一道解几习题的研究与拓展.pdf

第3 3 卷第8 期2 0 1 4 年8 月 数学教学研究 4 9 一道解几习题的研究与拓展 赵思博 甘肃省民乐县第一中学7 3 4 5 0 0 解析几何的题目涉及面广 综合性强 背 景新颖 灵活多样 是 化冰冷的美丽为火热 的思考 的题目 有很强的挑战性 笔者对解 析几何的题目情有独钟 对圆锥曲线更是倍 加青睐 这源于圆锥曲线的一些优美性质 我 把一道解几习题引发的思考整理成文 现将 过程简述如下 与大家分享 题目在平面直角坐标系中 点P x y 为动点 已知点A 2 o B 一厄 o 直 1 线P A 与P B 的斜率之积为一去 o I 求动点P 的轨迹E 的方程 I I 过点F 1 o 的直线交曲线E 于两 点M N 设点N 关于z 轴的对称点为Q M Q 不重合 求证 直线M Q 过定点 2 本题的答案是 I 等 y 2 1 y o 厶 直线M Q 过定点 2 O 解完此题 我发现定点 2 O 恰为椭圆的 右准线与X 轴的交点 这是巧合还是一般性 结论 为此 我对椭圆的一般情况做了如下 探究 1 纵向推广 一2 2 已知椭圆叁 告 1 n 6 o 过右焦 点F c o 的直线z 交椭圆于两点M N 设 点N 关于X 轴的对称点为点Q M Q 不重 合 求证 直线M Q 过定点 证明设M x l y 1 N x 2 y 2 Q z 2 y z Z z 7 鲫 c 代入椭圆方程得 6 2 m 2 口2 Y 2 f 2 b 2 溯v 一6 4 0 由韦达定理得 y l q y z 2 再雨 一6 4 Y l Y 2 一 b Z m 2 A a 直线M Q 的方程为 y y 1 z y 广l 勋y z X X 1 由对称性知 若直线M Q 过定点 则定点在z 轴上 令y O 得 z x l y 2 x 2 y 1 一毕 c Y 1 1 Y zy 1 1 此 b 2a 2 2 一十C 2 一 CC 即直线M Q 过定点 告 o 性质1 已知椭圆著 荸 1 口 6 o 过右焦点F c o 的直线z 交椭圆于两点 M N 设点N 关于z 轴的对称点为 Q M Q 不重合 则 f f 线M Q 过定点 譬 o 双曲线和抛物线是否有类似的结论 为 此 我做了如下探究 2 横向类比 已知双曲线参一芳5 1 口 o 6 o 过 右焦点F c o 的直线z 交双曲线于两点M N 设点N 关于z 轴的对称点为点Q M Q 不重合 求证 直线M Q 过定点 证明设M x l Y 1 N x 2 弛 Q Y z y z z z 7 砂 c 代人双曲线方程得 6 2 m 2 a 2 y 2 2 6 2 删 6 t O 由韦达定理得 万方数据 数学教学研究第3 3 卷第8 期2 0 1 4 年8 月 Y l f Y z 2 再砑 6 4 Y l Y Z b Z m Z a Z 直线M Q 的方程为 y 一姐2 舞 X X 1 由对称性知 若直线M Q 过定点 则定点在z 轴上 令y O 得 z 一型峰 毕 c y l T y zy l T 弛 一芝 c 垒三 即直线M Q 过定点 冬 o 性质2 已知双曲线手一荸 1 口 o 6 O 过右焦点F c O 的直线Z 交双曲线于 两点M N 设点N 关于z 轴的对称点Q M Q 不重合 则直线M Q 过定点 譬 o 已知抛物线 2 p x p O 过焦点F 等 o 的直线交抛物线于两点M N 设点N 关于z 轴的对称点为点Q M Q 不重合 求 证 直线M Q 过定点 证明设M x 1 y 1 N x 2 Y 2 Q y 2 一弛 z z 刀桫 c 代人抛物线方程得 一2 娜一夕2 o 由韦达定理得 y 1 y z 2 p m Y l Y z 一p 2 直线M Q 的方程为 y M 2 z y 广l z y z 2 X T 1 由对称性知 若直线M Q 过定点 则定点在z 轴上 令y O 得 t 墨趁 丝2 1 兰掣 丝 尘 一旦 y lq Y zY 1 y 2 2 2 即直线M Q 过定点 一告 o 性质3 已知抛物线Y 2 2 p x p O 