初三数学二次函数知识点总结.pdf

第 1 页 共 23 页 初三数学初三数学 二次函数二次函数 知知识识点点总结总结 一 二次函数概念 一 二次函数概念 1 二次函数的概念 一般地 形如 是常数 的函数 叫做二次函数 2 yaxbxc abc 0a 这里需要强调 和一元二次方程类似 二次项系数 而可以为零 二次函数的定义0a bc 域是全体实数 2 二次函数的结构特征 2 yaxbxc 等号左边是函数 右边是关于自变量 的二次式 的最高次数是2 xx 是常数 是二次项系数 是一次项系数 是常数项 abc abc 二 二次函数的基本形式二 二次函数的基本形式 二次函数的基本形式的性质 2 ya xhk a 的绝对值越大 抛物线的开口越小 三 二次函数三 二次函数图图象的平移象的平移 1 平移步骤 方法一 将抛物线解析式转化成顶点式 确定其顶点坐标 2 ya xhk hk 保持抛物线的形状不变 将其顶点平移到处 具体平移方法如下 2 yax hk 的符号a 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 hk X h 时 随 的增大而增大 时 xh yxxh y 随 的增大而减小 时 有最小值xxh yk 0a 向下 hk X h 时 随 的增大而减小 时 xh yxxh y 随 的增大而增大 时 有最大值xxh yk 第 2 页 共 23 页 h 0 h0 k0 h0 h0 k0 k 0 k y a x h 2 k y a x h 2 y ax2 ky ax2 2 平移规律 在原有函数的基础上 值正右移 负左移 值正上移 负下移 hk 概括成八个字 左加右减 上加下减 方法二 沿轴平移 向上 下 平移个单位 变成cbxaxy 2 ymcbxaxy 2 或 mcbxaxy 2 mcbxaxy 2 沿轴平移 向左 右 平移个单位 变成cbxaxy 2 mcbxaxy 2 或 cmxbmxay 2 cmxbmxay 2 四 二次函数四 二次函数与与的比的比较较 2 ya xhk 2 yaxbxc 从解析式上看 与是两种不同的表达形式 后者通过配方可以 2 ya xhk 2 yaxbxc 得到前者 即 其中 2 2 4 24 bacb ya x aa 2 4 24 bacb hk aa 五 二次函数五 二次函数图图象的画法象的画法 2 yaxbxc 五点绘图法 利用配方法将二次函数化为顶点式 确定其开口方向 对 2 yaxbxc 2 ya xhk 称轴及顶点坐标 然后在对称轴两侧 左右对称地描点画图 一般我们选取的五点为 顶点 与轴的y 交点 以及关于对称轴对称的点 与轴的交点 若与轴没有 0c 0c 2hc x 1 0 x 2 0 x x 交点 则取两组关于对称轴对称的点 画草图时应抓住以下几点 开口方向 对称轴 顶点 与轴的交点 与轴的交点 xy 六 二次函数六 二次函数的性的性质质 2 yaxbxc 1 当时 抛物线开口向上 对称轴为 顶点坐标为 0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa 当时 随 的增大而减小 当时 随 的增大而增大 当时 2 b x a yx 2 b x a yx 2 b x a y 有最小值 2 4 4 acb a 第 3 页 共 23 页 2 当时 抛物线开口向下 对称轴为 顶点坐标为 当时 0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa 2 b x a 随 的增大而增大 当时 随 的增大而减小 当时 有最大值 yx 2 b x a yx 2 b x a y 2 4 4 acb a 七 二次函数解析式的表示方法七 二次函数解析式的表示方法 1 一般式 为常数 2 yaxbxc abc0a 2 顶点式 为常数 2 ya xhk ahk0a 3 两根式 是抛物线与 轴两交点的横坐标 12 ya xxxx 0a 1 x 2 xx 注意 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式 但并非所有的二次函数都可以写成 交点式 只有抛物线与 轴有交点 即时 抛物线的解析式才可以用交点式表x 2 40bac 示 二次函数解析式的这三种形式可以互化 八 二次函数的八 二次函数的图图象与各象与各项项系数之系数之间间的关系的关系 1 二次项系数a 二次函数中 作为二次项系数 显然 决定了抛物线开口的大小和 2 yaxbxc a0a a 方向 的正负决定开口方向 的大小决定开口的大小 aa 2 一次项系数b 在二次项系数 确定的前提下 决定了抛物线的对称轴 ab 的符号的判定 对称轴在轴左边则 在轴的右侧则 概括的ab a b x 2 y0 aby0 ab 说就是 左同右异 3 常数项 决定了抛物线与轴交点的位置 ccy 总之 只要都确定 那么这条抛物线就是唯一确定的 abc 二次函数解析式的确定 二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式 通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数的解 析式必须根据题目的特点 选择适当的形式 才能使解题简便 一般来说 