高中数学2.2.2直线方程的几种形式学案新人教B版必修.docx

2.2.2直线方程的几种形式1根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式及一般式)，尤其要掌握点斜式、斜截式和一般式2理解直线与二元一次方程的对应关系1直线方程的几种形式名称已知条件方程说明点斜式点P(x1，y1)和斜率k_不包括y轴和平行于y轴的直线斜截式斜率k和在y轴上的截距b_不包括y轴和平行于y轴的直线两点式点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)_不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线截距式在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b_(a0，b0)不包括过原点的直线和平行于坐标轴的直线一般式_A，B不同时为0【做一做11】直线kxy13k，当k变化时，所有直线都通过定点()A(0,0) B(0,1) C(3,1) D(2,1)【做一做12】集合Ax|x为直线的斜截式方程，Bx|x为一次函数的解析式，则集合A，B间的关系为()AAB BBA CBA DAB【做一做13】若ac0，bc0，那么直线axbyc0必不过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【做一做14】过点P(2,1)，斜率为的直线方程为_2几种特殊直线的方程直线方程都是关于x，y的一次方程，关于x，y的一次方程都表示直线，选用点斜式、斜截式、两点式求直线方程时，要考虑特殊情况下的特殊方程(坐标轴所在直线或垂直于坐标轴的直线或经过原点的直线)平行于x轴的直线方程为_平行于y轴的直线方程为_(平行于y轴的直线的斜率_)过原点的直线方程为_x轴的方程是_y轴的方程是_(y轴的斜率_)在学习直线的斜截式方程时要注意“截距”与“距离”的区别，实际上直线在y轴上的截距是指与y轴交点的纵坐标，而不是交点到原点的距离【做一做21】若方程(2m2m3)x(m2m)y4m10表示一条直线，则实数m满足()Am0 BmCm1 Dm1，m，m0【做一做22】已知直线过点(1,1)，则(1)垂直于x轴的直线方程为_；(2)垂直于y轴的直线方程为_；(3)截距相等的直线方程为_1直线的一般式方程与四种特殊形式之间的转化剖析：直线方程各种形式之间的转化关系如下2直线方程的几种形式的选择技巧剖析：(1)直线方程的几种特殊形式都有其使用的局限性，如对于点斜式和斜截式，要求直线的斜率存在，因此，如果选用点斜式或斜截式，应考虑斜率不存在的情况对于两点式，它不能表示平行或重合于坐标轴的直线截距式除了不能表示平行或重合于坐标轴的直线外，还不能表示过原点的直线那么，如何根据题设条件灵活选取直线方程的形式来求直线方程呢？一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式另外，从所求的问题来看，若求直线与坐标轴围成的三角形的面积或周长，则应选用截距式(2)待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法，但要注意选择形式一般地，已知一点就待定斜率k，但应注意讨论当斜率k不存在时的情形；如果是已知斜率k，一般选择斜截式，待定纵截距b；如果是已知直线与坐标轴围成的三角形的问题就选择截距式，待定横截距和纵截距一般来说，几个系数待定就应列出几个方程有的直线方程可以同时选用几种形式，但选择的形式不同，导致的运算繁简程度就不同3教材中的“？”函数ykxb与方程ykxb，这两种说法的含义相同吗？剖析：不相同，当k0时，函数ykxb是一次函数，方程ykxb表示斜率不为0的直线；当k0(b0)时，函数ykxb是常数函数，方程ykxb表示一条平行于x轴的直线4教材中的“思考与讨论”已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1x2，y1y2，求直线AB的方程剖析：过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的直线的斜率k，由点斜式方程得yy2(xx2)，变形得(x1x2，y2y1)把两点式的方程化为整式(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)，就可以用它来求过平面上任意两点的直线方程题型一 直线方程的点斜式【例1】求下列直线的方程：(1)过点P(4,3)，斜率k2；(2)过点P(2,5)，且与x轴平行；(3)过点P(3,1)，且与y轴平行分析：利用直线方程的点斜式及特殊位置的直线表示形式解答反思：由点斜式方程可知确定直线方程需要一个点和斜率两个条件，对于斜率为0和斜率不存在时要区别对待题型二 