水力学第四章.doc

第四章思考题:4-1：N-S方程的物理意义是什么？适用条件是什么？物理意义：N-S方程的精确解虽然不多，但能揭示实际液体流动的本质特征，同时也作为检验和校核其他近似方程的依据，探讨复杂问题和新的理论问题的参考点和出发点。适用条件：不可压缩均质实际液体流动。4-2 何为有势流?有势流与有旋流有何区别?答:从静止开始的理想液体的运动是有势流. 有势流无自身旋转,不存在使其运动的力矩.43 有势流的特点是什么？研究平面势流有何意义？ 有势流是无旋流，旋转角速度为零。研究平面势流可以简化水力学模型，使问题变得简单且于实际问题相符，通过研究平面势流可以为我们分析复杂的水力学问题。4-4.流速势函数存在的充分必要条件是流动无旋，即时存在势函数，存在势函数时无旋。流函数存在的充分必要条件是平面不可压缩液体的连续性方程，即就是存在流函数。45何为流网，其特征是什么？绘制流网的原理是什么 ？流网：等势线（流速势函数的等值线）和流线（流函数的等值线）相互正交所形成的网格 流网特征：（1）流网是正交网格（2）流网中的每一网格边长之比，等于流速势函数与流函数增值之比。（3）流网中的每个网格均为曲线正方形 原理:自由表面是一条流线，而等势线垂直于流线。根据入流断面何处流断面的已知条件来确定断面上 流线的位置。4-6.利用流网可以进行哪些水力计算?如何计算？解:可以计算速度和压强。计算如下：流场中任意相邻之间的单宽流量q是一常数。在流场中任取1、2两点，设流速为u1，u2，两端面处流线间距为m1，m2。则q=u1m1=u2m2，在流网中，各点处网格的m值可以直接量出来，根据上式就可以得出速度的相对变化关系。如果流畅中某点速度已知，就可以其他各点的速度。流畅中的压强分布，可应用能量方程求得。z1+p1g+u122g=z2+p2g+u222g当两点位置高度z1和z2为已知，速度u1，u2已通过流亡求出时，则两点的压强差为p1g-p2g=z2-z1+u222g -u122g如果流畅中某一点压强已知，则其他个点压强均可求得4.7利用流网计算平面势流的依据是什么？（参考4.6的解释）4-8流网的形状与哪些因素有关？网格的疏密取决于什么因素？答：流网由等势线和流线构成，流网的形状与流函数（x,y）和流速势函数(x,y)有关；由q=常数，q=常数，得两条流线的间距愈大，则速度愈小，若间距愈小，则速度愈大。4-9 流函数与流速势函数之间各有哪些性质？两者之间有何联系？ 答：流函数的性质： 1） 同一条流线上各点的流函数为常数。2）平面势流的流函数是一个调和函数。3）两流线之间的单宽流量等于该两条流线的流函数值之差。流速势函数的性质：流速势函数是调和函数。联系：在平面势流中流函数与流速势函数为共轭调和函数。4-10 流速势函数的增值方向与速度方向一致，即就是沿着流速u的方向增大；流函数的增值方向垂直于流速方向，即就是沿着等势线增大。4-11理想液体运动微分方程式的伯努利方程的运用条件是什么？解：应用时必须满足以下条件1液体是不可压缩均质的理想液体，密度为常数。2作用于液体上的质量力是有势的。3液体运动是恒定流。4 dx dy dz 行列式 x y z= 0 ux uy uz 根据行列式的性质，满足下列条件之一都能使该行列式的值为零，即1) x = y = z=0,为有势流2) ux = uy = uz =0，为静止液体3) dx/x = dy/y = dz/z=C,这是涡线微分方程。4) dx/ux = dy/uy = dz/uz=C，这是流线微分方程。5) ux/x =uy /y = uz /z=C，为螺旋流。4-12 -S方程中的动水压强p与坐标轴的选取是否有关？答：无关4-13为什么说N-S方程是液体运动最基本的方程之一？目前它在水力学中的应用如何？答：如果液体为理想液体，此方程为理想液体运动微分方程；如果是静止液体，此方程为液体的平衡微分方程。所以，N-S方程是研究液体运动最基本的方程之一。N-S方程式是阶非线性非齐次的偏微分方程，求其普遍解在数学上是很困难的，仅对某些简单的问题才能求得解析解，但是，随着进算计的广泛应用和数值计算技术的发展，对于许多工程实际问题已能够求的其近似解。4-15能量方程式各项的意义是什么？应用中应注意哪些问题？