2 u Nxxv 2uNxvNx uNvNxx 16 vNxxx 2 10 uNxxx 2 C vNxxxx g vN x vNxxx g v N v 2 Nx g v N v Nxx g v N vNxxx vNx 2 4 g v N vNxxx vNxx 16 vNxxx 2 C vNxxxx h2 vNxxx h2x 2 h2x 2 8 uNxxx 2 u Nxxxx G1 u N vN vNxxxx G2 u N vN u Nxx G1uNuNxx G1vNvNxx G1uNuNu2Nx G1vNvNv2Nx 2G1uNvNuNxvNx v Nxx G2uNuNxx G2vNvNxx G2uNuNu2Nx G2vNvNv2Nx 2G2uNvNuNxvNx b0 uNxx 2 vNxx 2 8 vNxxx 2 10 uNxxx 2 C 其中常数C依赖于 uN H1和 vN H1 由 39 和 40 得到 d dt uNxx 2 vNxx 2 uNxxx 2 vNxxx 2 2b0 uNxx 2 vNxx 2 5 h1x 2 2 h2x 2 C 41 在0 上 对不等式 41 积分 因此有 0 uNxx 2 vNxx 2 dt 2b0 5 h1x 2 2 h2x 2 C E3 42 即 存在一个t 3 0 使得 uNxx t 3 2 vNxx t 3 2 1 2b0 5 h1x 2 2 h2x 2 E3 43 106一类广义耦合的非线性波动方程组时间周期解的存在性 1995 2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 对 41 再次积分从t 3 到t t 0 有 uNxx t 2 vNxx t 2 uNxx t 3 2 vNxx t 3 2 E3 1 1E3 44 故 36 成立 引理证完 引理2 4 在引理2 3的条件下 我们设 1 f u C3 g v C3 Gi u v C3 i 1 2 2 hi x H3 i 1 2 则关于方程 7 10 的近似时间周期解 我们有如下估计 uNxxx vNxxx 1 1E4 45 其中E4是与N无关 而与 u H3 v H3 hi H3 i 1 2 有关 证明 考察下列方程 u Nt f uN x uNxx uNxxx 2vNvNx G1 u N vN h1 x 6 j 0 46 v Nt g vN x vNxx 2 u NvN x G2 u N vN h2 x 6 j 0 47 用 jN乘以 46 对j从1到N求和 有 u Nt f uN x uNxx uNxxx 2vNvNx G1 u N vN h1 x 2uNx6 0 48 用 jN乘以 47 对j从1到N求和 有 v Nt g vN x vNxx 2 u NvN x G2 u N vN h2 x 2vNx6 0 49 由于 u Nx6 uNt 1 2 d dt uNxxx 2 uNxxx 2 v Nx6 vNt 1 2 d dt vNxxx 2 vNxxx 2 使用Sobolev不等式有 f u k C u u k 1 1 max 1 p k D pf u u k 其中常数C不依赖于f和u 有 uNx6 f uN x C uNxxx uNxxxx 8 uNxxxx 2 C uNxxx 2 1 vNx6 g vN x C vNxxx vNxxxx 8 vNxxxx 2 C vNxxx 2 1 uNx6 G1 h1 8 uNxxxx 2 C vNx6 G2 h2 8 vNxxxx 2 C uNx6 2vNvNx uNxxxx 6vNxvNxx 2vNvNxxx 8 uNxxxx 2 8 vNxxxx 2 C vNx6 2 u NvN x vNxxxx 2 u Nxxxv 3uNxxvNx 3uNvNxx uNvNxxx 8 uNxxxx 2 8 vNxxxx 2 C 其中常数C C1依赖于 uN H3 vN H3 我们得到 d dt uNxxx 2 vNxxx 2 uNxxxx 2 vNxxxx 2 C uNxxx 2 vNxxx 2 C1 50 206房 少 梅 郭 柏 灵 1995 2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 在0 上 对 50 积分 有 0 uNxxx 2 vNxxx 2 dt C2 E4 51 其中C2 C C1 是常数 因此 存在一个常数t 3 0 使得 uNxxx t 3 2 vNxxx t 3 2 C1 C 对 50 再次积分从t 3 到t t 0 有 uNxxx t 2 vNxxx t 2 uNxxx t 3 2 vNxxx t 3 2 E4 1 1E4 