投资组合与模糊规划模型

第卷第期 年月 数学的 实践与 认识 入 招 投资组合与模糊规划模型 王正方 赵文明倪德娟 指导教师数学建模教练组 杭州电子工业学院 杭州们 编者按本文能针对间题的要求通过分析 建立正确的数学模型 并用偏好系数加权法把双目标优化间 题 化为单目标优化间题 计算得到正确的结果作者还用模糊线胜规划的方法来求解 进行比较此 外本文还分析讨论了头资额相对小的情形 摘 要本文讨论了投资的风险与收益的问题首先我们给出了一个比较完整的模型 然后 考虑投资 数额相当大时的一个近似处理模型 杯卜另叮 用偏好系数加权法和模糊线性规划法进行了求解 接下来 我们又考虑了如何处理投资额相对较小的情况下的最优投资组合情况 引入了绝对收益率进行了较为有 效的解决 一 问颐的提出略 二 基本假设略 三 符号说明 对投资者拥有的全部资金 供投资者选择的资产 资产 的平均收益率 尸 购买资产 要付交易费费率 购买资产的风险损失率 同期银行利率 二 投资于资金的比例其余符号在文中陆续引出 四 问题的分析和模型的建立 设银行存款也是等价于市场上供投资者选择的资产之一存银行记为 叼 而它相应的风险损失率 和交易费尸 均为 经以上变换 存银行生息与投资市场上的资产可以统一处理 设投资于第种资产所付交易费为八 的 戈二 尸 其中 上式中 如不投资于 则 二 可得 人 几 以认 少 戈 如投资 则在 八八 与 两者中取大的一个 然 后再乘以相应的交易费率即为所付的交易费 这完全符合了实际要求 投资总额刀可分为两部分一部分用来付交易费共为 冗八 另一部分则可用来购买各种资产 共为皿八 川 显然有 又 魂 兄刀 二二 盯而投资 相应的净收益 月 之二日 门日 兄 八 了 又八 艺 更多数学建模资料请关注微店店铺 数学建模学习交流 王正方等投资组合与模糊规划模型 又 了 几 了 总体风险大小为 二 瞥 忿 你 八 该式体现出了投资越分散 风险酗 且用所投资的 中最大的一个风险来度量总体风险 经以上分析 可建立如下双目标规划模型 艺 了 几 乙 一八 一一 于 矛 又 几 艺 艺 飞 几 厂 冷 二 之 了 了 忘 一魂 中 仁小其 五 模型的求解 由于题目给出的是一笔相当大数额的资金刀 而在刀相当大时 如对 叼 有投资 可近似认为 肘 洲 均大于相应的 于是模型的约束条件简化为 冗 了 之 之 乞 于是原模型的求解等价为 八了 艺 一 飞 日 又 了夕 之 巳 该式中 第二个口标为非线性的 这为求解带来了很大的麻烦 我们设法把此非线性目标转化为线性 于是又得到以下模型 艺 一 一 了布 才月月 一一 月 乙 飞 上 艺切乞 入 了 耳 少 耳 忘 运用偏好系数加权法 将模型中的两个 目标分另 赋权重合并设 一尸和 分别表示投资者赋 于净收益和总体投资风险的权重数以上双 目标规划就变为如下的单目标规划 屯 一 卜川 一 艺 之 必 一 入 冗 乙 之 尸 三入 数学的实践与认识卷 其中 尸任 月 权重数 一 与 分别表示投资者对净收益大小和总体投资风险两者的重视程度 的取省 范围为 尸数值越大 表示投资者越重视总体风险的大小 也即希望风险尽可能地小当 拜 时 表示投资者极端厌恶风险 此时如有无风险的所供资产存在 则这种投资者会毫不犹豫地选取无 风险资产进行投资 如为 则这种为无视投资风险 一味迫求期望净收益 模型的解 