有如下几种情况 1 已知抛物线上三点的坐标 一般选用一般式 2 已知抛物线顶点或对称轴或最大 小 值 一般选用顶点式 3 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标 一般选用两根式 x 4 已知抛物线上纵坐标相同的两点 常选用顶点式 第 4 页 共 23 页 九 二次函数与一元二次方程 九 二次函数与一元二次方程 1 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与轴交点情况 x 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况 2 0axbxc 2 yaxbxc 0y 图象与轴的交点个数 x 当时 图象与轴交于两点 其中的是一元二次方程 2 40bac x 12 00A xB x 12 xx 12 xx 的两根 这两点间的距离 2 00axbxca 2 21 4bac ABxx a 当时 图象与轴只有一个交点 当时 图象与轴没有交点 0 x0 x1 当时 图象落在 轴的上方 无论 为任何实数 都有 0a xx0y 2 当时 图象落在 轴的下方 无论 为任何实数 都有 0a xx0y 2 抛物线的图象与轴一定相交 交点坐标为 2 yaxbxc y 0 c 3 二次函数常用解题方法总结 求二次函数的图象与 轴的交点坐标 需转化为一元二次方程 x 求二次函数的最大 小 值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式 根据图象的位置判断二次函数中 的符号 或由二次函数中 的 2 yaxbxc abcabc 符号判断图象的位置 要数形结合 二次函数的图象关于对称轴对称 可利用这一性质 求和已知一点对称的点坐标 或已知与 轴的一个交点坐标 可由对称性求出另一个交点坐标 x 二次函数考查重点与常见题型 1 考查二次函数的定义 性质 有关试题常出现在选择题中 如 已知以为自变量的二次函数的图像经过原点 则的值是 x2 2 22 mmxmym 2 综合考查正比例 反比例 一次函数 二次函数的图像 习题的特点是在同一直角坐 标系内考查两个函数的图像 试题类型为选择题 如 如图 如果函数的图像在第一 二 三象限内 那么函数的图像大致bkxy 1 2 bxkxy 是 y y y y 1 1 0 x 1 o x 0 x 0 1 x A B C D 3 考查用待定系数法求二次函数的解析式 有关习题出现的频率很高 习题类型有中档 解答题和选拔性的综合题 如 第 5 页 共 23 页 已知一条抛物线经过 0 3 4 6 两点 对称轴为 求这条抛物线的解析式 3 5 x 4 考查用配方法求抛物线的顶点坐标 对称轴 二次函数的极值 有关试题为解答题 如 已知抛物线 a 0 与x轴的两个交点的横坐标是 1 3 与y轴交点的纵坐标是 2 yaxbxc 3 2 1 确定抛物线的解析式 2 用配方法确定抛物线的开口方向 对称轴和顶点坐标 5 考查代数与几何的综合能力 常见的作为专项压轴题 由抛物线的位置确定系数的符号 例1 1 二次函数的图像如图1 则点在 2 yaxbxc a c bM A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 已知二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图2所示 则下列结论 a b同号 当x 1和 x 3时 函数值相等 4a b 0 当y 2时 x的值只能取0 其中正确的个数是 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 1 2 点评 弄清抛物线的位置与系数a b c之间的关系 是解决问题的关键 例2 已知二次函数y ax2 bx c的图象与x轴交于点 2 O x1 0 且1 x1 2 与y轴的正半轴的交点在点 O 2 的下方 下列结论 a bO 4a cO 其中正确结论的个数为 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案 D 会用待定系数法求二次函数解析式 例3 已知 关于x的一元二次方程ax2 bx c 3的一个根为x 2 且二次函数y ax2 bx c的对称轴 是直线x 2 则抛物线的顶点坐标为 A 2 3 B 2 1 C 2 3 D 3 2 答案 C 第 6 页 共 23 页 例4 已知抛物线y x2 x 1 2 5 2 1 用配方法求它的顶点坐标和对称轴 2 若该抛物线与x轴的两个交点为A B 求线段AB的长 点评 本题 1 是对二次函数的 基本方法 的考查 第 2 问主要考查二次函数与一元二次方 程的关系 函数主要关注 通过不同的途径 图象 解析式等 了解函数的具体特征 借助多种现实背景理 解函数 将函数视为 变化过程中变量之间关系 的数学模型 渗透函数的思想 关注函数与相 关知识的联系 二次函数二次函数对应练习试题对应练习试题 一 一 选择题选择题 1 二次函数的顶点坐标是 2 47yxx A 2 11 B 2 7 C 2 11 D 2 3 2 把抛物线向上平移1个单位 得到的抛物线是 2 2yx A B C D 2 2 1 yx 2 2 1 yx 2 