水木艾迪2010年考研数学辅导班- 线性代数讲义-第4章向量组的线.pdf

2008 春季班 线性代数 第 章 向量组的线性相关性 4 1 第 4 章 向量组的线性相关性 第 4 章 向量组的线性相关性 4 1 向量的线性组合与线性表示 由 4 1 向量的线性组合与线性表示 由n个实数组成的有序数组称 个实数组成的有序数组称 n aaa 21 为为n维向量 记作 维向量 记作 n a a a 2 1 其中 其中 i a称为向量称为向量 的第 个分量 这个向量是一 的第 个分量 这个向量是一 i 个列向量 行向量记作 个列向量 行向量记作 n T aaa 21 分量全为 的向量称为零向量 记作 分量全为 的向量称为零向量 记作 T0000 两个 两个n维向量维向量 T n aaa 21 T n bbb 21 若它们的对应分量全相等 即 若它们的对应分量全相等 即 ii ba 则称向量 则称向量ni 2 1 和和 相等 记作 相等 记作 设两个 设两个n维向量维向量 T n aaa 21 T n bbb 21 定义 定义 2008 春季班 线性代数 第 章 向量组的线性相关性 4 2 T nn bababa 2211 称为向量 称为向量 与与 的和 设 的和 设 T n aaa 21 称为向量 称为向量 T n aaa 21 的负向量 于是定义向量的减法 的负向量 于是定义向量的减法 设 设 T n aaa 21 k是实数 定义 是实数 定义 T n kakakak 21 称为数 称为数k与向量与向量 的数量乘法 简称数乘 对任意 的数量乘法 简称数乘 对任意n维向量维向量 及任意实数及任意实数lk 向量的加法及数量乘法满足以下 个性质 向量的加法及数量乘法满足以下 个性质 0 0 1 kllk kkk lklk 2008 春季班 线性代数 第 章 向量组的线性相关性 4 3 设 设 s 21 是维向量 是维向量 n s kkk 21 是数 则 是数 则 ss kkk 2211 称为向量 称为向量 s 21 的一个线性组合 若 的一个线性组合 若 ss kkk 2211 称 称 可由 可由 s 21 线性表示或线性表出 例1 设 线性表示或线性表出 例1 设 T3 2 1 1 T4 1 0 2 T6 3 2 3 T5 1 1 试用 试用 321 线性表示线性表示 例 设 例 设 T2 0 4 1 1 T3 1 7 2 2 T2 1 1 0 3 T a4 10 3 a取何值时 取何值时 可由 可由 321 线性表示 写出表示式 2 向量组的线性相关与线性无关 设 线性表示 写出表示式 2 向量组的线性相关与线性无关 设 s 21 是维向量 若存在不全为 是维向量 若存在不全为 n 零的数 使得 零的数 使得 s kkk 21 0 2211 ss kkk 成立 则称向量组 成立 则称向量组 s 21 线性相关 否则 线性相关 否则 2008 春季班 线性代数 第 章 向量组的线性相关性 4 4 称为线性无关 只有一个向量的向量组 称为线性无关 只有一个向量的向量组 如果 如果0 则 向量组是线性相关的 如果 则 向量组是线性相关的 如果0 则向量组是 线性无关的 一个不少于 个向量的向量组若线性相关 则必定有一个向量可以由这个向量组中的其余 向量线性表示 反之 若一个向量组中 有一个 向量可以由其余向量线性表示 那么这个向量组 是线性相关的 这个命题的等价命题就是 向量组线性无关 的充分必要条件是向量组中任意向量都不能由 其余向量线性表示 按定义 向量组 则向量组是 线性无关的 一个不少于 个向量的向量组若线性相关 则必定有一个向量可以由这个向量组中的其余 向量线性表示 反之 若一个向量组中 有一个 向量可以由其余向量线性表示 那么这个向量组 是线性相关的 这个命题的等价命题就是 向量组线性无关 的充分必要条件是向量组中任意向量都不能由 其余向量线性表示 按定义 向量组 s 21 线性无关当且 仅当向量方程 线性无关当且 仅当向量方程 0 2211 ss kkk 只有零解 将向量 只有零解 将向量 s 21 按列排成一个矩阵 记作 即 按列排成一个矩阵 记作 即 AA s 21 则向量组 则向量组 s 21 线性相关的充分必要条件是齐次 线性方程组 线性相关的充分必要条件是齐次 线性方程组 0 Ax 有非零解 有非零解 2008 春季班 线性代数 第 章 向量组的线性相关性 4 5 向量个数大于向量维数时向量组线性相关 任何 向量个数大于向量维数时向量组线性相关 任何1 n个维向量线性相关 个维向量线性相关 n n个个n维向量维向量 n 21 线性相关的充分 必要条件是由向量排成的行列式等于 即 线性相关的充分 必要条件是由向量排成的行列式等于 即 n 21 向量组的线性相关性的定理很多 其中最重 要的是这几个 若 向量组的线性相关性的定理很多 其中最重 要的是这几个 若 s 21 线性无关 而 线性无关 而 21s 