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第五章等参元与数值积分 5 1等参变换的概念5 2等参变换的条件和收敛性5 3数值积分方法5 4数值积分阶次的选择 1 5 等参元与数值积分 本章重点等参变化的概念和实现单元特性矩阵方法实现等参变换的条件和满足收敛准则的条件数值积分的基本思想和Gauss积分的特点单元刚度矩阵数值积分阶次的选择 有限元法基础 2 5 等参元与数值积分 关键概念等 超 次 参变换雅克比矩阵和行列式等参变换的条件等参元的收敛性数值积分高斯积分精确积分减缩积分矩阵的秩零能模式 有限元法基础 3 5 1等参变换的概念 将局部 自然 坐标中的简单几何形状的单元 转换成总体 物理 坐标中的几何扭曲的单元 必须建立一个坐标变换 即 有限元法基础 4 5 1等参变换的概念 有限元法基础 5 5 1等参变换的概念 有限元法基础 6 5 1等参变换的概念 有限元法基础 7 规则化单元 母单元在自然坐标系内 局部 实际单元 子单元在总体坐标系内 整体 利用节点坐标和形函数建立坐标变换关系 5 1等参变换的概念 有限元法基础 8 等参变换坐标变换和场函数插值采用相同的节点 m n 并且采用相同的插值函数 这样建立的单元 称为等参元 超参变换坐标变换的节点数多于场函数插值的节点数 即m n 这样建立的单元 称为超参元 次参变换坐标变换的节点数少于场函数插值的节点数 即m n 这样建立的单元 称为次参元 5 1等参变换的概念 有限元法基础 9 例 一维2节点单元 5 1等参变换的概念 有限元法基础 10 例 二维3节点单元 5 1等参变换的概念 有限元法基础 11 例 平面4节点单元 5 1等参变换的概念 有限元法基础 12 单元矩阵的变换等参变换单元矩阵的变化 等参变换 单元矩阵的变化 B K d 5 1等参变换的概念 有限元法基础 13 由于插值函数使用自然坐标 涉及到求导和积分的变换 如B矩阵的偏微分计算 K矩阵的积分计算 5 1等参变换的概念 有限元法基础 14 1 导数之间的变换由复合函数求导规则有写成矩阵形式J称为Jacobi矩阵 5 1等参变换的概念 有限元法基础 15 J的伴随矩阵 5 1等参变换的概念 有限元法基础 16 由坐标变换求得Jacobi矩阵中的元素 5 1等参变换的概念 有限元法基础 17 2 体积微元的变换 5 1等参变换的概念 有限元法基础 18 单元刚度矩阵等效体积力 5 1等参变换的概念 有限元法基础 19 3 面积微元的变换以为例 5 1等参变换的概念 有限元法基础 20 边界面力的变换以为例 5 1等参变换的概念 有限元法基础 21 4 对二维问题面元 线元 5 1等参变换的概念 有限元法基础 22 5 面积坐标 直边三角形时 5 1等参变换的概念 有限元法基础 23 6 体积坐标 5 2等参变换的条件与收敛性 有限元法基础 24 等参变换的条件等参变换中 需计算Jacobi矩阵的逆是否存在 存在的条件是 这是两个坐标系间一对一变换的条件 5 2等参变换的条件与收敛性 有限元法基础 25 以二维情况为例说明1 子单元与母单元的单元节点编号顺序相反 顺序相同2 若子单元与母单元同样是凸的 即各节点处 5 2等参变换的条件与收敛性 有限元法基础 26 畸变单元举例节点1节点2节点3由于是连续函数 故在1 2边至到2 3边时必有一点 不具备等参变换条件 5 2等参变换的条件与收敛性 有限元法基础 27 畸变单元举例边1 2退化为一个节点在该点处 也不具备等参变换条件 实际计算单元刚度矩阵是用数值积分 并不会出现奇异性 应用中仍可使用 四边形退化为三角形单元的积分精度较差 5 2等参变换的条件与收敛性 有限元法基础 28 等参单元的收敛性弹性力学问题的收敛性包括完备性和协调性 完备性 场插值至少一阶完备 能正确反映刚体位移和常应变 协调性 单元内部位移连续且满足几何方程 单元间的位移场是连续的 5 2等参变换的条件与收敛性 有限元法基础 29 完备性设单元内任一点i的位移场为代入位移插值函数 5 2等参变换的条件与收敛性 有限元法基础 30 注意到等参变换 5 2等参变换的条件与收敛性 有限元法基础 31 只要 Ni满足形函数性质 完备性就得到满足 