一道高二调研题的解题研究.pdf

2 0 1 4 年第1 1 期中学数学研究 2 5 O A 一弘 1 由定理1 和2 知 点集P 表示的 区域为 A 0 曰 同理可求另外两种情况 故当IA I 弘I l 时 点集P 所表示的区域如图5 所示 由 0 AI 10 BI 0 A D 日 2 知 A D B 是边长为 2 的等边三角形 四边形A 曰7 A 曰是A 曰 2 A 曰 2 怕的矩形 因此面积为4 怕 故选D 例2设长方形A B C D 边长分别是A D 1 A B 2 如图6 所示 点P 在 曰C D 内部和边界上运 动 设A P n A 日 卢A D 仅 卢是实数 则a 2 卢的 取值范围是 A 1 2 曰 1 3 C 2 3 D 0 2 解析 设A D 的中点为E 连接曰E 则A P a A B 毕A E 由定理2 知 当点P 在 曰c D 内部和边界上运动时 a 邛 1 再由定理3 知 当点P 在B C B 图6 点位置时 d 2 卢取最小值l 此时a l 卢 0 当 点P 在曰点位置时 0 c 邡取最小值l 此时a 1 芦 0 当点P 在C 点位置时 d 2 届取最大值3 此 时 1 卢 1 故a 华 1 3 选B 例3 如图7 在正方形A 曰c D 中 E 为A B 的中 点 P 为以A 为圆心 A B 为半径的圆弧上的任意一 点 设向量A C AD E 肛A P 则A 肛的最小值为 嬲 D P 7 上 不含点P 时 A 肛 1 当点P 在弧P B 上 不含点P 时 0 A 肛 6 o 口D 长轴的两个顶点 点P 是椭圆上异于A B 两点的任 意一点 直线P A 与P B 的斜率分别为I P A 后朋 则后用 一 笔 口 2 2 结论2 椭圆方程为与 告 1 o 6 o 口D 若过原点的一条直线与椭圆交于曰 C 两点 点A 是 椭圆上异于曰 c 两点的任意一点 直线A 召与A c 的 L 2 斜率分另0 为 贝4 晟 一 结论3在平面直角坐标系加 中 若点A B 分 别是椭圆冬 告 1 口 6 o 的左 右顶点 直 线Z 经过点B 且垂直于戈轴 点P 是椭圆上异于A 曰 的任意一点 直线A P 交Z 于点M 设直线D 肘的斜率 L 2 为后 直线B P 的斜率为后 则后 J 一等 结论4 已知椭圆方程为 告 1 口 6 口D 0 过原点的直线与椭圆交于曰 C 两点 其中点B 在 第一象限 过点曰作戈轴的垂线 垂足为M 连结伽 万方数据 2 0 1 4 年第1 l 期中学数学研究 2 7 并延长交椭圆于点A 则五 口 J 2 后仙 七 c 2 6 2 口 还可以推广到双曲线中 结论5 若A B 是双曲线 一告 1 口 o 6 0 长轴的两个顶点 点P 是双曲线上异于A B 两点的任意一点 直线朋与咫的斜率分别为七P 后艘 贝o j 黝 后 与 结论6在平面直角坐标系戈D y 中 若点A 曰分 别是双曲线与一告 l 口 o 6 o 实轴上左 右 D扫 顶点 直线Z 经过点日且垂直于x 轴 点P 是双曲线 上异于A B 的任意一点 直线A P 交Z 于点丝设直线 2 o M 的斜率为 直线B P 的斜率为 1 2 则晟 j 等 三 结束语 解题教学中 解题并不是唯一的目的 而是一个 学习与积蓄力量的过程 解题研究也不仅仅是全面 的认识一道数学问题 更是对自身教研能力的一次 提高 而一种良好习惯的培养 一种正确意识的确 立 都会在不断的实践和熏陶中得以形成和完善 这 就是提倡教师做解题研究的出发点与归宿 一 对2 0 13 年湖南理科卷第21 题的探究 湖南省常德市第六中学 4 1 5 0 0 3 彭世金 2 0 1 3 年高考湖南卷理科第2 l 题 在直角坐标系戈o 中 曲线c 上的点均在圆 c 2 菇一5 2 y 2 9 外 且对C 上任一点M M 到 直线戈 一2 的距离等于该点与圆C 上点的最小值 I 求曲线C 的方程 设P 菇 土3 为圆C 外任一点 过P 作圆C 的两条切线 分别与曲线C 相交于点 A B 和c D 证明 当点P 在直线戈 一4 上运动时 四点A 曰 C D 的纵坐标之积为定值 易求 证 得 I 曲线c 的方程为 2 2 0 戈 当点P 在直线石 一4 上运动时 四点A B C D 的纵坐标之积为定值6 4 0 0 笔者通过探究 发现此题可推广到一般情形 命题在直角坐标系z o 中 曲线c 上的点均 2 在圆c 菇一号 y 2 r 2 譬 r o 外 且对 c 上任一点肘 肘到直线菇 r 等的距离等于该点 二 与圆C 上点的最小值 则 I 曲线C 1 的方程为y 2 2 p 石 设P 石 r 为圆Q 外任一点 过P 作圆C 的两条切线 分别与曲线G 相交于点 A 县和c D 当点尸在直线茗 一 导 2 一r 2 上运 V 动时 四点A B G D 的纵坐标之积为p 2 p 2 4 r 2 定值 卜号一rI 茁一号 2 y 2 一易知圆c 上 的点位于直线菇 r 一号的右侧 于是z 孚一 o 所以 戈一号 2 y 2 菇 号 化简得c 的方程 为y 2 却石 当点P 在直线戈 一 号 2 一r 2 上运动 时 点尹的坐标为 P 一 号 2 一r 2 又 r 则过点P 且与圆c 相切的直线的斜率 存在且 不为零 每条切线都与抛物线有两个交点 切线方程 为y 一 I 石 号 2 一r 2 即如一 j F i 汀n 干口 譬 露 号 2 一r 2