线性相关 则线性相关 则 可由 可由 s 21 线性表出 且表示法惟一 若 线性表出 且表示法惟一 若 s 21 可由可由 t 21 线性 表出 且 线性 表出 且ts 则 则 s 21 线性相关 若 线性相关 若 s 21 线性无关且可由 线性无关且可由 t 21 线性表出 则线性表出 则ts 以下这些性质也是很有用的 包含零向量的向量组必线性相关 一个向量组中如果有部分向量线性相关 则整个向量组线性相关 一个线性无关的向量组其中任何部分向 量组都线性无关 一个线性相关的向量组 如果每一个向 量都删去同一序号的分量 得到一个维数较低的 以下这些性质也是很有用的 包含零向量的向量组必线性相关 一个向量组中如果有部分向量线性相关 则整个向量组线性相关 一个线性无关的向量组其中任何部分向 量组都线性无关 一个线性相关的向量组 如果每一个向 量都删去同一序号的分量 得到一个维数较低的 2008 春季班 线性代数 第 章 向量组的线性相关性 4 6 向量组 则新的向量组也线性相关 一个线性无关的向量组 如果每一个向 量在同一位置增加分量 得到维数更高的向量组 则新向量组也线性无关 例 向量组 向量组 则新的向量组也线性相关 一个线性无关的向量组 如果每一个向 量在同一位置增加分量 得到维数更高的向量组 则新向量组也线性无关 例 向量组 s 21 线性无关的充分条件是 线性无关的充分条件是 A s 21 都不是零向量 都不是零向量 B s 21 除去向量组本身的任意部分 向量组都线性无关 除去向量组本身的任意部分 向量组都线性无关 C向量组向量组 s 21 的秩等于 的秩等于 s D s 21 中任意两个向量都线性无关 例 设 中任意两个向量都线性无关 例 设 11 1 T t 11 2 T t Tt11 3 问 问t为何值时为何值时 321 线性相关 例5 设 线性相关 例5 设 21 是维向量 令是维向量 令n 211 2 212 213 25 则 则 321 A必线性无关 必线性无关 321 B必线性相关 必线性相关 C仅当仅当 21 线性无关时 线性无关时 321 线性 无关 线性 无关 D仅当仅当 21 线性相关时 线性相关时 321 线性 相关 线性 相关 2008 春季班 线性代数 第 章 向量组的线性相关性 4 7 例 已知例 已知 321 线性无关 试判断 线性无关 试判断 133221 54 23 是否线性无关 例 已知向量组 是否线性无关 例 已知向量组 321 线性相关 线性相关 432 线性无关 问 线性无关 问 1 能否由能否由 32 线性表示 证明你的结论 线性表示 证明你的结论 4 能否由能否由 321 线性表示 证明你的 结论 例 设线 线性表示 证明你的 结论 例 设线 性无关 又设性无关 又设0 线性相关 线性相关 也线性相关 证明也线性相关 证明 k 其中常数 其中常数 0 k 例 已知例 已知 4 R中 中 321 线性无关 线性无关 321 线性无关 若不能由 线性无关 若不能由 4 R 321 线性表出 则 线性表出 则 321 线性无关 证明 线性无关 证明 4 R 使得使得 321 与 与 321 均线性无关 例 设是矩阵 是 均线性无关 例 设是矩阵 是Amn Bnm 矩阵 满足 矩阵 满足EAB 试证明的列向量线性无关 试证明的列向量线性无关 B 例 设例 设BA 为满足为满足0 AB的任意两个非零 矩阵 则必有 A 的列向量组线性相关 的行向量组线 的任意两个非零 矩阵 则必有 A 的列向量组线性相关 的行向量组线 AB 性相关 性相关 2008 春季班 线性代数 第 章 向量组的线性相关性 4 8 B 的列向量组线性相关 的列向量组线 B 的列向量组线性相关 的列向量组线 AB 性相关 C 的行向量组线性相关 的行向量组线 性相关 C 的行向量组线性相关 的行向量组线 AB 性相关 D 的行向量组线性相关 的列向量组线 性相关 D 的行向量组线性相关 的列向量组线 AB 性相关 例 设是 性相关 例 设是n阶方阵 阶方阵 A 是维列向量 是维列向量 n 若若0 1 n A 而 而0 n A 试证明 试证明 1 n AA 线性无关 4 3 极大线性无关组 设有两个向量组 线性无关 4 3 极大线性无关组 设有两个向量组 s 21 t 21 如果向量组 中每个 向量都能由向量组 线性表出 则称向量组 能由向量组 线性表出 如果向量组 能由向量组 线性表 出 且向量组 也能由向量组 线性表 出 则称这两个向量组等价 记作 如果向量组 中每个 向量都能由向量组 线性表出 则称向量组 能由向量组 线性表出 如果向量组 能由向量组 线性表 出 且向量组 也能由向量组 线性表 出 则称这两个向量组等价 记作 向量组的等价是向量组之间的一种等价关系 具有以下性质 反身性 向量组的等价是向量组之间的一种等价关系 具有以下性质 反身性 对称性 若 对称性 若 2008 春季班 线性代数 