解析：（1）意义理想在液体能量方程： z1+p1g+u122g =z2+p2g+u222g 因为在上式中，过水断面1-1和断面2-2是任取的，所以可将上式推广到元流的任意过水断面，即： zg+ p g +u22=常数1.物理意义：zg代表位能；p代表压能；u22是单位液体所具有的动能。所以（zg+ pg +u22）就代表单位质量液体所具有的总机械能，通常用E来表示。2.几何意义：z代表位置水头，pg代表压强水头，u22g 为速度水头，(z+ pg+u22g)则表示总水头。实际液体元流的能量方程 z1+p1g+u122g =z2+p2g+u222g+hw1. 物理意义：元流各过水断面上单位质量液体所具有的总机械能沿流程减少，部分机械能转化为热能或声能而损失；同时也表示了各项能量之间沿流程可以相互转化关系。2. hw在水力学中习惯上称为水头损失。（2）注意：是不是理想液体，若是，用理想在液体能量方程；若不是，用实际液体元流的能量方程z1,z2是同一基准面。提到压强，若为相对压强，式子左右都为相对压强；若为绝对压强，式子左右都为绝对压强。4-16何为总水头线和测压管水头线？水头坐标为何取垂直向上？解析：（1）测压管水头线是沿水流方向各个测点的测压管液面的连线，它反应的是流体的势能，测压管水头线可能下降，也可能上升（当径管沿流向增大时），因为径管增大时流速减小，动能减小而压能增大，如果压能的增大大于水头损失时，水流的势能就增大，测压管水头就上升。 水头总线是沿着测压管水头线的基线上再加上流速水头，它反应的是流体的总能量，由于沿流向总是有水头损失，所以总水头线沿程只能下降，不能上升。（2）为了直观反应总流沿流程各种能量的变化规律及相互关系，可以把能量方程沿流程用几何线段图形来表示。 以0-0为基准面，以水头为纵坐标，按一定比例尺沿流程将各过水断面的z.pg及v22g分别绘于图上，而且每个过水断面上的z.pg及v22g是从基准面画起垂直向上依次连接的，所以水头坐标取垂直向上。4-17 是什么？有何物理意义？ 答：水力坡度的意义：水力坡度表明了实际液体沿元流单位流程上的水头损失，水力坡度也就是总水头线坡度。 物理意义：它是单位重量液体沿流程单位长度上的机械能损失。4-18 如何确定水流运动方向，试用基本方程式说明。 解：假定有1-1,2-2两个断面，则可分别写出断面1-1和断面2-2的伯努利方程： H1=Z1+P1/pg+a1V1V1/2g H2=Z2+P2/pg+a2V2V2/2g 当H1H2时，说明断面1-1的总机械能高于断面2-2的总机械能，所以水流是从断面1-1流向断面2-2。反之，亦然。4-19恒定总流能量方程F=Q（1-），F中包括哪些力？动水压强必须采用相对压强表示吗？答：合外力包括表面力和质量力，动水压强不一定必须采用相对压强表示。20. 单位质量水体的总机械能为zg+p/+u/2断面总机械能为rQ (zg+p/+u/2)习题4-1 某管道如图所示，已知过水断面上流速分布为u=c【1-（r/r)】，u为管轴线处的最大流速，r为圆管半径，u是距管轴线r点处的流速。若已知r=3cm，u=0.15m/s。试求：（1）通过管道的流量Q；（2）断面平均流速v。rR0u解：（1）dQ=udA=u1-(r/r).2rdr Q=u1-(r/r).2rdr=2u(r-r/r)dr Q=2.1210m/s（2）v=Q/A=0.075m/s4-2有一个坡非常都的渠道如图4-35所示，设水速为恒定的均匀流，A点距水面的垂直水深为3.5M。以通过A点的水平面为基准面，试求A点的位置水头，并以通过B点的水平面为基准面标注图上。解：以A点水平面为基准面，得 Z=0 P/g=ghcos30cos30/g=2.625m 此时测压管水头为Z+P/g=2.625m 以B点的水平面为基准面时， Z=3.5m4-3 有一倾斜放置的渐粗管如图4-36所示，A-A与B-B两个过水断面形心点的高差为1.0m，A-A断面管径d=150mm，形心点压强PA=68.5KN/m2。B-B断面管径dB=300mm，形心点压强PB=58kn/m2,断面平均流速VB=1.5m/s,试求：（1） 管中水流的方向。（2） 两端面之间的能量损失。（3） 通过管道的流量。 解：（1）HA =ZA +(PA /g)+(1VA2/2g)n VBAB=VAAA 得VA=6m/s HA=8.83J HB=EB+(PB/g)+( 2VB2/2g)=7.03J HAHB 所以水流从A-A断面流向B-B断面（2）hWa-b=HA-HB=1.8J（3）Q=VBAB =1.5(0.32)2 =0.106m3/s4-4. 