2017_18学年高中数学第二章2.1柯西不等式练习北师大版选修.docx

1柯西不等式课后篇巩固探究A组1.若a2+b2=2,则a+b的最大值为()A.1B.C.2D.4解析:由柯西不等式可得(a2+b2)(12+12)(a+b)2,即(a+b)24,当且仅当a=b=1时等号成立,所以-2a+b2,即a+b的最大值为2.答案:C2.若x2+y2+z2=1,则x+y+z的最大值等于()A.2B.4C.D.8解析:由柯西不等式可得12+12+()2(x2+y2+z2)(x+y+z)2,即(x+y+z)24,当且仅当x=,y=,z=时等号成立,因此x+y+z2,即x+y+z的最大值等于2.答案:A3.设a,b,c均为正数,且a+b+c=9,则的最小值为()A.81B.49C.9D.7解析:由柯西不等式可得(a+b+c)81=9,当且仅当,即a=2,b=3,c=4时等号成立,故所求最小值为9.答案:C4.函数y=+2的最大值是()A.B.C.3D.5解析:根据柯西不等式,知y=1+2,当且仅当=2,即x=时,等号成立.答案:B5.设a,bR,且a2+b2=5,则3a+b的最小值为()A.5B.-5C.-50D.-5解析:令=(a,b),=(3,1),则=3a+b,|=,|=.由柯西不等式的向量形式可得|,所以|3a+b|=5,当且仅当a=,b=时等号成立,因此-53a+b5,即3a+b的最小值为-5.答案:D6.设a,b,c是正实数,且a+b+c=9,则的最小值为.解析:因为(a+b+c)=()2+()2+()2=18,当且仅当a=b=c=3时等号成立,所以2,故的最小值为2.答案:27.设a,b,c,d,m,n都是正实数,P=,Q=,则P与Q的大小关系是.解析:P=Q当且仅当时,等号成立.答案:PQ8.已知a,b,m,n均为正实数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为.解析:由柯西不等式,得(am+bn)(bm+an)()2=mn(a+b)2=2,当且仅当m=n=时,等号成立.故(am+bn)(bm+an)的最小值为2.答案:29.已知a,b,c为正实数,且满足acos2+bsin2c,求证:cos2+sin20,2-b0,所以=2,当且仅当a=b=1时等号成立.故原不等式成立.B组1.若实数x+y+z=1,则2x2+y2+3z2的最小值为()A.1B.6C.11D.解析:(2x2+y2+3z2)=(x+y+z)2=1,2x2+y2+3z2,当且仅当x=,y=,z=时,等号成立.2x2+y2+3z2的最小值为.答案:D2.若长方形ABCD是半径为R的圆的内接长方形,则长方形ABCD周长的最大值为()A.2RB.2RC.4RD.4R解析:如图,设内接长方形ABCD的长为x,则宽为,于是ABCD的周长l=2(x+)=2(1x+1).由柯西不等式得l2x2+()2(12+12=22R=4R,当且仅当x1=1,即x=R时等号成立.此时R,即四边形ABCD为正方形,故周长为最大的内接长方形是正方形,其周长为4R.答案:D3.已知a,b,c为正实数,且a+2b+3c=9,则的最大值等于()A.B.C.13D.18解析:,当且仅当a=,b=,c=时等号成立,故最大值为.答案:A4.设a,b,c为正数,则(a+b+c)的最小值是.解析:(a+b+c)=()2+()2+()2=(2+3+6)2=121.当且仅当时等号成立.答案:1215.已知a,bR+,且a+b=1,则的最小值是.解析:因为a,bR+,且a+b=1,所以=(a+b),由柯西不等式得(a+b),当且仅当且a+b=1,即a=-1,b=2-时,取最小值.答案:6.已知x2+y2=2,且|x|y|,求的最小值.解令u=x+y,v=x-y,则x=,y=.x2+y2=2,(u+v)2+(u-v)2=8,u2+v2=4.由柯西不等式,得(u2+v2)4,当且仅当u2=v2=2,即x=,y=0或x=0,y=时,的最小值是1.7.导学号35664034已知x,y,zR,且x-2y-3z=4,求x2+y2+z2的最小值.解由柯西不等式得x+(-2)y+(-3)z212+(-2)2+(-3)2(x2+y2+z2),即(x-2y-3z)214(x2+y2+z2),所以1614(x2+y2+z2).因此x2+y2+z2,当且仅当x=,即当x=,y=-,z=-时,x2+y2+z2的最小值为.8.导学号35664035求函数y=的最小值.解y=.根据柯西不等式,有y2=(x-1)2+2+(