高中数学第二章2.3.2双曲线的简单几何性质课后导练新人教选修.docx

2.3.2 双曲线的简单几何性质课后导练基础达标1.双曲线与椭圆=1有相同的焦点，它的一条渐近线为y=x，则双曲线方程为（ ）A.x2-y2=96 B.y2-x2=160C.x2-y2=80 D.y2-x2=24答案：D2.实轴长为45且过点A(2，-5)的双曲线的标准方程是（ ）A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案：B3.中心在坐标原点，离心率为的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（ ）A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x答案：D4.焦点为(0，6)且与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程是（ ）A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案：B5.若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e等于（ ）A. B. C. D. 答案：C6.双曲线5y2-4x2=-20的实轴长为_,虚轴长为_,渐近线方程为,离心率为_.答案：2 4 y=x 7.准线方程为x+y=1，相应的焦点为（1，1）的等轴双曲线方程是_.答案：xy=8.已知双曲线x2-3y2=3上一点P到左、右焦点的距离之比为12,则P点到右准线的距离为_.答案：69.双曲线=1与直线y=kx-1只有一个公共点，求k的值.解：直线y=kx-1过(0，-1)点，若使直线与双曲线只有一个公共点，必须直线与双曲线的渐近线平行或直线与双曲线相切.当直线与渐近线平行时，双曲线的渐近线方程是y=x.k=式.10.双曲线与圆x2+y2=17有公共点A（4，-1），圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程.解:点A与圆心O的连线的斜率为-，过A的切线的斜率为4.双曲线的渐近线方程为y=4x.设双曲线方程为x2=.点A（4，-1）在双曲线上，16=,=.双曲线的标准方程为=1.综合运用11.已知双曲线=1(a0,b0),F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，求|PF1|PF2|的最小值.解:设P点的横坐标为x0，则x0a或x0-a.由焦半径公式得|PF1|PF2|=|a-ex0|a+ex0|=|a2- x02|=x02-a2=x02-a2.|x0|a,x02a2.|PF1|PF2|a2-a2=b2.当|x0|=a时，上式“=”成立.|PF1|PF2|的最小值为b2.12.在双曲线=-1的一支上有不同的三点A（x1，y1）、B（x2，6）、C（x3，y3），与焦点F（0，5）的距离成等差数列.（1）求y1+y3的值；（2）求证：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求出定点坐标.答案：（1）解：=e.|PF|=ey-a.又A、B、C到F的距离成等差数列，2（ey2-a）=（ey1-a）+（ey3-a）.y1+y3=2y2=12.（2）证明：由题意，得.-，得（y1-y3）（y1+y3）（x1-x3）（x1+x3）=0.若x1+x3=0，则kAC=0，y1=y3=y2=6，A、B、C三点共线，这是不可能的.x1+x30.则AC的中垂线方程为y-6=（x）.即y=.因此，AC的中垂线过定点（0，）.13.双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程是x=,求双曲线的方程.解:双曲线的中心在原点，准线和x轴垂直，双曲线的方程是标准的且焦点在x轴上.=4,=.a=2,c=8.b2=82-22=60.双曲线的方程是=1.拓展探究14.已知双曲线=1，F为其右焦点，A（4，1）为平面上一点，点P为双曲线上一点，求|PA|+ |PF|的最小值（如右图）.解：由双曲线的第二定义可知=e，其中d为P到右准线l：x=的距离，e=.|PF|=ed=d.|PA|+|PF|=|PA|+d.|PA|+|PF|=|PA|+d，则求|PA|+|PF|的最小值：在双曲线上求一点P，使P到A的距离与到右准线l：x=的距离之和最小，如题图，由平面几何的知识知道，从直线外一点向该直线所引的线段中，垂线段最短，从而过点A向右准线l：x=作垂线，交双曲线于P点，此时|PA|+d最小，即|PA|+|PF|最小，最小值为垂线段AB的长，易求|AB|=，故|PA|+|PF|的最小值为.15.已知点M(-2,0)、N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=22.记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A、B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值.解法一:(1)由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=.又半焦距c=2,故虚半轴长b=.所以W的方程为=1,x.(2)设A、B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).当ABx轴时,x1=x2,y1=-y2.从而=x1x2+y1y2=x12-y12=2.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m,与W的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0.故x1+x2=,x1x2=.所以=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=.又因为x1x20,所以k2-10,从而2.综上,当ABx轴时,取得最小值2.解法二:(1)同解法一.(2)设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则xi2-yi2=(xi+yi)(xi-yi)=2(i=1,2).令si=xi+yi,ti=xi