新课程下立体几何实验教学初探——对一道数学高考题的再思索.pdf

3 4 数 学通报 2 0 1 0年 第 4 9 卷 第 1 2期 新课程下立体几何实验教学初探 对 一道 数学高考题 的再 思索 杜 锡 金 浙江省上虞市东关 中学3 1 2 3 5 2 新一轮 的新课 程改革 给浙江的高中教学带 来 了不小的冲击 高中数学的全面改版 不仅仅是 教材 的形式 变化 更 重要 的是 内容 和理念 的变 化 笔者注意到人教 A版 数学必修 2 中提出了立体 几何数 学 实验 的 模 式及 对 实 验 教 学 的探 讨 颇 有 感触 应该说 实验几何更加接近学生 的生活 越 来越多的教育家认识到 对于思维模式正从形象 思维向逻辑思维过渡的青少年来讲 他们 学习几 何知识仍然离不开直观想象 论证几何在培养人 的逻辑思维能力方面起着重要 的作用 而实验几 何则是发现几何事实 的有力工具 在培养人的直 觉思维和创造性思维方面起着 巨大 的作用 本文 重 温 了 2 0 0 2年全 国高 考 文科 试 卷 第 2 2题 更 深 切的体会到改革家们提出几何实验这一论题 的战 略眼光 笔者在一堂高三的立体几何复 习课上 又把 这道题 目拿 了出来 和 同学 们 一 起 进 行 了一 次 相 当愉快 的探 索 这道高考题为 2 0 0 2年全国高考文科试卷第 2 2题 题 目和简答 过程 如下 I 给 出两 块 相 同 的正 三 角 形 纸 片 如 图 1 1 2 要求 用其 中一块 剪 拼成一 个正 三棱 锥模 型 另一 块剪 拼成 一个 正三棱 柱模 型 使 它们 的 全 面 积都 与原 三角 形 的面 积 相 等 请 你 设 计 一 种 剪 拼方法 分别用虚线标示在图 1 1 图 1 2 中 并 作 简要说 明 试 比较你剪拼成的正三棱锥与正三棱柱 的体积的大小 如果给出的是一块任意三角形纸片 如 图 1 3 要求剪 拼成 一 个直 三 棱柱 模 型 使它 的 全 面积 与给 出 的三 角 形 的 面积 相 等 请你 设 计 一 种 剪拼 方法 用 虚 线 标 示 在 图 1 3 中 并 作 简 要 说 明 1 为三角形边长的 有一组对角为直角 余下 部分按虚线折起 可组成一个缺上底的正三棱柱 而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱 柱 的上底 2 3 图 1 解 I 如图 1 1 沿正 三 角形 中点连 线 折 起 可拼得 一个 正三 棱锥 如 图 1 2 在 正 三角 形 角上剪出三个相同的四边形 其较长的一组邻边 由此可见在解完一道题后 若 能对 问题多做 一 些仔细的思考 对证明方法进行仔细的分析整 理 发 现其 内在 实质 就可 以加 深对 已有知 识 的理 解 达到举 一 反三 的 目的 参 考 文 献 1 林新建 对一道数学征解题 的研究性学习 数学通报 2 0 0 9 8 2 胡雷 数学问题 1 8 0 8 数 学通报 2 0 0 9 8 2 0 1 0年 第 4 9卷 第 1 2期 数 学通报 3 5 依上面的剪拼方法得到的几何体有 V柱 V锥 推 理如下 设 给 出正 三 角形纸 片 的边 长 为 2 那 么 正 三 棱 锥与 正 三棱 柱 的 底 面 都 是 边 长 为 1的 正 三 角 形 其面积为 现在计算它们的高 一 导 一 一 丢 ta n 3 一 一百 V a V 锥 一 柱 一 1 锥 一 百k 譬 一 0 所 以 V柱 V 锥 如 图 1 3 分别 连 接三 角 形 的 内心 与各 顶点 得 到三条 线段 再 以这 三条线 段 的 中点 为 顶 点作 三角 形 以新作 的三 角形 为直 三棱 柱 的底 面 过新 三角 形 的三 个 顶 点 向原 三 角 形 三 边作 垂 线 沿六条 垂 线剪 下 三 个 四边 形 可 以拼 成 直 三 棱 柱 的上底 余下部分按虚线折起 成为一个缺上底 的 直三棱柱 两者组合即可得到一个直三棱柱模型 自问题 提 出 到 问题 解决 笔 者 发 现 学 生 都 反 应平平 可能都觉得这也就一道高考题而已 他们 已经做 的多 了 只是 这 一 道还 有点 意 思 当 然 笔 者不能 放过 这一 蛛丝 马迹 提 出 了以下事 实 用 多 媒体展 示 图 2 图 3 图 4 下 面对 I 两 小 题 作 一 些 发 散 性 思 考 先 注意 以下 事实 1 将正三角形 的各边 等份 过各等分点作 平行 于边 的线段 则 将原 正三 角形 剖 分 为 n 个 小 正三 角形 如 图 2即为 一3的情 形 2 任 何 一个 边 长 为 口的 正三 角 形 均可 按 图 3 剪 拼成 一边 长 为 一 边长 为 的矩形 3 任 何一 个一 边 长 为 n 另 一 边 长 为 b的矩 形均 可按 图 4剪 拼 成一 个 底 边 长 为 2 n 高 为 b的 等腰三角形 这时 已经开始有学生拿 出纸片来动手折叠 了 进 一步 引导 知 道 了这些 事 实 再 来 考 察 前 面 所 述 的 高 考 题 工 不难 得 出如 下结 论 结论 1 正三角形纸片可剪拼成体积取不超 过某个数的任意一个数值的正三棱锥 