八年级学生几何题目的错例分析.pdf

第3 4 卷第3 期2 0 1 5 年3 月数学教学研究 1 5 八年级学生几何题目的错例分析 吝孟蔚1 杜宵丰2 黄迪1 1 北京师范大学教育学部1 0 0 8 7 5 2 北京师范大学数学科学学院1 0 0 8 7 5 几何是初中数学教学中的重要内容之 一 义务教育数学课程标准 2 0 1 1 年版 中 强调要注重发展学生的空间观念和几何直 观 要求学生能根据物体特征抽象出几何图 形 并能利用图形描述和分析问题 在北京 师范大学 中国基础教育质量监测协同创新 中心 项目中 通过对3 个地区的8 万多名学 生的测试 发现学生在几何解题中存在很多 问题 如思维混乱 忽略隐含条件等 笔者选 学生在这些题目中的错误作答 并提出相应 的解决策略 1 选题缘由 本测试按照 义务教育数学课程标准 2 0 1 1 年版 将考查内容分为数与代数 图 形与几何 统计与概率3 个维度 这3 个维度 所占比例约为5 3 5 1 5 由于3 个地区所 用教材版本不同 因此在选择考查内容时 综 合了3 个地区的相同知识点 试卷中共有1 5 取了3 套试卷中的5 道几何题目 深人分析道图形与几何的题目 所考知识点依据表1 表1 图形与几何测试框架 1 1 勾股定理 1 勾股定理 1 2 勾股定理的逆定理 图形与几何 2 1 平行四边形的性质 判定 三角形中位线 2 2 矩形 菱形 正方形的判定和性质 2 四边形 2 3 三角形 平行四边形的重心 2 4 补充 探索内角和 从题目本身来说 有5 道题目比较新颖 分别从生活实际 动态变化 折叠等角度出 发 考查学生对几何知识的掌握情况 从数据 中也发现 这5 道题目的错误作答很有特点 能较好地反映出学生学习中存在的一些问 题 因此 笔者选取下面5 道题目进行深入分 析 旨在从学生的错误中找出改善教师教学 和学生学习的策略和方法 2 错例呈现与分析 例1 某厂准备购进甲 乙两种颜色不 同的布料生产一批形状 如图1 所示的桌布 其中 阴影部分是用甲布料 其余部分用乙布料 裁 剪这两种布料时 均不 计余料 已知点E F 图1 G H 分别是四边形A B C D 各边的中点 若 生产这批桌布需要甲布料2 0 0m 2 那么需要 乙布料 m 2 A 2 0 0 B 1 5 0 C 1 0 0 D 5 0 收稿日期 2 0 1 4 1 1 0 5 本文数据来自北京师范大学教育质量监测协同创新中心 区域质量健康体检项目 的子项目 中学数学学业质量诊断与反 馈 子项目负责人 綦春霞 作者简介 吝孟蔚 北京师范大学教育学部硕士研究生 专业为数学课程与教学论 万方数据 1 6数学教学研究第3 4 卷第3 期2 0 1 5 年3 月 本题主要考查三角形中位线的性质 旨 在让学生分析阴影部分和非阴影部分的面积 关系 学生只要掌握了中位线的性质 就能判 断出四边形E F G H 的面积是四边形A B C D 的面积的一半 有8 0 3 的学生选择正确选 项A 有4 1 的学生选择选项B 1 3 9 的 学生选择选项C 选择选项D 的有1 3 还 有0 4 的学生未作答本题 从访谈可以看 出 选择B 和D 的学生对三角形中位线的概 念及性质模糊不清 看到此题不会运用中位 线的知识来进行解题 错解C 分析选项C 具有一定的代表性 导致 这个错解产生的原因主要是审题不清 学生 错误地将甲布料看做整块布料 将乙布料看 成阴影部分 认为此题就是求阴影部分的面 积 学生能正确判断出四边形E F G H 的面积 是四边形A B C D 的面积的一半 但由于审题 错误 得出1 0 0 这个错误答案 解决策略在访谈中可以发现 学生选 C 多是因为粗心 未看清楚条件和结论 初 