插值函数能够反映刚体位移和常应变 5 2等参变换的条件与收敛性 有限元法基础 32 协调性单元间边界上的位移场 具有相同的节点和相同的节点数插值函数相同 有连续的位移场插值函数满足 5 等参元与数值积分 有限元法基础 33 练习题 什么是等参元满足有限元收敛准则的条件 同样条件可否适用于次参和超参单元 证明边界为直线的三角形和平行四边形的二维单元的Jacobi矩阵是常数矩阵 证明面积坐标的幂函数的积分公式 提示 利用面积坐标之和等于1的关系消去被积函数中的一个坐标 并注意积分上下限设置 5 3弹性力学中等参单元的一般列式方法 有限元法基础 34 有限元方程为单元刚度矩阵为 5 3弹性力学中等参单元的一般列式方法 有限元法基础 35 1 母单元为自然坐标系列坐标变换位移插值Jacobi矩阵应变的计算求B时需建立 5 3弹性力学中等参单元的一般列式方法 有限元法基础 36 单元矩阵计算时 5 3弹性力学中等参单元的一般列式方法 有限元法基础 37 2 母单元为体积坐标系列取L1 L2和L3为独立变量 L4 1 L1 L2 L3单元矩阵计算 5 3弹性力学中等参单元的一般列式方法 有限元法基础 38 2 母单元为体积坐标系列取L1 L2和L3为独立变量 L4 1 L1 L2 L3单元矩阵计算 5 3弹性力学中等参单元的一般列式方法 有限元法基础 39 例 无限元1 一维问题 2节点单元通常u2是已知的 5 3弹性力学中等参单元的一般列式方法 有限元法基础 40 例 无限元2 二维问题 4节点单元 5 3弹性力学中等参单元的一般列式方法 有限元法基础 41 坐标变换反映了1 2边的变化率 位移插值函数依然与传统单元一样 通常节点2和节点3的量是已知的 5 4数值积分方法 有限元法基础 42 数值积分的基本思想关键在求积系数和求积点的确定 求积系数 求积点 误差 5 4数值积分方法 有限元法基础 43 1 Newton Cotes积分方案将积分区域 a b n等分构造近似被积函数在取样点上 5 4数值积分方法 有限元法基础 44 使用n阶多项式构造近似函数为Lagrange插值函数 积分系数 5 4数值积分方法 有限元法基础 45 积分系数与选取的积分点个数有关与积分点位置有关与积分域 a b 有关被积函数形式无关 5 4数值积分方法 有限元法基础 46 采用规范化的区域 0 1 n 1个等距坐标为称为Cotes系数 这种积分具有n次的代数精度 即对n次多项式能精确积分 5 4数值积分方法 有限元法基础 47 例 一维问题n 1 梯形公式 5 4数值积分方法 有限元法基础 48 n 2 Simpson公式 5 4数值积分方法 有限元法基础 49 Newton Cotes积分特点积分取样点等距分布有n 1个积分点 若被积函数是n次多项式 代数积分是精确的 5 4数值积分方法 有限元法基础 50 2 Gauss积分方案特点积分取样点非等间距分布 通过优化积分点的位置 提高了积分精度 n个积分点可达2n 1次精度 5 4数值积分方法 有限元法基础 51 在积分域内构造多项式由条件确定积分点的位置 5 4数值积分方法 有限元法基础 52 的性质 1 在积分点上 2 在积分域 a b 内与正交 被积函数可由2n 1次多项式近似 5 4数值积分方法 有限元法基础 53 上式在形式上与Newton Cotes积分是一样的 但是近似函数是2n 1次 积分点是非均匀的分布 为了方便积分 一般积分限 a b 1 1 5 4数值积分方法 有限元法基础 54 例 两点Gauss积分积分点位置 i 0i 1 5 4数值积分方法 有限元法基础 55 得到 求解高阶积分点坐标和权系数 一般利用Legendre多项式来进行 5 4数值积分方法 有限元法基础 56 5 4数值积分方法 有限元法基础 57 n 2Newton CotesGauss 5 4数值积分方法 有限元法基础 58 二维和三维Gauss积分对二维积分首先令为常数 对积分再对积分 得到 5 4数值积分方法 有限元法基础 59 类似地三维积分为注 每个方向可以选取不同的积分点数 5 4数值积分方法 有限元法基础 60 3 Irons积分方案对三维六面体积分每个方向使用n点Newton Cotes积分 需n3个点 