剪拼方 法第 1步 按 1 将正 三角 形剪 拼 成 个 小正 三 角形 为方 便 起 见 设 原 正 三 角 形 的 边长为 1 则小正三角形的边长为 下同 第 2步 用一个小正三角形作三棱锥 的底面 对其余 一1 个小 正三角形均按 2 剪拼成一 边 长 为 另 一边 长为 的矩形 第 3步 将这 一1 个 矩 形拼成 一边 长 为 另 一边 长为 一1 的长条 矩形 第 4步 将上 面 的长 条矩 形 剪 成 三个 一 边 长 为 另一 边 长为 z 一1 的矩形 第 5步 将 这 三个矩 形均 按 3 剪 拼成 边 长为 高为 n 一1 的等腰三角形 第 6步 以第 1步得到的一个小正三角形 为 底 第 5步得到的三个等腰梯形为侧面 即构成一 个符合 I 的要求 的正三棱锥 其体积为 V锥一 c 一 去 一 l im V 锥 一 去 一 一 0 知 随着 的变化 可取 到 不 大 于 厂 的最 3 6 数 学通报 2 0 1 0年 第 4 9卷 第 1 2期 大值的无穷多个值 且这些值可无限趋向于 0 如 当 n 2时 V锥 2 0 0 1 4 7 3 1 3 当 一3时 V锥 3 0 0 1 2 2 4 8 8 当 一4 时 V锥 4 0 0 1 0 6 0 7 8 结论 2 正三 角形 纸 片可 剪 拼 成体 积 不 超 过 某个 数 的任意 一个数 值 的正三 棱柱 剪拼 方法在 前 面第 步 的基 础 上 用 两 个 小正三角形作三棱柱的底面 对其余 一2个小 正三 角形 用完 全类 同于 前 面 的方 法 可 剪 拼 出三 1 个 一 边 长 为 音 另 一 边 长 为 一 2 j N N 最 后用 这 两个小 正 三 角 形 三 个 矩 形 即 可构 成 一 个 符合 的要 求 的正 三棱 柱 其 体 积为 V 一 g 一 l i m V柱一 一 知 随着 的变化 柱可 取到 不 大 于 g 的最 大 值 的无 穷 多个值 且这些值可无限趋 向于 0 如 当 一2时 V 柱 2 0 0 1 5 6 2 5 当 住 一3时 柱 3 0 0 1 6 2 0 3 7 当 4时 V 柱 4 0 0 1 3 6 7 1 8 结论 3 由结论 1和结论 2可知 随着 n的 变化 得到的正三棱锥 的体积既可以小 于正三棱 柱的体积 也可以大于正三棱柱 的体 积 如 V锥 Va 4 V锥3 V柱2 当我们 利用 多媒 体 的快速 计算 功能 把这 些结 论 一一 证 明过 后 课 堂 的气 氛 已经 有 点 热 气 逼人 了 有些学生都还不满足 问是否还可推出其他结 论 或者 更严 格 的结 论 我 也 顺 势 利 导 鼓 励 他 们 课后继续探索 或者 把这种方法应用到其他 的知 识点上 并且给出了相关问题的链接 如 果用 一定 的方 法把 两个平 面 图形 中 的一 个 剖分成有限个部分后 又可用其它方法配置这些 部分 以组成这两个 图形 中的另一个 那么这两个 图形 叫做 组成 相等 如 图 5 如 果 两 个 和 两 个 分 别 是 两 对 全 等 的 三 角 形 则 容 易 知 道 三 角 形 AB C 和 矩 形 A BF E是组成相等的 匈牙利数 学家 W F 波尔 约 B o l y a i Wo l f g a n g F a r k a s 1 8 3 2年 与 德 国数 学 爱 好 者 盖尔 文 G e r wi e n 1 9 3 3年 几乎 同 时发现并 证 明 了 C 图 5 定 理 两个 面 积相等 的多边 形组 成相 等 证 明从 略 本 节 的高考题 的关键 是一 个正 三角形 怎样 剪 拼成 一个 正 三 棱 锥 或 一 个 正 三 棱 柱 的 表 面 展 开 图 由定 理可 知 一 个正 三 角 形 一 个 等 面积 的正 三棱 锥 或正 三棱 柱 表 面展 开 图能 够组 成 相 等 这 样 也就 保证 了问题 一定 是有解 随着计算 机 技 术 的发 展 以及 各 学 校 对 多媒 体教学 的重 视 给 中 学立 体 几 何 的教 学 又 提 供 了 一 个更 新 更广 阔 的平 台 几 何 实 验课 就 是 根 据 教 学 内容 的需 要 有 目的地创设 一定 的教 学情 境 在 典型的实验环境 中 让学生进行一定的几何图形 的数 学化 操作 从 而认 识数 学 中的几何 事实 揭 示 数学对象规律 的一种数学活动 或者说即学生通 过 对几何 图形 的旋 转 翻折 平 移 拼 接 等各 种 活 动或通 过观察 操 作 制 作 C AI 课 件 来 发 现 与探 索一些 几何 事实或 几何 关系 的课程 形式 本 文 的解题思 索 完全合 乎几何 实 验 的理念 新课 程也倡 导 问题 探 究 在 这 样 不 断 的感 悟 探 索 中 我相信不仅能提升 自身的教学能力 如果付诸 课 堂也 能有效 提升 学生 的 自主学 习能 力 这一堂课不仅给学生耳 目一新 给 自己的冲 击 也相 当 巨大 以前 的教 学都 是从 概念 出发 进行 推理 论证或者根据公式进行求解 千篇一律 学 生都是 接受 式 的学习 加记忆 式解 题 然 而 当我 们 把 问题