中生正处于具体形象思维向抽象形象思维转 变的过渡阶段 如果所学知识不系统 不全 面 就很容易在审题过程中因思维不周密而 出现解题错误 也容易导致思维的片面性 因 此 在教学中教师要注重知识的系统性和全 面性 培养学生形成系统的知识体系 同时可 针对性的训练学生的审题能力 提高学生分 析问题的能力 图2 例2 如图2 将两张长为8 宽为2 的 矩形纸条交叉 若重叠部分构成菱形 则重叠 部分周长的最小值是 本题是一道体现图形转换思想的题目 综合考查了学生对菱形和正方形的区分与联 系 周长的最小值为8 有4 5 7 的学生得满 分 有5 4 3 的学生得0 分 其中 有1 0 9 的学生答案是4 有3 8 1 的为其他非典型 错误答案 还有5 3 的学生未作答本题 错解4 分析经访谈 该部分学生对于菱形和 正方形的掌握比较到位 解题思路也比较清 晰 但学生由于审题不清 将问题中重叠部分 周长的最小值看作了重叠部分面积的最小 值 解决策略根据上述错例 提高学生的 解题能力尤为重要 这就要求在教学实践中 注重培养学生的审题能力和分析能力 引导 学生做到不漏字 不添字 抓住题目中的关键 字 词 仔细认真推敲 准确理解题意 例3 如图3 在一张三角形纸片A B C 中 么C 一9 0 么B 一4 5 D E 分别是A C A B 的中点 现把纸片沿D E 剪开 那么能拼 成几种不同形状的四边形 A 1 B 2 C 3 D 4 图3 本题主要考查三角形中位线的性质 学 生需根据题目中的条件 进行拼接 判断三角 形A D E 和四边形D E B C 组合形成的图形中 有几个是四边形 正确拼法如图4 所示 翌趿 1 2 3 图4 万方数据 第3 4 卷第3 期2 0 1 5 年3 月 数学教学研究 1 7 此外 还有学生拼成了边数大于4 的多 边形 不符合题意 有5 4 8 的学生此题得 满分 错误选项中 选A 的有4 2 选B 的 有3 7 3 3 6 的学生选择D 错解1 B 分析学生只拼出了两种图形 未把所 有的找全 在访谈中发现一部分学生找出 2 和 3 忽视了 1 学生通过条件 D E 分别 是A C A B 的中点 拼出 2 和 3 但并未 由此进一步得出D E 是中位线 D E D C 忽 略了 1 一部分学生拼出 1 和 2 原因是 1 和 2 是对称图形 比较直观 还有少部分 学生拼出 2 和 3 从这3 种情况可以看出 学生在知识的掌握上不够熟练 在具体题目 中不会灵活运用 遗漏一些重要的隐含信息 解决策略运用所学知识去解决问题是 学生必须掌握的技能之一 但知识与解题脱 节的现象屡屡出现 教师要引导学生发现知 识 习题以及实际问题的联系 能运用所学知 识解决数学问题 比如在课堂上 教师应与学 生积极交流题目中的信息 培养学生发现隐 含条件 判断考查知识点的能力 错解2 D 分析有3 6 的学生选择错误选项 D 拼出了4 种 访谈中存在一部分学生拼出 4 种或多于4 种的情况 很明显学生忽略了 题目中拼出四边形的限定条件 另外一部分 学生做题取巧 认为正确答案往往是最多的 一项 解决策略这些学生在答题中出现了态 度不认真的情况 他们对知识脉络比较清晰 能较好地运用知识来进行推理 但在解题过 程中 忽略了题目中的限定条件 教师在发展 学生智力的同时 也要注重培养学生认真 严 谨的数学态度 使学生形成良好的学习习惯 避免不必要的错误产生 例4 在R t A B C 中 L A B C 9 0 分 别以3 条边为斜边做3 个等腰直角三角形 若3 个等腰直角三角形的直角边分别记为 口 6 c 则口 6 c 的关系是 A n 6 c 2 C 口 b c D 口2 6 2 图5 本题主要考查学生对勾股定理的进一步 