运用参数规划技术得到有效证券组合 为投资决策提供定量的依据具体计算结果如下 当 时有效证券组合为的 二 二 一 二 二 二 净收 益洲侧对 总体风险值为 当 赵 时 有效证券组合为 侧 二 切 川 马 功二 川 净收益为刀 总体风险值为 当 刀月 时 有效证券组合为 二 神 住犯韶 邵 二 二 净收益为盯总体风险为认 当 魂 以 时 有效证券组合为 助 二了 份 泪 沐 川 二 净收益为 八了总体风险为 当 刀 时 有效证券组合为 伴二 甘丫二 净收益为 马 总体风险为让 当 刊 日寸 净收益为八肠 十 肠 一 其中总体投资风险 任 马 齐 川 当尸二时 净收益为招 厂刀 其中总体风险召 任毕 几明 当 尸 时 净收益为万 盯其中总体风险 任丁 洲扎 当 一 时 净收益为 斤 飞了 尹几了其中投资风险 任 了考 同样问题求得证券组合情况如表所示 表偏好系数变化时相应的投资组合 之之 区司司 才才 之之夕 月汾 汾 之扭扭月诱 诱 之 工了之 述少 卜 一一 以 日 又 一一 一 一 是 了公是 日百卜事 丁丁 几 冬感 与吸弓弓刀 弓弓 哎冬 污工 二污 玉 一一 仪丁玉 一一 芝污污 一 凉 生 宝 记食食 硬 宝 乡 于 一一 弓呀压压 浅冬乌 冬 一 川川 吸 飞飞 件 一一 厂几几吏屹宝几犷 仍马马 一一门日 小 卜卜 一 一一 川 风从 一 几冬 又 亏 少少理夕夕 污硬少才尹 才少少 了 二冬 李川 川 期王正方等投资组合与模糊规划模型 望望夕胜 之之 健述 乞 述 笼笼 之 述夕 甘 收益益风险值值 几 几 宝 龙 乏乡军 一 硬 几 几 诵 弓 呀 吸 几 了了 几 乌 注 二了冬 口口 在 芝乏冬 毛 吕吕贬 亏几百芝 卜 几 二 弓 飞几 吸宝 礴 几 肘肘 人了了 劝 入 厂厂飞 表收益与风险的关系 偏偏好系数收益与风险关系系风险 盯最小应大于的值元 甘甘 砧自 吕绪仁 上沱 吸 玉冬刀二川川二灯生 巾川 少少 弓 几 亏 弓 飞 吕 了 盯 以二 门吕 东妈 毛 刀污 飞 二弓 听 几 刘勺勺 力 刀二 络们 砚 哟哟 工月 了了花 硬宝 硬 八 了 褚 川 洛 尺 刀 蛋 弓 之 汽花 硬 以上运用偏好系数加权法得出一系列最优投资组合 下面我们运用模糊线性规划来求解上述偏 好系数加权法依赖于权重的建立 而模糊目标规划则应用模糊隶属函数的概念 首先引入一些符号与 公式 吮为第 左理想 目标达成的最高期望 为第理想日标达成的最低可接受值 为第理想目标的降低允许范围 变动余地 与每一个目标有关的是它的模糊隶属函数 它表示为 儿 一 三 万 之 厂 全厂 也就是上式能反映一个现实目标的达成度 糊隶属函数 建 若完全达成 取或完全未达成 取值 我们令模 一 卜 偏 巫 对模糊模型的任何解来说 我们希望最大化 川的最小值 也就是说希望最小化任一现实目标的最 凤 数学的实践与认识四卷认 卷 坏未达成度 这可以用虚拟变量 来描述 一川 丫 了 矛 厂 一 全 戈又 于是对本模型 我们可以得到如下模型 一 又 一 一川 厂 全 击 矛 赶 六 一 产全 艺人艺 八 二 甘 全 之 上述分别对问题和得出的是一个有效解 以曰 丫门 二甘二 之 之夕 门 二 丈之 比 二 阳 相应的风险值为 了与 吕 一 之 进 竺二 杖飞 二 之 阴 相应的风险值为 而对它的约束严格性进行松弛 可得到一系列的在不同的投