有一管路突然缩小的流段，如图4-7所示。由侧压管断面1-1的压强水头p1g=1.0m，已知过水断面1-1、断面2-2的面积积分分别为A1=0.03m2，A2=0.01m2，形心点位置高度z1=2.5m,z2=2.0m,管中通过的流量Q=20Ls，两端面间水头损失hw=0.3v22g。试求断面2-2的压强水头及测压管水头，并标注在图上。112200z1z2z2+p2g图4-37解：从断面1-1到断面2-2，根据连续性方程，有 Q1=Q2=0即 v1A1=v2A2=Q 根据伯努利方程，有 H1=z1+p1g+1v122g H2=z2+p2g+2v222g 取修正系数1=2=1.0 又H1=H2+hw 联立式，得 p2g=1.26m z2+p2g=3.26m4-5 某矩形断面平底渠道，如图所示.宽度B=2.7米，河床在某处抬高z=0.3m，若抬高前的水深H=2.0m，抬高后水面跌落h=0.2m，不计水头损失，求渠道中通过的流量Q。Hhz图4-38解：取1-1断面和2-2断面: z1+p1g+1v122g=z2+p2g+2v222g z1-z2=v22-v122g0.2m v1A1=v2A2所以，v1=0.75v2 将代入中，得v2=2.99ms Q=v2A2=2.992.71.5m3s=12.12m3s4-6 水轮机的锥形尾水管，如图4-39所示。已知断面AA的直径D1=600mm，断面平均流速V1=5,。出口断面的直径D2=900mm，由A到B的水头损失HW=0.2V1*V1/2g。试求当z=5m时，断面A-A的真空度。解：由连续性方程v1A1=V2A2，得V2=V1*A1. 得 V2=2.2m/s, 由能量方程得Pa=0-6m-1.03m+1m+0.26m =-5.77m则pa=9800* -5.77=-56546n/(m*m) 则A点的真空度P=-pa=56546 n/(m*m)4-7某虹吸管从水池取水,如所示.已知虹吸管直径d=150mm，出口在大气中。水池面积很大且水位保持不变，其余尺寸如图所示，不计能量损失。试求：通过虹吸管的流量Q，（2）途中A,B，C各点地动水压强。（3）如果考虑能量损失，定性分析流量Q如何变化.解：在水面和液体出口处列伯努利方程，取C点所在水平面为基准面。BD1.5mA 5mCQ（1）由 知 得： （2） 由图知： 且管径相等则流速相等。 相对压强所以： （3）如果考虑能量损失，则v减小，流量Q减小。l 4-8 解：水沿细管上升，则2-2断面处为负压 H1-1断面与3-3断面用能量方程可得：z1+p1g+v122g=z3+p3g+v322g 1 1即 H + 0 + 0 = 0 + 0 + v322g，则得v3=2gH 2 32-2断面与3-3断面同理得：0 +（-h）+ v222g = 0 + 0 + v322g 0 d d2 v2=2g(H+h) ，v2*4d22=v3*4d2 ，则可得： 2 h 3dd2=2g(H+h)2gh=(1+hH)14 水4-9测定水泵扬程的装置，如图所示，已知水泵吸水管直径d1=200mm,水泵进口真空表读数为39.2kpa。压水管直径d2=150mm,水泵出口压力表读数为2at,断面1-1，断面2-2间的位置高差Z=0.5m,若不计水头损失，测得流量Q=0.06m3,水泵的效率n=0.8。试求水泵的扬程Hp及轴功率Np。解：取断面1-1为基准面，列伯努利方程得：Z1+P/pg+a1v1/2g+Hp=Z2+P2/pg+a2v22/2g由连续性方程得：v1A1=v2A2=Q得 v1=1.9m/s v2=2.55m/sHp=z2-z1+P2-P1/pg+V22-V12/2g解得Hp=24.9m所以Np=18.3kn m/s4.11如图所示，为一水平安装的文丘里流量计，已知管道断面1-1的压强水头g=1.1m,管径=150mm,喉管断面2-2的压强水头g =0.4m,管径=100mm,水头损失Hw=0.3 2g 试求；（1）通过管道的流量Q,(2)该文丘里流量计的流量系数。解；(1)对渐变流断面1-1及断面2-2列总流的伯努利方程. + g+1 2g=+g+2 2g+Hw取1=2=1.0可得（-）g=(-)2g+0.32g有连续性方程可得=1.77msQ=31.3Ls(2).