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张彬斌定稿论文范文 中值定理与不等式作者张彬斌指导老师胡学平摘要不等式的证明是数学分析中的常见问题，本文主要讨论应用微分中值定理对不等式证明的应用微分中值定理包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理以及积分中值定理，在这里主要分析这三种中值定理之间的关系及其在不等式证明、函数单调性、凹凸性中的应用关键词不等式中值定理单调性的应用凹凸性的应用1引言关于罗尔中值定理、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理的证明和应用有许多专门的研究,利用微分中值定理证明不等式有许多方便之处,本文主要介绍如何利用它来分析证明一些常见的不等式.2基本概念定理2.1罗尔中值定理若函数f满足如下条件f在闭区间,a b上连续；f在开区间(,)a b内可导；()f a()f b=,则在(,)a b内至少存在一点,使得()0f= （1）证明因为f在,a b上连续,所以有最大值与最小值,分别用M与m表示,现分两种情况来讨论若mM=,则f在,a b上必为常数,从而结论成立.若mM,则因()f a()f b=,使得最大值M与最小值m至少有一个在(,)a b内某点处取得,从而是f的极值点.由条件 （2）,f在点处可导,故由费马定理推知()0f=注定理中的三个条件缺少任何一个,结论将不一定成立.罗尔中值定理的几何意义是在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端高,则至少存在一条水平线.定理2.2拉格朗日中值定理若函数f满足如下条件f在闭区间,a b上连续；f在开区间(,)a b内可导；则在至少存在一点,使得()f b()f a()fba?= （2）显然,特别当()f a()f b=时,本定理的结论即为罗尔中值定理的结论,这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.证明作辅助函数()f b()f a()()f x()f a()F xxaba?=?显然,()() (0)F bFa=,且F在,a b上满足罗尔中值定理的另两个条件.故存在(,)a b,使得()f b()f a()()0Ffba?=?=,移项后即得到所要证明的 （2）式.拉格朗日中值定理的几何意义是在满足定理条件的曲线()f xy=上至少存在一点(,()fp,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线AB,我们在证明中引入的辅助函数,正是曲线()f xy=与直线AB（()f b()f a()f a()yxaba?=+?）之差.定理1.2的结论（公式 （2）称为拉格朗日公式.拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式:()f b()f a()(=),;()f b()f a()(),01;()()f a(),0h h1fba abf ababaf ahf a （3） （4） （5）注拉格朗日公式无论对于ab都成立,而则是介于a与b之间的某一定数.而 （4）、 （5）两式的特点在于把中值点表示成了()aba+?,使得不论a,b为何值,总可为小于1的某一正数.定理2.3柯西中值定理设函数f和g满足在,a b上都连续；在(,)a b内都可导；()f x和()g x不同时为零；()g a()g b,则存在(,)a b,使得()()f b()f a()()()g afgg b?= （6）证明作辅助函数()f b()f a()()f x()f a()g x()g a()()g aF xg b?=?易见F在,a b上满足罗尔中值定理的条件,故存在(,)a b,使得()f b()f a()()()0()()g aFfggb?=?=因为()0g=（否则由上式()f也为零）,所以可把上式改写成 （6）式.结论由上述证明可知,拉格朗日中值定理和柯西中值定理都可以借用罗尔中值定理来证明,且罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况.柯西中值定理有着与前两个中值定理相类似的几何意义,只是现在要把,f g这两个函数当作以x为参量的参量方程()()u g xv f x=在uov平面上表示一段曲线.由于 （6）式右边的()f b()f a()()g agb?表示连接曲线两端的弦AB的斜率,而 （6）式左边的()()xf xdvg xdu=?则表示该曲线上与x=相对应的一点(),()gf处的切线的斜率,因此, （3）式即表示上述切线与弦AB互相平行.3Lagrange中值定理的推广拉格朗日中值定理是罗尔（Rolle）中值定理的推广,因而在证明时,自然要求满足条件的函数f转化成满足罗尔中值定理条件的函数?,即有函数f构造辅助函数?,下面将拉格朗日中值定理的可微条件适当放宽,使其具有更广泛的意义.定理3.1设函数f在闭区间,a b上连续,若函数在(,)a b内除了有限个点外可微,则存在(,)a b,使得()f b()f a()()fba?.证明不妨设f仅在(,)a bd不可微,分别在区间,a d与,d b上应用拉格朗日中值定理,则得到1122()f d()f a()(),(,),a d()f b()f d()(),(,),d bfdafbd?=?令12()max(),(),fff=使得()f b()f a()()fba?.定理3.2设函数f在闭区间,a b上连续,若函数f在(,)a b内除了n个点外可微,则存在1n+个点121.nab,且1122()f b()f a()()()ffba+?=?这个证明方法显然可以推广到f在n个点 (1)n上不可微的情形.定理3.3若函数f在闭区间,a b上连续,在开区间(,)a b内存在左,右导数,f f?+,则存在0(,)a bx及0,0,1,pqpq+=使得11()()()()f b()f apf x?qf x+ba+?=?证明 （1）先证若f在,a b上连续,在开区间(,)a b内存在左、右导数,f f?+,且()f b()f a=,则存在0(,)a bx,使得00()()0f x?f x+?.事实上,由f在,a b上连续,得存在,M m,使得()f xmM.又()f b()f a=,故f必在区间(,)a b内取得至少一个最值,不妨设最值点为0x,0()f xM=.000()f x()limx0xf xxx+?或000()f x()limx0xf xxx?即00()()0f x?f x+? （2）作辅助函数()f b()f a()()f x()f a()F xxaba?