直线方程的斜截式【例2】方程yax表示的直线可能是()反思：根据直线的方程判断直线的形状，通常把直线转化成斜截式的形式，利用斜率和截距的几何意义作出判断若直线l的方程是ykxb，则有k0，b0l仅过第一、二、三象限；k0，b0l仅过第一、三象限；k0，b0l仅过第一、三、四象限；k0，b0l仅过第一、二、四象限；k0，b0l仅过第二、四象限；k0，b0l仅过第二、三、四象限；k0，b0l仅过第一、二象限；k0，b0l不过任何象限；k0，b0l仅过第三、四象限题型三 直线方程的两点式【例3】三角形的顶点是A(5,0)，B(3,3)，C(0,2)，求这个三角形的三条边所在直线的方程分析：由于每一条边上的两个点(顶点)已知，故可直接用两点式求解；或由两点可求出每条边所在直线的斜率，故可选择一个点(两顶点中的一个)，利用点斜式求该边所在直线的方程反思：(1)由已知直线上的两点来确定直线方程时可用两点式；(2)一定要注意两点式的对称性：(x1x2，y1y2)题型四 直线方程的一般式【例4】设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围分析：(1)从截距的定义入手，因方程中含有变量a，故需要对截距进行分类讨论问题(2)中涉及图象过象限问题，可将方程转化为斜截式，从斜率和截距两方面进行综合考虑反思：对于与截距有关的问题，一定要注意截距为0的特殊情况，再者对直线方程的一般式往往根据需要将其转化为点斜式、斜截式等题型五 易错辨析【例5】求经过点P(2,3)，并且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程错解：设直线方程为1，将x2，y3代入，得1，解得a5.故所求的直线方程为xy50.错因分析：忘记截距为0的情况，而导致丢解【例6】求过点M(m,0)和点N(2,1)的直线的方程错解：由两点式直线方程得，整理得x(m2)ym0.错因分析：没有分类讨论，而忽视了两点式方程的适用条件为x1x2且y1y2，因题中已知含参数，故应讨论1过点A(2,1)且与x轴垂直的直线的方程是()Ax2 By1 Cx1 Dy22在x轴上的截距为2且倾斜角为135的直线方程为()Ayx2 Byx2Cyx2 Dyx23过点P(3,2)和点Q(4,7)的直线方程为_4已知三角形的三个顶点A(5,0)，B(3,3)，C(0,2)，求BC边上中线所在的直线方程答案：基础知识梳理1yy1k(xx1)ykxb(x1x2，y1y2)1AxByC0【做一做11】C【做一做12】B【做一做13】B由条件ac0，bc0知ab0，而原方程可化为yx，由于0，0，所以直线过第一、三、四象限，不过第二象限【做一做14】xy210依题意得y1(x2)，整理得xy210.2yaxb不存在ykx(k0)y0x0不存在【做一做21】C【做一做22】(1)x1(2)y1(3)yx或yx2典型例题领悟【例1】解：(1)直线过点P(4,3)，斜率k2，由点斜式得y32(x4)，整理得所求方程为2xy50.(2)直线过点P(2，5)，且与x轴平行时，斜率k0，故所求直线方程为y50(x2)，即y5.(3)直线与y轴平行，说明斜率不存在，又过点P(3，1)，直线的方程为x3.【例2】B直线yax的斜率是a，在y轴上的截距是.当a0时，斜率为正，在y轴上的截距为正，则直线yax过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a0时，斜率为负，在y轴上的截距为负，则直线yax过第二、三、四象限，仅有选项B符合【例3】解：直线AB过A(5,0)，B(3，3)两点，由两点式得，整理得3x8y150，这就是AB所在直线的方程直线AC过A(5,0)，C(0,2)两点，由两点式得，整理得2x5y100，这就是AC所在直线的方程直线BC过B(3，3)，C(0,2)两点，斜率是k.由点斜式得y2(x0)，整理得5x3y60，这就是BC所在直线的方程【例4】解：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等a2，方程即为3xy0.当a2时，截距存在且均不为0，a2，即a11，a0，方程即为xy20.(2)将l的方程化为y(a1)xa2，或a1.综上，a的取值范围是a1.【例5】正解1：(1)当截距为0时，直线l过点(0,0)，(2,3)，直线l的斜率为k，直线l的方程为yx，即3x2y0.(2)当截距不为0时，可设直线l的方程为1.直线l过点P(2,3)，1，a5.直线l的方程为xy50.综上知，直线l的方程为3x2y0或xy50.正解2：由题意知，直线l的斜率存在，且不为0.设直线方程为y3k(x2)，且k0.令x0，则y32k；令y0，则x2.由题意，知32k2，解得k或k1.故满足条件的直线方程是y3(x2)或y3(x2)，即3x2y0或xy50.【例6】正解：(1)当m2时，过点M(m,0)和点N(2,1)的直线斜率不存在，其方程为x2.(2)当m2时，直线的斜率为k.又直线过点N(2,1)，直线方程的点斜式为y1(x2)，即x(m2)ym0.当m2时，上述方程也就是x20，即x