设没有水头损失的情况，管道流量为=（4） =32.4Ls,=Q=0.974-13 某管路系统与水箱连接，如图4-46所示。管路由两段组成，其过水断面面积分别为A1=0.04m2,A2=0.03m2，管道出口与水箱面高差H=4m,出口水流流入大气。若水箱容积很大，水位保持不变，当不计水头损失时，试求：（1） 出口断面平均流速v。（2） 绘制管路系统的总水头线及测压管水头线。（3） 说明是否存在真空区域。 解：(1)取水平液面1-1为过水断面，管道出口2-2为过水断面。H+0+1v12/2g =0+0+2v22/2gv1=1=2=1.0解得：v2=2gH=8.85m/s(2)设A1-A1断面处平均流速为v1由连续性方程得：v1=v2A2/A1=6.64m/s取过水断面A1-A1，A2-A2形心点的水平面为基准面。列伯努利方程：z1+p1/pg+1v12/2g=z2+p2/pg+2v22/2g ( p1-p2)/pg=(v22-v12)/2g=1.75m/s由A2-A2过水断面与管出口列伯努利方程得： 0+p2pg+2v222g=-0.5+0+2，v2，22g又v2=v2， 1=2，=1.0可得：p2pg=-0.5m所以p1pg=-1.25(3)A2-A2断面所在管道测压管水头线在中心线之下，故该部分有真空。图如下：11A1A1总水头线测压管水头线HA2A2224-14 水箱中的水体经扩散短管流入大气,如图4-47所示.如过水断面1-1的直径d1=100mm,行心点绝对压强p1=39.2kN/,出口断面直径d2=150mm,不计能量损失，求作用水头H。00d1d2解： 取1-1,2-2的轴线为基准面 由伯努利方程得1-1,2-2间： 0+p1g+1122g=0+p2g+2222g+hw1-2又因为无水头损失，所以hw1-2=0，取1=2=1.0 由连续性方程得 ： 1A1=2A2取p2的绝对压强为 98kN/ 由以上各式所得：2=5.38m/s仍以0-0为基准面，得（此时为相对压强）： H+0+022g=0+0+222g 又因为00 所以 得H=1.477m4-15，在矩形平底渠道中设平底闸门，如图所示。已知闸门与渠道同宽B=2m，闸门水深H=4m，当流量Q=8m3s时，闸孔下流收缩断面水深hc=0.5m，不计渠底摩擦阻力。求水流作用于闸门上的水平推力。QHhc1122F解析：应用动量方程求解，取如图所示的控制体，其中断面1-1及2-2均处在渐变流中，则其断面上的静水总压力可按平板静水压力计算。 则断面1-1上的总压力为12gHBH ，方向从左向右。 断面2-2上的总压力为12ghc Bhc ，方向从右向左。设作用在闸门上的水平推力为F，如图 -F+ 12gHBH- 12ghc Bhc = Q（v2-v1）流速和流量可根据连续性方程和伯努利方程求出 v1 H B = v2 H B H +pag + v122g = hc + pag + v222g 由，得 v2 =2g(H-hc )1-(hc H)2 v1 = Hhc v2将上式代入动量方程得 F = 12 g(H2 -hc2)B -v2 hcB（v2-v1） =98.35KN 方向向左。4-16 水流经变直径弯管从A管流入B管，管轴线均位于同一水平面内，弯管转角=450，如图所示。已知A管直径dA=250mm，断面A-A的形心点的相对压强pA=150KNm2，B管直径dB=200mm，流量Q=0.1m3s，若不计水头损失，试求水流对弯管的作用力。XYORxRyR450dBBBAAdA450P1P2 -解析：由连续性方程得： VA AA-A=VB AB-B =Q所以VA = QAA-A=2.04ms VB = QAB-B=3.18ms取过水断面A-A和B-B，以过管轴线的水平面为基准面，列伯努利方程 0 + pAg + 1VA22g = 0 + pBg + 2VB22g +0取动能修正系数1 = 2 =1.0，得 pB = pA + VA 2-VB22 =147KNm2取过水断面A-A和B-B之间的水体为控制体，取水平面为XOY平面，因流动在同一水平面内，故重力在XOY平面上的投影为零，过俩过水断面上的动水压力设为P1与P2。 