第 章 向量组的线性相关性 4 9 则 则 传递性 若 传递性 若 则 则 设向量组 设向量组 r iii 21 是向量组 是向量组 s 21 的一个部分组 满足 的一个部分组 满足 r iii 21 线性无关 向量组 线性无关 向量组 s 21 的每一个向量都可以 由向量组 的每一个向量都可以 由向量组 r iii 21 线性表出 则称部分组 线性表出 则称部分组 r iii 21 是向量组是向量组 s 21 的一个 极大线性无关组 显然 向量组的一个极大线性无关组与向量 组本身是等价的 一般地 向量组的极大线性无关组不是惟一 的 按照定义 一个向量组的任意两个极大线性 无关组可以互相线性表出 因此 它们是等价的 根据定理 两个等价的线性无关的向量组各 自所含的向量的个数必定相等 这就是说一个向 量组的极大线性无关组中所含向量的个数是个不 变量 它由向量组本身所确定 满足以下条件的矩阵称为简化行阶梯形 Reduced Row Echelon Form RREF 所有零行都在矩阵的底部 的一个 极大线性无关组 显然 向量组的一个极大线性无关组与向量 组本身是等价的 一般地 向量组的极大线性无关组不是惟一 的 按照定义 一个向量组的任意两个极大线性 无关组可以互相线性表出 因此 它们是等价的 根据定理 两个等价的线性无关的向量组各 自所含的向量的个数必定相等 这就是说一个向 量组的极大线性无关组中所含向量的个数是个不 变量 它由向量组本身所确定 满足以下条件的矩阵称为简化行阶梯形 Reduced Row Echelon Form RREF 所有零行都在矩阵的底部 2008 春季班 线性代数 第 章 向量组的线性相关性 4 10 非零行的主元在前一行主元的右方 主元为 1 主元所在列除主元外的其它元素全为零 例如 非零行的主元在前一行主元的右方 主元为 1 主元所在列除主元外的其它元素全为零 例如 00000 00000 22100 11021 任何矩阵都可以通过矩阵的行初等变换化 作简化的行阶梯形 利用简化行阶梯形可以解决的问题有 求极大线性无关组 求向量间的线性关系 求齐次线性方程组基础解系 求非齐次线性方程组特解 求极大线性无关组的步骤 将向量依次按列写成矩阵 对矩阵施行行初等变换 化作简化行阶 梯形 主元所在列向量构成一个极大线性无关 组 非主元所在列向量和主元所在列向量的 关系由非主元列各分量表示 任何矩阵都可以通过矩阵的行初等变换化 作简化的行阶梯形 利用简化行阶梯形可以解决的问题有 求极大线性无关组 求向量间的线性关系 求齐次线性方程组基础解系 求非齐次线性方程组特解 求极大线性无关组的步骤 将向量依次按列写成矩阵 对矩阵施行行初等变换 化作简化行阶 梯形 主元所在列向量构成一个极大线性无关 组 非主元所在列向量和主元所在列向量的 关系由非主元列各分量表示 2008 春季班 线性代数 第 章 向量组的线性相关性 4 11 例如简化行阶梯形为 例如简化行阶梯形为 00000 21000 10210 20101 其中主元所在列是第 列 第 列 第 列 因 此一个极大线性无关组是 其中主元所在列是第 列 第 列 第 列 因 此一个极大线性无关组是 421 第 列无 主元 第 列无 主元 3 0 0 2 1 0 0 1 0 2 0 0 0 1 1 21 2 同理 同理 5 0 2 1 2 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 2 321 22 例 1 求向量组 例 1 求向量组 T0 0 1 1 1 T1 1 1 0 2 2008 春季班 线性代数 第 章 向量组的线性相关性 4 12 T1 1 2 1 3 T1 2 3 1 4 1 4 6 2 5 的一个极大线性无关组 并将其余向量用这个极大线性无关组线性表出 例 1 的一个极大线性无关组 并将其余向量用这个极大线性无关组线性表出 例 1 s 21 可被可被 t 21 线性 表出 且秩相等 证明 线性 表出 且秩相等 证明 t 21 也可被 也可被 s 21 线性表出 4 4 向量组的秩 向量组的极大线性无关组中所含向量的个 数称为这个向量组的秩 只含零向量的向量组的秩规定为 向量组的秩有两个重要性质 设向量组 I 的秩为 向量组 II 线性表出 4 4 向量组的秩 向量组的极大线性无关组中所含向量的个 数称为这个向量组的秩 只含零向量的向量组的秩规定为 向量组的秩有两个重要性质 设向量组 I 的秩为 向量组 II 1 r 的秩为 若向量组 I 可以由向量组 II 的秩为 若向量组 I 可以由向量组 II 2 r 线性表示 则 线性表示 则 21 rr 等价的向量组有相同的秩 设 等价的向量组有相同的秩 设A是矩阵 将矩阵的每个行 列 看作 行 列 向量 矩阵的个行 列 向量构成一个向 量组 该向量组的秩称为矩阵的行 列 秩 是矩阵 将矩阵的每个行 列 看作 行 列 向量 矩阵的个行 列