数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义(完整版).pdf

高中平面几何 叶中豪 学习要点 几何问题的转化 圆幂与根轴 P tolemy定理及应用 几何变换及相似理论 位似及其应用 完全四边形与Miquel点 垂足三角形与等角共轭 反演与配极 调和四边形 射影几何 复数法及重心坐标方法 例题和习题 1 四边形ABCD中 AB BC DE AB CD BC EF BC 且 求证 2EF DE DC 10081902 gsp 2 已知相交两圆O和O 交于A B两点 且O 恰在圆O上 P为圆O的AO B弧 段上任意一点 APB的平分线交圆O 于Q点 求证 PQ2 PA PB 10092401 1 gsp 3 设三角形ABC的Fermat点为R 连结AR BR CR 三角形ABR BCR ACR的九点圆心分别为D E F 则三角形DEF为正三角形 10082602 gsp 4 在 ABC中 已知 A的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D E 点A关于D E的对称点分别为F G ADG和 AEF的外接圆交于 A和另一点P 求证 AP BC 10092102 gsp 5 圆O1和圆O2相交于A B两点 P是直线AB上一点 过P作两圆作切线 分别切圆O1和圆O2于点C D 又两圆的一条外公切线分别切圆O1 O2于点E F 求证 AB CE DF共点 10092201 gsp 6 四边形ABCD中 M是AB边中点 且MC MD 过C D分别作BC AD 的垂线 两条垂线交于P点 再作PQ AB于Q 求证 PQC PQD 10081601 26 gsp 7 已知RT ABD RT ADC M是BC中点 AD与BC交于E 自C作AM 垂线交AD于F 求证 DE EF 10083001 gsp 8 在 ABC中 AB AC D为BC边的中点 E是 ABC外一点 满足 CE AB BE BD 过线段BE的中点M作直线MF BE 交 ABD的外 接圆的劣弧AD于点F 求证 ED DF 2010年女子竞赛 10081601 4 gsp 9 设圆I1是 ABC的BC边外的旁切圆 D E F分别是切点 若I1D与EF 交于P点 求证 AP平分底边BC 10082001 8 gsp 10 如图 O切 ABC的边AB于点D 切边AC于点C M是边BC上一 点 AM交CD于点N 求证 M是BC中点的充要条件是ON BC 09031302 gsp 11 已知 BC是圆上的定弦 而动点A在圆上运动 M是AC中点 作 MP AB于P 求P点的轨迹 10081601 4 gsp 12 ABC外接圆为圆O P为AB上一点 过P分别作OA OB的垂线 与 AC BC交于S T 与AB交于M N 求证 PM MS的充要条件是 PN NT 10081601 3 gsp 13 在 ABC中AC BC F是AB的中点 过F作它的外接圆直径DE 使得 C E在AB同一侧 又过C做AB的平行线交DE于L 求证 AC BC 2 4DL EF 09011003 gsp 14 已知 P是垂直ABC外接圆BC弧上任意一点 PD BC于D PE CA于 E PF AB于F 求证 BC PD AC PE AB PF 09012201 7 1 gsp 15 已知O是 ABC的外心 M是BC边中点 D是OM延长线上一点 满足 DO DB E F分别是AB AC边上的点 满足 MEA MFA A 求证 AD EF 10080302 gsp 16 已知 ABC中 AB AC 线段AB上有一点D 线段AC延长线上有一 点E 使得DE AB 线段DE与 ABC的外接圆交于点T P是线段AT 延长线上的一点 求证 点P满足PD PE AT的充要条件是P在 ADE 的外接圆上 2000年国家集训队 10082201 1 gsp 17 已知 ABC中 内心I关于BC边中点M的对称点为I S是BC弧 不含A 点 中点 直线SI 交 ABC的外接圆于另一点P 求证 P点到 ABC 较远的顶点距离等于到另两个顶点距离的和 10082201 5 gsp 18 在 ABC外作 DBC ECA FAB 联结AD BE CF 求证 AF FB BD DC CE EA AD BE CF 10081601 2 gsp 19 过 ABC内一点O引三边AB BC CA的平行线与其它两边的交点分 别为E F G H I K 过O作 ABC的外接圆的弦AL 求证 OE OF OG OH OI OK OA OL 09042002 gsp 20 一小圆内切大圆于点N BA BC是大圆的两条弦 且分别切小圆于 K M 劣弧AB和劣弧BC的中点分别为Q P 又设 BQK BPM外 接圆的另一个交点为B1 求证 BPB1Q为平行四边形 10082001 1 gsp 21 圆O与圆O1 圆O2同时相切 切点为S T 圆O1与圆O2交于A B两 点 且圆O2的圆心恰在圆O1上 设公共弦AB延长交圆O于C D两点 联结SC SD分别交圆O1于P和Q 求证 PQ与圆O2相切 40届IMO 10082001 12 gsp 22 设KL KN是圆O的切线 M是KN延长线上一点 过K L M三点的 圆与圆O交于P 作NQ LM于Q 求证 MPQ 2 NML 98年伊朗 竞赛 10081601 5 6 gsp 09022203 gsp 23 设 ABC内接于圆O 过O作OE BC交圆O于E 交AB于F 交AC延长 线于G 过G作圆O的切线GT