=?.则由f在,a b上连续,在开区间(,)a b内存在左、右导数,知()F x在,a b上连续,且在(,)a b内存在左、右导数,F F?+,且又因为()()0F aFb=,故由 （1）结论知存在1(,)a bx,使得11()()0F x?F x+?,则1111()f b()f a()()0()f b()f a()()0Fx?f x?baF x+f x+ba?=?=?,即11()f b()f a()()f x?f x+ba?,又11()() (1)()G xxf x?x f x+=+?在0,1上连续函数且11 (0)(),f x+ (1)()GGf x?=.由介值定理,存在(0,1)p,使得()f b()f a()G pba?=,即11()f b()f a() (1)()pf x?p f xba+?+?=,又1qp=?,所以11()()()()f b()f apf x?qf x+ba+?=?.特例设(),(),()f xg xh x在axb上连续,在axb （7）并因此说明拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是它的特例.证明作辅助函数()f a()g a()h a()()f b()()h b()f x()()h xFxg bgx=由于()()0F aFb=,由罗尔中值定理知,存在(,)a b使()f a()g a()h a0()()f b()()h b()()()Fg bfgh= （8）即 （7）证式.若令()1h x=,则由 （8）式有()f a()g a10()()f b()1()()0Fg bfg= （9）由 （9）可得()f b()f a()()()g a()fg bg?=,此即得柯西中值定理.若令()1h x=,()g xx=,由 （2）有()f a10()()f b1()10aFbf=由 （4）解得()f b()f a()fba?=此即得拉格朗日中值定理.4微分中值定理在不等式中的应用4.1直接使用公式例1证明sinsinxyxy?.证明令()sinf xx=,则()cosf xx=.由中值定理得sinsincos(),()xyxyxy (0)babbaabbaa?,则1()f xx=,由中值定理得1lnlnln(),bbaba aba证明作辅助函数()f b()f a()gx()f a()xaba?=+?则()gx为形如AxB+的函数因为()f x不为形如AxB+的函数,所以至少存在一点(,)a bc,使()f c()g c,但()f a()g a=,()f b()gb=情形一,()()f cgc,此时()f b()f aac?()f a()()f a()f c()f a()()g a()f b()f acagcbcacaaba?+?=即()f c()f a()f b()f acaba?因为,a ba c?.所以由中值定理知,存在1(,)ac,使()f c()f a()fca?=从而有()f b()f a()fba?情形二,()()f cgc=?即()f b()f c()f b()f abcba?因为,a bc b?,所以由拉格朗日中值定理,存在2(,)cb,使得2()f b()f c()fbc?=从而有2()f b()fa()fba?综上所述,在(,)a b内至少有一点使原式成立.许多证明题都不能直接应用定理进行证明,利用拉格朗日中值定理证明问题时如何构造辅助函数,是证明的关键.4.4中值定理与函数凹凸性定义若函数(),f x x,a by=任意1,2,a b0,1x x满足1212 (1)()f x (1)(f x)fxx?+则称)(xf为凹函数（或上凸函数,其图像如（A）所示）其特征是曲线上任一点均在该CD的上方.类似若函数1,0,),(=baxxfy满足),()1()()1(2121xfxfxxf?+则称)(xf为凸函数,其图像如（B）所示,其特征是曲线)(xfy=上任意一点均在该EF的下方.设)(xf在,a b上连续,在(,)a b可微,()f x在(,)a b内单调增,证明对任意12,a bx x及0,1有1212 (1)()f x (1)(f x)fxx?+. （10）证明:显然当0=或1=时, （10）式显然成立,因此可讨论(0,1)即可.任意12,a bx x,不失一般设12xx (1)xxx=?+,所以12xxx,则()f xy=在上单调递增；若对任意(,)a bx,有()0fx,则()f xy=在上单调递减.证明任意12,a bxx,且12xx即21()()f xfx由定义知,()f xy=在,a b上单调递增.同理证明2.例4证明当0x时,arctanxx.证法1用中值定理,作函数()arctanf uu=,取区间0,x(任意0x)显然()f u在0,x上连续,在(0,)x内可导,于是有2arctanarctan01+1,(0,)01xxx?=证法2用函数单调性,作函数()arctanf xxx=?,因为21()101f xx=?+（对任意0x）所以()fx在0,)上单调递增,由函数单调性的定义知,对任意0x,有()fx (0)f而 (0)0arctan0=?0f=所以()fx0即对任意0x,arctanxx总结由本例题可看出,利用函数单调性证明某些不等式与利用中值定理证明是相通的,而可通过中值定理来证明函数单调性则为这种相通提供了理论依据.参考文献1复旦大学数学系.数学分析（2版）M.北京:高等教育出版社,1985:174-176.2高立仁等.高等数学解题方法M.天津:天津科学技术出版社,1988:109.3沈树民等.微积分解题分析上M.南京:江苏科学技术出版社,1985:233.4张自兰,崔福荫.高等数学证题方法M.西安:陕西科学技术出版社,1985:215.5华东师范大学编.数学分析（3版）M.高等教育出版社,xx.6廖文良,许宁编.吉米多维奇.数学分析习题全解M.安徽人民出版社,xx.7.7裴礼文.数学中的典型问题与方法（2版）M.高等教育出版社,xx.12.8钱吉林主编.数学分析习题精粹（2版）M.湖北长江出版集团崇文书局,xx.9.The MeanValue Theoremand InequalityAuthor:Zhang BinbinSuperviser:Hu XuepingAbstract:Inequality isa monproblem inmathematical analysis;this papermainly discussesthe applicationof differentialmean value theorem inequation application.The mean value theoremsincluding Rolletheore