高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程课堂探究学案.docx

三简单曲线的极坐标方程课堂探究探究一 圆的极坐标方程在求曲线的极坐标方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，然后化简，最后求出与的函数关系，即为要求的极坐标方程【例题1】求圆心在A，并且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程思路分析：如图，在圆A上任取异于O，B外的一点M，连接OM.设M(，)，则MOB，即可求圆A的极坐标方程解：如图，设M(，)为圆上除O，B外的任意一点，连接OM，MB，则有|OB|4，|OM|，MOB，BMO，从而BOM为直角三角形，所以有|OM|OB|cosMOB，即4cos4sin .因为点O(0,0)，B也适合此方程，故所求圆的极坐标方程为4sin .化为直角坐标方程为x2y24y0.探究二 直线的极坐标方程在极坐标系中，求直线的极坐标方程的一般方法为：在直线上任取一点M(，)，连接OM，构造出含有OM的三角形，再利用三角形知识求|OM|，即把|OM|用表示，这就是我们所需求的与的关系，即为直线的极坐标方程，也可先求出直角坐标方程，再变换为极坐标方程【例题2】求过点A(1,0)且倾斜角为的直线的极坐标方程思路分析：本题可用两种解法：(1)可先根据题意画出草图，并设点M(，)是直线上的任意一点，从而由等量关系建立关于，的方程并化简，最后检验是否是所求即可；(2)可先由已知条件写出直线的点斜式的直角坐标方程，然后由公式化为极坐标方程即可解法一：如图，设M(，)(0)为直线上除点A以外的任意一点，则xAM，OAM，OMA.在OAM中，由正弦定理得，即，所以sin，即，化简，得(cos sin )1，经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为(cos sin )1.解法二：以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系xOy，直线的斜率ktan 1，直线方程为yx1，将ysin ，xcos (0)代入上式，得sin cos 1，所以(cos sin )1.点评 解法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而建立了以，为未知数的方程；解法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过利用直角坐标向极坐标的转化公式间接得解探究三 直角坐标方程与极坐标方程的互化将极坐标方程化为直角坐标方程的方法有：直接利用公式；两边同乘以；两边同时平方等将直角坐标方程化为极坐标时，直接用公式代入化简即可【例题3】把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化：(1)x2(y2)24；(2)9(sin cos )；(3)4；(4)2cos 3sin 5.思路分析：利用公式xcos ，ysin ，2x2y2进行直角坐标方程与极坐标方程的互化即可解：(1)x2(y2)24，x2y24y，代入xcos ，ysin 得24sin 0，即4sin .(2)9(sin cos )，29(sin cos )，x2y29x9y，即22.(3)4，242，x2y216.(4)2cos 3sin 5，2x3y5.点评 化曲线的直角坐标方程f(x，y)0为极坐标方程f(，)0，只要将xcos ，ysin 代入到方程f(x，y)0中即可化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为0.例如x2y225化为极坐标方程时，有5或5两种情况，由于0，所以只取5.事实上，这两个方程都表示以极点为圆心，5为半径的圆探究四 易错辨析易错点：忽略极坐标参数的取值范围【例题4】把直角坐标方程xy0化为极坐标方程错解：将xcos ，ysin 代入xy0，得cos sin 0，(cos sin )0.tan 1.极坐标方程是k(kZ)错因分析：由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里通常约定只在0,2)范围内取值正解：将xcos ，ysin 代