应用 有6 8 7 的学生此题得满分 有 3 1 3 的学生得0 分 得0 分的分为以下几 种情况 有4 2 的学生选择了A 有1 9 3 的学生选择了B 有7 2 的学生选择了C 有0 2 的学生未作答本题 错解1A 分析学生混淆了三角形两边之和大于 第三边 两边之差小于第三边的性质 解决策略从本错例中可看出学生在学 习知识时 对性质的本质差异模糊不清 对相 似的概念容易混淆 因此 在教学过程中 应 该引导学生明确不同性质的差异 加深学生 对知识的理解 从而避免在应用时出错 错解2B 分析经访谈 选择B 选项的学生主要 是应用勾股定理求出3 个外接等腰直角三角 形各斜边的平方后 错误的将斜边的平方当 作斜边来用 解决策略该部分学生解题思路比较清 晰 但存在不细致的问题 这与考生平常的做 题习惯有关 在日常数学学习时 除了要让学 生清楚习题本身所考察的知识点和解题思路 外 还要鼓励学生积极动手做一做 因为只有 在不断的实践中 才能逐步培养学生细致的 品质 万方数据 1 8数学教学研究第3 4 卷第3 期2 0 1 5 年3 月 错解3C 分析经访谈 选择C 选项的学生完全 凭借其主观臆断 没有任何解题根据 解决策略该部分学生对于题目所考察 的知识点完全不清楚 思维混乱 只能主观猜 测 针对这部分学生 要从最基础的部分一 知识抓起 首先要让学生熟练掌握勾股定理 其次也要注重提高学生的逻辑思维能力 例5 如图6 第1 个四边形为面积是1 的筝形 依次连接该筝形各边中点得到第2 个四边形 然后再依次连接这个四边形各边 中点得到第3 个四边形 按照此方法继续下 去 请回答下列各题 1 第2 个四边形是什么图形 面积是 多少 2 第3 个四边形是什么图形 面积是 多少 3 第1 0 个 第1 1 个四边形是什么图 形 面积各是多少 辛c 今号 辛 辛 图6 本题是在筝形的背景下 深入地考查了 中位线的性质 筝形在课程标准中未作要求 学生在作答过程中首先需要理解题目中所给 的筝形的定义 并结合中位线的性质 根据题 目要求探索规律 才能正确解答题目 在分析 学生的作答情况时发现 学生的错误答案主 要表现为学生忽略所给筝形定义或对其理解 错误 探索规律中出现问题等方面 该题主要 考查学生利用中位线性质判断图形并求出相 应的面积 笔者对学生作答情况进行了编码 统计 约6 8 1 的学生在第1 2 问作答完全 正确 而在错误作答中 约1 5 5 的学生仅 能正确判断图形 约3 9 的学生只能正确 求出面积 第3 问完全回答正确的学生为 3 8 8 话解1 锋 i 乏院晋和R 鲻j 曦骰电圭 呼j 协师 日断i C 萄徽旃士锫怕四蟛印二q 1 j 哗 罕钟侧已拍嘶 l 每缸两 南 茅于 口哪寿酶 彘鼬 女 分析部分学生将第2 个四边形判断为 平行四边形 这些学生仅利用了中位线的性 质 未运用题目中所给筝形的概念得出进一 步的结论 这反映了部分学生在解题过程中 思考不深入 不全面 浅尝辄止 因此造成解 答错误或答案不全面 然而 该部分学生在第 2 问中的解答是正确的 即将平行四边形四 边中点连线形成的四边形判断为菱形 显然 这些学生的推断是不合理的 访谈发现有些 学生仅凭直观的题目图形呈现 题目的图形 显示的更像是菱形 继而判断图形是菱形 他们在得出正确答案的过程中存在主观臆 断 思维不严密的问题 解决策略对题目的充分认识需要学生 具有敏锐的数学眼光 识别出题目中的有效 信息 同时也需要学生具有细致耐心的作题 态度 此外 教师应培养学生有理有据地思 考 而非对题目进行主观臆造 使学生认识到 数学的严谨性和逻辑性 错解2 2 l J I 签枷 四曲移是孝亏藏娜匆孩是兰 访杉 m 孚行喇 签 帚弓1 啦移嘲 