52 故 45 成立 引理证完 3 周期解的存在性 使用近似时间周期解的存在性和上面的一致性先验估计 我们能够证明如下的定理 定理3 1 如果存在一个确定的常数N 使得 u v E 则方程 7 10 有一个时间周期解 u v C1 H2 证明 对于任意自然数N 我们证明方程 7 10 有一个近似解 u N vN 即方程 12 13 的解 并且 我们有一些关于 u N vN 的范数估计 对一个固定的t 在空间H1中的一 致有界范数 uN H1 vN H1 使得我们能够找到一个子序列 u N vN 弱收敛于 u v H1 下面 我们将证明 u v 是方程 7 10 的解 事实上 在H1中 uN vN 弱收敛于 u v 对任意的t 0 有如下结论 u N t vN t u t v t 在L2中弱 3 收敛 53 u Nxxx t vNxxx t u xxx t vxxx t 在L2中弱 3 收敛 54 u Nt t vNt t u t t vt t 在L2中弱 3 收敛 55 由于H1是紧嵌入在L2 中 我们能够找到一个子序列 uN t vN t 使得对任意的t 0 有 u N t vN t u t v t 在L2中强收敛 56 u Nt t vNt t u t t vt t 在L2中强收敛 57 由引理1 1和引理2 2 2 4 对任意的t 0 uN t vN t 在H2中是一致有界 的 因此 我们找到一个子序列 uN t vN t 使得 uN t vN t 在H2 中 弱收敛 特别 对任意的t 0 有 f uN x f u x在L2中弱 3 收敛 58 g vN x g v x在L2中弱 3 收敛 59 uNvNx uvx在L2中弱 3 收敛 60 u NvN x uv x 在L2中弱 3 收敛 61 Gi u N vN Gi u v i 1 2 在L2中弱 3 收敛 62 且函数 u v 满足 u v C1 L2 在这里 53 62 是显然的且 57 是一致收敛的 事实上 我们能够证明 uNt t h uNt t j C E1 E2 E3 E4 h 1 2 j 其中 如上述所述 j j 1 2 是HN中完全正交系统且 是它的特征函数 因此 使用对 306一类广义耦合的非线性波动方程组时间周期解的存在性 1995 2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co Ltd All rights reserved 角化法则 我们最终总能找到一个子序列 uNt vNt 使得 uNt vNt 在HN中对所 有的t 0 弱收敛于一个元 因此 由引理2 1 2 4的有界性 我们能得到 57 是成立 的 综合引理1 1和引理2 1 2 4 对任意的 j HN 根据前面得到的估计 u v 是方程 7 10 的解 定理3 1的证明完成 参 考 文 献 1 GUO Bo ling TAN Shao bin Global smooth solution for a coupled nonlinear wave equations J Math Method Appl Sci 1991 14 6 419 425 2 Ito M Symmetries and conservation laws of a coupled nonlinear wave equation J Phys Lett A 1982 91 7 335 338 3 He P F Global solutions for a coupled KdV system J J Partial Differential Equations 1989 2 1 16 30 4 Hirota R Satsuma J Soliton solutions for a coupled KdV equation J Phys Lett A 1981 85 8 9 407 421 5 Schonbek M E Existence of soluton for the boussinesq system of equation J J Differential Equa2 tions 1981 42 3 325 352 6 Banjamin T B Lectures in Applied Mathematics M Providence R I American Mathematical Soci2 ety 1974 7 GUO Bo ling Finite dimensional behavior for weakly damped generalized KdV Burgers equations J Northeast Math J