P1 = pA AA-A=7359.4KN P2 =pB AB-B=4615.8KN设管壁对控制体的作用力为R，则在X轴方向为 Q(2VBcos - 1VA)= P1 - P2cos -RX取1=2=1.0，得 RX =P1- P2cos Q(VBcos-VA) =4.065KN 方向向右。则Y轴方向为 Q(2VBsin-0)=-P2sin+Ry取2=1.0，得 Ry =QVBsin + P2sin =3.49KN 方向向上4-17解：由液体的连续性方程知： 得： 由伯努利方程 且 ， 知取截面12之间的空间作为控制体，对其受力分析如图： y写出x方向的动量方程： 得到： 解得：R=384kN 所以水对镇墩的作用力大小为384kN，方向水平向右。 如果考虑水头损失，2-2断面的动水压强减小了，流速不变，则减小，由式可知R增大了。4-18.有一水平射流从喷嘴射出，冲击在相距很近的一块光滑平板上，平板与水平面的夹角为a，如图4-51所示。已知喷嘴出口流速v1,射速流量Q1，若不计能量损失和重力的作用，试求：（1）分流后的流量分配，即Q2/Q1和Q3/Q1各为多少？（2）射流对平板的冲击力。解：因为水头损失，。得：列动量方程求解流量分配及边界反力R。又所以又因为所以水流对平板的作用力R=,方向与y轴相反。419四通分叉管，其管轴线均位于同一水平面内，=30，水流从断面11断面33流入，流量分别为Q1=0.2ms和Q3=0.1ms，相应断面形心点相对压强分别为p1=0.3kn和p3=15knm。水流从断面22流入大气中，已知管径d1=0.3m，d3=0.2m，d3=0.15m不计摩擦阻力，试求水流对叉管的作用力。解： 取控制体断面11、22、33则： Q1+Q2=2Q2 Q2=0.15ms v1=Q1A1=0.20.3=2.831ms v2=Q2A2=0.150.15=8.49msv3=Q3A3=0.20.2=3.85ms由于水流从断面22流入大气中 故p2=0 则 P1=p1A1=1413N P2=0 P3=p3A3=471N 设水流对叉管的作用力为F 列x轴方向动量方程 （2Q2222cosQ211+Q333）=P1P3+F 取1=2=3=1.0 解之得F=1.017kN （方向向左）4-20根据习题4-1的已知条件，求过水断面上的动能修正系数及动量修正系数值。解：由题意可知d=UdA=Umax1-(r3)2dA所以=0r00.15*1-(r3)2*2*3.14*rdr =1.35*3.14/2cm3/sV=/A=7.5cm/s=Au3dA/v3A=2=Au2dA /v2A=4/34-21如图4-53所示，利用牛顿第二定律证明重力场中沿流线坐标s方向的欧拉运动方程为：-gz/s-1/p/s=dus/dt 解：取中点M（x，y，z）其动水压强为（Ux，Uy，Uz） 作用在1-1，2-2面上的压强分别为： 1-1：p-p/sds/2 2-2：p+p/sds/2 由牛顿第二定律：质量力：-gsin （p-p/sds/2）dA-（p+p/sds/2）dA-gsin=dus/dtdAds 即：1/p/s-gsin= dus/dt 又sin=z/s -1/p/s-gz/s= dus/dtSX4-22已知流场的流函数=ax-ay，a为不等于零的常数试求：（1） 是否存在速度势函数？若存在，则求之。（2） 证明流线与等势线正交解：（1）：ux=/y=-2ay uy=/x=2ax ux/y=-2a uy/x=2a 旋转角速度Wz=1/2（uy/x-ux/y）=2a0 液体为有旋流动，即不存在势函数。（2）：在恒定平面流中 d=uxdx+uydy=-2aydx+2axdy=0 得K1=y/x 在平面流场中，=c 即：d=uxdy-uydx=-2aydy-2axdx=0 得K2=-x/yK1K2=-1 即流线与等势线正交4-24已知某流场的速度势函数为=a2（x2-y2），其中a为实数且大于零。试求：（1） 流速场ux及uy。（2）流函数。解：（1） ux= ,uy=(2) ux/=a ,uy=-a 代入连续性方程得： ux/x +uy/y =0所以存在流函数 ux=/y =ax =axdy=axy+f1（x） /x =ay+f1，（x） 因为/x =-uy=ay 比较可得 f1，（x）=0 f1（x）=C 则流函数为 =axy+C4-25 某平面流动的流速场ux=3a（x2-y2）。uy=-6axy，其中a为不等于零的常数，试求通过A(0.0),B(1.1)两点连线的单宽流量qA