高中数学第二章函数2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象选学同步训练二.docx

2.1.4 函数的奇偶性2.1.5 用计算机作函数的图象(选学)5分钟训练1.下列命题正确的是( )A.偶函数的图象一定与y轴相交 B.奇函数的图象一定通过原点C.不存在既是奇函数又是偶函数的函数 D.偶函数的图象关于y轴对称答案：D解析：偶函数的图象不一定与y轴相交,如函数y=x2,x-4,-33,4,排除A;奇函数的图象不一定过原点,如函数y=,排除B;函数f(x)=0(xR)既是奇函数又是偶函数,排除C.2.下列函数图象中所表示的函数是奇函数的是( )答案：D解析：由奇函数的图象关于原点对称,可得D项中的函数为奇函数.3.对定义域为R的任何奇函数f(x),都有( )A.f(x)-f(-x)0 B.f(x)-f(-x)0C.f(x)f(-x)0 D.f(x)f(-x)0答案：C解析：函数f(x)是R上的奇函数,f(0)=0.故A、D错误. 对于B恒有f(x)0,这与奇函数的图象关于原点对称相矛盾.4.(1)一次函数y=kx+b(k0)是奇函数,则b=_;(2)二次函数y=ax2+bx+c(a0)是偶函数,则b=_.答案：(1)0 (2)0解析：(1)由-kx+b=-(kx+b),得b=0.(2)因为a(-x)2+b(-x)+c=ax2+bx+c,所以-bx=bx,故b=0.10分钟训练1.函数y=x|x|的图象大致是( )答案：C解析：y=x|x|是奇函数,A、B错误.又x0时,y=x2,D错误.2.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在(-5,-2)上是( )A.增函数 B.减函数C.非单调函数 D.可能是增函数,也可能是减函数答案：A解析：f(x)为偶函数,f(-x)=f(x),即(m-1)x2+2m(-x)+3=(m-1)x2+2mx+3.-2mx=2mx.m=0.f(x)=-x2+3.f(x)在(-5,-2)上是增函数.3.如果奇函数f(x)在区间-5,-3上是增函数,且最大值是-4,那么f(x)在x3,5上是( )A.增函数且最大值是4 B.增函数且最小值是4C.减函数且最大值是4 D.减函数且最小值是4答案：B解析：作一个符合条件的函数的简图.观察图形,可知f(x)在3,5上是增函数,且最小值为4.4.函数y=f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f（x+2）是偶函数.下列结论中正确的是( )A.f（1）f（）f（） B.f（）f（1）f（）C.f（）f（）f（1） D.f（）f（1）f（）答案：B解析：y=f（x）的图象关于直线x=2对称，且在（0，2）上是增函数，（2，3）上是减函数，.又f（3）=f（1），.5.已知奇函数f(x)在x0时,f(x)=_.答案：-x(x+1)解析：设x0,则-x0.由条件,得f(-x)=-x(-x-1).函数为奇函数,f(-x)=-f(x),-f(x)=-x(-x-1).f(x)=-x(x+1).6.已知f（x）是奇函数，在（-1，1）上是减函数，且满足f（1-a）+f（1-a2）0，求实数a的范围.解：由f（1-a）+f（1-a2）0，得f（1-a）-f（1-a2）.f（x）是奇函数，-f（1-a2）=f（a2-1）.于是f（1-a）f（a2-1）.又由于f（x）在（-1，1）上是减函数，因此，解得0a1.30分钟训练1.设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+)上是减函数,若x10,则( )A.f(-x1)f(-x2) B.f(-x1)=f(-x2)C.f(-x1)-x10,f(x)是R上的偶函数,f(-x1)=f(x1).又f(x)在(0,+)上是减函数,f(-x2)=f(x2)f(-x1).2.(探究题)已知函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图(1)和(2):则y=f(x)g(x)的大致图象为( )答案：B解析：由图象可知,y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,y=f(x)g(x)是奇函数,故A、C错误.又当0x0,g(x)0,f(x)g(x)0.故D错误.3.已知函数f(x)在-5,5上是偶函数,f(x)在0,5上是单调函数,且f(-3)f(1),则下列不等式中一定成立的是( )A.f(-1)f(-3) B.f(2)f(3)C.f(-3)f(1)答案：D解析：f(-3)=f(3).f(3)f(1).函数f(x)在x(0,5上是减函数.4.设f（x）是（-，+）上的奇函数，f（x+2）=-f（x），当0x1时，f（x）=x，则f（7.5）等于( )A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5答案：B解析：f（7.5）=f（6+1.5）=-f（1.5）=-f（2-0.5）=f（-0.5）=-f（0.5）=-0.5.5.若奇函数f(x)在(0,+)上是增函数,又f(-3)=0,则x|xf(x)3或-3x0 B.x|0x3或x3或x-3 D.x|0x3或-3x0答案：D解析：依题意,当x(-,3)(0,3)时,f(x)0.由xf(x)0,知x与f(x)异号.6.(创新题)已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,其定义域是a-1,2a,则a=_, b=_.答案： 0解析：由偶函数不含奇次幂项,可得b=0.根据具有奇偶性的函数的定义域关于原点成中心对称,可得1-a=2a.7.已知函数f(x)=,若f(x)为奇函数，则a=_.答案：解析：方法一:f(x)为奇函数,则有f(-x)=-f(x),即-a.解得2a=1,a=.方法二:定义域为R的奇函数满足f(0)=0,即f(0)=0.a=.8.设函数y=f(x)是奇函数.若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3,则f(1)+f(2)= _.答案：-3解析：依题意,得-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3,f(1)+f(2)=-3.9.设函数f（x）=（a、b、cZ）为奇函数，又f（1）=2，f（2）3，且f（x）在1，+）上递增.（1）求a、b、c的值；（2）当x0时，讨论f（x）的单调性.解：（1）f（x）为奇函数，f（-x）=-f（x）.=0.ax2+10，c=0.又f（1）=2，f（2）3，a+1=2b且3.将2b=a+1代入上式得-1a2.aZ，a=0或a=1.而a=0时，b=，与bZ矛盾,a=1，b=1，c=0.（2）由（1）f（x）=，设x1x20，f（x2）-f（x1）=（x2-x1），当x1x2-1时，x1x21，x1x2-10.又x2-x10，f（x2）f（x1）,即当x-1时，f（x）为增函数.同理，当-1x0时为减函数.10.已知y=f(x)是定义在(-,+)上的奇函数,且在0,+)上为增函数.(1)求证:函数在(-,0上也是增函数;(2)如果f()=1,解不等式-1f(2x+1)0.答案：(1)证明：设x1、x2是(-,0上任意两个不相等的实数,且x1-x2,x=x2-x10.y=f(x2)-f(x1).f(x)是奇函数,且在0,+)上是增函数,-x1-x2,f(-x1)f(-x2).又f(x)为奇函数,f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2).-f(x1)-f(x2),即f(x1)0.函数f(x)在(-,0上也是增函数