过焦点F 罟 o 的直线交抛物线于两点M N 设点N 关于z 轴的对称点Q M Q 不重 合 则直线M Q 过定点 一罟 o 3 归纳统一 性质4 已知圆锥曲线C 过焦点F 的 直线z 交曲线C 于两点M N 设点N 关于z 轴的对称点Q M Q 不重合 则直线M Q 过 焦点F 对应的准线与z 轴的交点 4 变式拓展 一道好的试题往往是命题者研究成果的 结晶 他们在一个背景下 交换部分条件和结 论 或给 j 某个问题一般结论的特例 便生出 一道新题 又能挑战你的思维 笔者结合对相 关题目的研究 又做了如下探究 性质5M Q 为圆锥曲线C 垂直于z 轴 的动弦 E 为焦点F 对应的准线与z 轴的交 点 Q E 交曲线C 于M 则直线M N 过焦点 于F 性质6F 为圆锥曲线C 的焦点 E 为 焦点F 对应的准线与X 轴的交点 过曲线C 上一点N 的直线N F 交曲线C 于另一点M 点N 关于z 轴的对称点为Q M Q 不重 合 则M Q E3 点共线 证明以椭圆为例 设M z 1 Y 1 N x z 弛 Q x z y z z z 则 c 代人 椭圆方程得 b Z m 2 口2 y 2 I 2 b 2 伽一6 4 0 由韦达定理得 Y2万 而2b2cmyl I yz 1 矿矛干孑 1 一 4 Y l Y 2 瓦南虿 2 M Q E3 点共线臼忌晒一忌砸 铮 二1 L 一 丛1 口 n z 2 一了z 1 一一C 下转第5 5 页 万方数据 第3 3 卷第8 期2 0 1 4 年8 月数学教学研究 5 5 专家还有一个观点是和2 0 1 2 年的第1 9 题相比 已知箱中装有4 个白球和5 个黑球 且规定 取出一个白球得2 分 取出一个黑球 得1 分 现从该箱中任取 无放回 且每球取 到的机会均等 3 个球 记随机变量X 为取出 此3 球所得分数之和 求X 的分布列 答案是 由题意得X 取3 4 5 6 则 r c P X 3 一渡一磊 P X 一4 警12 一斫1 0 L 9 厶上 r 2 1 1r P x 一5 一訾一杀 11 r 31 P X 6 一游一南 J o 2 0 1 2 年 无放回 是 一把抓 2 0 1 3 年 有放回 是 一个抓好 放回再抓一个 何来 瑕疵 其实学生在做2 0 1 2 年高考题时 根本 没有对括号里的话 斤斤计较 就知道是 一 把抓 老师也不会对此作过多的解释 汉语 可以直截了当清楚表达 难道还要加括号解 释说明吗 假使要如专家的意见 笔者认为 表达为 从该袋子中依次摸2 个球 有放 回 或干脆 从该袋子中任取1 个球 放回 再任取1 个球 不会出现 你不 说我倒还明白 你越说我却越糊涂了 的局 面 笔者不由想起儿子在入幼儿园小班时 我 竖起左右手的两根食指 问他一加一等于几 时 他稚嫩地回答是1 1 问他为什么 两根 指头并排竖着不是像1 1 吗 儿子没错 是我 问的时候不该用误导人的手势 而从我的立 场出发也没有过错 别人都能正确回答是2 就你答错 通过这个事例 值得命题专家深 思 有时我们要站在学生角度想问题 哪种叙 述不会让学生理解错 毕竟该题重点不是考 查学生阅读理解能力 那是语文试卷的使命 此题使不懂概率和懂概率的同学站在同一水 平线上 更使数学老师多年概率教学付之东 流 这能怪数学老师吗 能怪学生吗 人非 尧舜 谁能尽善 没有最好 只有更好 但 愿从此不会出现这种情况 高三几轮复习下来 一路坎坷 一路高 歌 回忆起和学生曾经并肩作战 苦并乐着 高考结束不是终点 有些老师回到高一重复 昨天的故事 有些继续担任高三教学 开始新 的征途 收稿日期 2 0 1 4 0 1 2 8 上接第5 0 页 甘y l c x 2 a 2 b y 2 c x l a 2 一O 甘y 1 c m y 2 b 2 b Y z c m y l b 2 一O 2 c r n y ly 2 6 2 y 1 b y 2 0 把 1 2 代人得 二呈芝堡上鲨丝一n b 2 m 2 b n 2 b z m 2 b 口2 成立 所以 M Q E3 点共线 性质7N Q 为圆锥曲线C 垂直于X