21yx 2 21yx 3 函数 2 ykxk 和在同 0 k yk x 一直角坐标系中图 象可能是图中的 4 已知二次函数的图象如图所示 则下列结论 2 0 yaxbxc a a b同号 当和时 函数值相等 当时 1x 3x 40ab 2y 的值只能取0 其中正确的个数是 x A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 第 7 页 共 23 页 5 已知二次函数的顶点坐标 1 2 0 yaxbxc a 3 2 及部分图象 如图 由图象可知关于的一元二次方程x 2 0axbxc 的两个根分别是 12 1 3xx 和 B 2 3 C 0 3 D 3 3 6 已知二次函数的图象如图所示 则点在 2 yaxbxc ac bc A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 7 方程的正根的个数为 2 2 2xx x A 0个 B 1个 C 2个 3 个 8 已知抛物线过点A 2 0 B 1 0 与轴交于点C 且OC 2 则这条抛物线的解析式为y A B 2 2yxx 2 2yxx C 或 D 或 2 2yxx 2 2yxx 2 2yxx 2 2yxx 二 填空二 填空题题 9 二次函数的对称轴是 则 2 3yxbx 2x b 10 已知抛物线y 2 x 3 5 如果y随x的增大而减小 那么x的取值范围是 11 一个函数具有下列性质 图象过点 1 2 当 0时 函数值随自变量的增大xyx 而增大 满足上述两条性质的函数的解析式是 只写一个即可 12 抛物线的顶点为C 已知直线过点C 则这条直线与两坐标轴所 2 2 2 6yx 3ykx 围成的三角形面积为 13 二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位 再向下平移2个 2 241yxx 2 2yxbxc 单位得到的 则b c 14 如图 一桥拱呈抛物线状 桥的最大高度是16米 跨度是40米 在线段AB上离中心M处5米 的地方 桥的高度是 取3 14 三 解答三 解答题题 第 8 页 共 23 页 15 已知二次函数图象的对称轴是 图象经过 1 6 且与轴的交点为 0 30 x y 5 2 1 求这个二次函数的解析式 2 当x为何值时 这个函数的函数值为0 3 当x在什么范围内变化时 这个函数的函数值随x的增大而增大 y 16 某种爆竹点燃后 其上升高度h 米 和时间t 秒 符合关系式 2 0 1 2 hv tgt 0 t 2 其中重力加速度g以10米 秒2计算 这种爆竹点燃后以v0 20米 秒的初速度上升 1 这种爆竹在地面上点燃后 经过多少时间离地15米 2 在爆竹点燃后的1 5秒至1 8秒这段时间内 判断爆竹是上升 或是下降 并说明理由 17 如图 抛物线经过直线与坐标轴的两 2 yxbxc 3yx 个交点A B 此抛物线与轴的另一个交点为C 抛物线顶点为Dx 1 求此抛物线的解析式 2 点P为抛物线上的一个动点 求使 5 APC S ACD S 4的点P的坐标 第15题图 第 9 页 共 23 页 18 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料 这里的代销是指厂家先免费提供货源 待货物售出后 再进行结算 未售出的由厂家负责处理 当每吨售价为260元时 月销售量为45吨 该建材店为 提高经营利润 准备采取降价的方式进行促销 经市场调查发现 当每吨售价每下降10元时 月销售量就会增加7 5吨 综合考虑各种因素 每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费 用100元 设每吨材料售价为x 元 该经销店的月利润为y 元 1 当每吨售价是240元时 计算此时的月销售量 2 求出y与x的函数关系式 不要求写出x的取值范围 3 该建材店要获得最大月利润 售价应定为每吨多少元 4 小静说 当月利润最大时 月销售额也最大 你认为对吗 请说明理由 练习试题练习试题答案答案 一 选择题 1 A 2 C 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 C 二 填空题 第 10 页 共 23 页 9 10 3 11 如等 答案不唯一 4b x 2 24 24yxyx 12 1 13 8 7 14 15 三 解答题 15 1 设抛物线的解析式为 由题意可得 2 bxcyax 解得 所以 15 3 22 abc 2 15 3 22 yxx 2 或 5 2 1x 3x 16 1 由已知得 解得当时不合题意 舍去 所以当爆竹 2 1 152010 2 tt 12 3 1tt 3t 点燃后1秒离地15米 2 由题意得 可知顶点的横坐标 2 520htt 2 5 2 20t 2t 又抛物线开口向下 所以在爆竹点燃后的1 5秒至108秒这段时间内 爆竹在上升 17 1 直线与坐标轴的交点A 3 0 B 0 3 则解得3yx 930 3 bc c 2 3 b c 所以此抛物线解析式为 2 抛物线的顶点D 1 4 与轴的另一个交点 2 23yxx x C 1 0 设P 则 化简得 2 23 a aa 2 11 423 4 4 5 4 22 aa 2 235aa 当