面积瞿瓠车 万方数据 第3 4 卷第3 期2 0 1 5 年3 月数学教学研究 1 9 2 辨锨 二 囱复 一懒 鞫翮l 心 解 橼 掘御 5 李L 分析对于特殊四边形如平行四边形 矩 形 菱形 正方形 学生虽在生活中有一定的接 触 但转化为数学语言后学生就经常会混淆部 燃四边形及其性质 在对图形作出加工 后 学生如果思考不充分则很容易主观地增添 或忽视部分条件和性质 从而做出错误判断 该题以学生不熟悉的筝形为背景 借助中位 线 又涉及到矩形 菱形 因此对概念及性质理 解掌握不到位的学生就会出现错误判断类似 的错解如学生在第l 问中回答矩形 但在2 问 中回答为平行四边形 或在第1 问中回答矩 形 在第2 问中回答为正方形等 解决策略特殊四边形的特点 性质比 较多 学生容易混淆 虽然学生可以直观地认 识特殊四边形 但教师仍要注重用数学语言 来表达 帮助学生区分各图形 从而能灵活运 用四边形的知识解决问题 错解3 2 t l 矗荔移 入 i 旷 鼍采矿 分析该类学生在第1 问中作答为正方 形 由题目中的条件仅能推理得到第2 个四 边形对边平行且相等 邻边垂直的结论 这些 学生却由此判断图形为正方形 一种原因是 学生混淆了正方形与矩形的判定 另一种原 因是学生对筝形的理解有误 只有当筝形的 两条对角线长度相等时 该筝形的四边中点 形成的四边形才会是正方形 然而这种筝形 是筝形中的一个特例 没有代表性 学生可能 误解了题目中给出的概念 有意或无意地添 加了 筝形两对角线相等 的错误的条件 导 致得出该类型错误 从学生作答可看出 该部 分学生在第2 问中仍作出了正确答案 而由 正方形各边中点连接形成的四边形仍是正方 形 经访谈 一些学生表示在此题中作出的第 3 个四边形形似菱形 因此得出图形为菱形 解决策略该题目涉及到了学生比较陌 生的概念 对学生理解题意 分析题目造成了 障碍 教师应引导学生发现新旧知识之间的 联系 会运用已有的数学知识来解决问题 在 此过程中 学生应怀抱严谨的科学态度 不能 妄加论断 错解4 2 0 勃 面积为季 c 是矩形 面积为 t 瞽舯圆彩力菱形簖为赢 静J 悃嘲J 粥为茹 分析一些学生在第1 问中答案为菱 形 面积是 通过统计发现这部分学生在第 2 问中的作答几乎均为矩形 面积是去 在第 3 问中回答为菱形与矩形 显然 这些学生忽 略了或是误解了题目中 第1 个图形是面积 为1 的筝形 依次连接该四边形各边中点得 到第2 个四边形 然后再依次连接第2 个四 边形各边中点得到第3 个四边形 的条件 错 将第2 个图形理解为第3 个图形 导致在所 有小问中都出现了错误 但是 由学生作答也 万方数据 2 0数学教学研究 第3 4 卷第3 期2 0 1 5 年3 月 可推断出该部分学生对筝形定义的理解及对 中位线的掌握十分到位 解决策略学生能够充分利用题目所给 条件 但对项数与项之间的对应比较混乱 从 而造成答案错位 在探索此类题目中 找出对 应关系是学生的一个易错点 教师在教学中 应着重强调 错解5 2 m 钎 苫乒t 踯t 叶铺酗魁 馓电圭 t z 簟 协鲜电琊 毋积蠢士铅帕嘞二毒 心1 峰 j f 竹嘲珊嘶 l 每椰 南 斧 前哪奇雠 氨触 女 o 鼽毋艰恻 镯旃 洒刍 幢 臻所喇 玩 匾艨 吝 焦M 四遍疆丢喇 面翮 菇耐汁匹涮乏籽 啦锯匙素 分析在本题的3 个问题中 前两问学 生要具体的求解出图形面积 第3 问可根据 对前两问的求解分析归纳出规律 以避免繁 复的计算 在上面两种错误作答中 前者在归 纳规律中出现错误 后者则在第2 问中就省 略了计算 而主观地对题目的规律进行猜想 两者均反映了学生未能透彻地理解题目中暗 含的规律 对题目作出了浅显地主观猜测 解决策略探索规律