在每个方向的精度为n 1次 每个方向使用m点Gauss积分 需m3个点 在每个方向的精度为2m 1次 Irons积分方案通过三个方向优化节点位置 提高积分精度 5 4数值积分方法 有限元法基础 61 5 4数值积分方法 有限元法基础 62 5 4数值积分方法 有限元法基础 63 4 Hammer积分方案讨论对象为面积坐标和体积坐标的积分 5 4数值积分方法 有限元法基础 64 5 4数值积分方法 有限元法基础 65 5 5数值积分阶次的选择 有限元法基础 66 积分点个数的选取是对数值积分阶次的选择 计算精度计算工作量计算成本 5 5数值积分阶次的选择 有限元法基础 67 选取积分点个数的原则1 保证积分精度2 保证总体刚度矩阵满秩3 有较好的计算效率 5 5数值积分阶次的选择 有限元法基础 68 1 保证积分精度以一维单元刚度矩阵积分为例积分限标准化 并设Jacobi行列式为常数 5 5数值积分阶次的选择 有限元法基础 69 对多数弹性力学问题Ni插值函数 p阶多项式D微分算子 最高导数阶次m原被积函数为2 p m 阶多项式 5 5数值积分阶次的选择 有限元法基础 70 为保证积分精度 Gauss积分点数为n 应有按此规则选取积分点个数 才能使被积函数达到精度 5 5数值积分阶次的选择 有限元法基础 71 对二维和三维单元按一维的方法选nxn或nxnxn个积分点 可能被积函数达不到精确积分的要求 原因1 Jacobi行列式可能不是常数 这样提高了被积函数的阶次 当物理坐标中的单元平行四变形 2D 平行六面体 3D 5 5数值积分阶次的选择 有限元法基础 72 解决办法1 适当提高积分点数 以适应精度2 剖分网格时 尽量避免过分扭曲单元 5 5数值积分阶次的选择 有限元法基础 73 例 不同形状网格剖分的悬臂梁 5 5数值积分阶次的选择 有限元法基础 74 5 5数值积分阶次的选择 有限元法基础 75 原因2 B矩阵中包含有高阶非完全项原插值函数 p阶完备多项式p 阶非完全项采用精确积分方案 应以p 为准 即 5 5数值积分阶次的选择 有限元法基础 76 例 二维4节点单元优化积分方案 p 1 n p m 1 1 一点积分非完全项含有 精确积分方案 积分点2x2 5 5数值积分阶次的选择 有限元法基础 77 例 二维8节点单元优化积分方案 p 2 n p m 1 2 2x2积分精确积分方案 非完全项含有 积分点3x3 5 5数值积分阶次的选择 有限元法基础 78 在实际计算单元刚度矩阵时 还有其他方面的考虑 实际的Gauss积分点数 精确积分要求的积分点数 5 5数值积分阶次的选择 有限元法基础 79 精确积分是非完全项所要求 决定有限元的精度是完全多项式 选取较低的Gauss积分已保证完备项的要求 可提高计算效率位移元得到的解是下限解 往往偏刚 降阶积分可减少单元的刚度对于畸形单元 积分中含有本身也不可能精确积分 5 5数值积分阶次的选择 有限元法基础 80 2 保证总体刚度矩阵满秩系统总自由度数N 系统节点数X每节点自由度 约束数约束数 刚体位移数 施加边界条件后 总刚度矩阵非奇异存在 方程有解 5 5数值积分阶次的选择 有限元法基础 81 矩阵的秩1 矩阵相乘2 矩阵相加 5 5数值积分阶次的选择 有限元法基础 82 单元刚度矩阵的计算公式C是dXd的方阵 d是应变数量 三维问题为6 平面问题为3 轴对称问题为4 一般情况下 秩B dM个单元的结构 5 5数值积分阶次的选择 有限元法基础 83 是K非奇异的必要条件 系统独立的自由度数N超过 或 全部积分点nG提供的独立关系数 则K必然奇异 5 5数值积分阶次的选择 有限元法基础 84 例 平面8节点单元独立DOF数N 2x8 3 13精确积分3x3减缩积分2x2减缩积分下K是奇异的 5 5数值积分阶次的选择 有限元法基础 85 2x2积分的平面8节点单元的零能变形模式 5 5数值积分阶次的选择 有限元法基础 86 零能变形模式 ZeroEnergyDeformationMode 一种由刚度矩阵产生的变形能为零的非刚体位移的变形模式 非刚体位移模式q也称为SpuriousKinematicMode 5 5数值积分阶次的选择 有限元法基础 87 例 平面问题的奇异性 5 5数值积分阶次