T为切点 求证 TF GE 10092104 gsp 24 已知圆O外一点P向圆O作切线PA PB和一条割线PEF M是EF上一 点 联结BM延长交圆O于C 求证 AC PEF的充要条件是M为EF中 点 10092401 6 gsp 25 过点P任作圆O的两条割线PAB PCD 直线AD与BC交于Q 弦 DE PQ BE交PQ延长线于M 求证 OM PQ 10092103 1 gsp 26 如图 设 O1与 O2交于AB两点 AC是 O2的切线 交 O1于C点 AD是 O1的切线 交 O2于D点 过A任作直线 交 O1 O2及经 过A C D三点的圆分别于M N P 求证 AM NP 10091002 6 gsp 27 两圆圆O1和圆O2相交于M P 过M作圆O2的切线交圆O1于A 又过M 作圆O1的切线交圆O2于B 在直线MP上截取PH MP 求证 四边形 MAHB内接于圆 10091002 1 gsp 28 已知两个半径不等的圆O1和圆O2相交于M N两点 且圆O1和圆O 分别与圆O内切于S T两点 求证 OM MN的充要条件是S N T三 点共线 1997年全国联赛 10090301 3 gsp 29 设以O为圆心的圆经过 ABC的两个顶点A和C 且与边AB BC分别 交于K和N 又设 ABC和 KBN的外接圆交于B和另一点M 求证 OMB 90 1985年IMO 10090301 1 gsp 30 已知 在 OAB与 OCD中 OA OB OC OD 直线AB与CD交于点 P PAC与 PBD的外接圆交于P Q两点 求证 OQ PQ 09022301 gsp 31 已知半圆圆心为O 直径为AB 一直线交半圆于C D 交AB延长线于 P 设M是 AOC与 BOD外接圆除O点外的另一交点 求证 OM MP 10091001 gsp 32 凸四边形ABCD内接于圆O 两组对边所在直线分别交于点E F 对角 线AC BD交于G 作GH EF于H 圆O的弦MN经过G点 求证 GH 与圆O交点恰是 HMN的内心 10092103 2 gsp 33 O为 ABC的外接圆 P为劣弧AB上一点 E F分别为AC AB延长 线上的点 BE CF交于D PE PF分别交 O于S R 若AD BC RS共点 求证 点D在 O上 10090801 gsp 10092103 8 gsp 34 已知 D E F分别在 ABC三边上 满足EB ED FC FD O是 ABC外心 求证 A E O F四点共圆 09033102 gsp 35 如图 设N是 ABC的BAC弧中点 M是BC边中点 I是 ABC的内 心 求证 ANI 2 IMC 09021701 gsp 36 设T为 ABC的内切圆与BC边的切点 D为BC上任一点 I1 I2分别为 ABD ACD的内心 求证 T I1 T I2 10081701 9 gsp 37 矩形ABCD中 AB AC P是以为AB直径的半圆上任意一点 PC PD分别交AB于F E 求证 AE2 BF2 AB2 09013001 gsp 38 AB是圆O的直径 P是过B所作切线上的任一点 过P作圆O的割线 PCE 联结直线PO分别交AC AD于E F 求证 OE OF 10081001 4 gsp 39 自圆O外一点P作切线PA PB及割线PCD 自C作PA的平行线 分别交 AB AD于E F 求证 CE EF 10081001 5 gsp 40 A为圆O上一点 B为圆外一点 BC BD分别相切圆O于C D DE 垂直AO于E DE分别交AB AC于F G 求证 DF FG 09042001 gsp 41 P为圆外一点 PA PD为切线 PCE为割线 过D作PA的平行线 分 别与AC延长线及线段AE交于B F 求证 D为BF中点 09031302 gsp 42 已知P Q是等腰三角形ABC AB AC 内两点 满足 ABP QCB 且 ACP QBC 求证 A P Q三点共线 10090101 1 gsp 43 已知锐角 ABC中 AD是高 O是外心 AO的延长线交过O B C三 点的圆于P 自P作PE AB于E PF AC于F 求证 DEPF是平行四边 形 10091701 gsp 44 已知E F是圆内接四边形ABCD对边AB CD的中点 M是EF的中点 自E分别作BC AD的垂线 垂足记为P Q 求证 MP MQ 10091701 1 gsp 45 AD为 ABC内角平分线 I1 I2为 ABD ACD的内心 以I1I2 向BC边作等腰 E I1I2 使得 I1EI2 BAC 求证 DE BC 10081701 1 gsp 46 已知P是凸四边形内一点 满足 PAB CAD PCB ACD 求 证 PB PD的充要条件是ABCD四点共圆 2004年IMO 10091701 6 gsp 09030801 gsp 47 已知D是 ABC底边BC上任一点 P是形内一点 满足 1 2 3 4 求证 PB PC AB AC 09030801 gsp 48 已知 D是 ABC的BC中垂线上一点 I1 I2是 ABD ACD的内 心 E是 ABC外接圆弧BAC的中点 求证 A E I1 I2四点共圆 08081201 gsp 49 如图 ABC中 M为BC的中点 以AM为直径的圆分别与 AB AC交于E F两点 圆在E F两点的切线交于点D 求证 DM BC 09013101 gsp 50 已知 O两切线PA PB和一割线PCD AD AP交C处的切 线于E F BE交DF于K 求证 K在圆O上 09022201 gsp 51 设 O1与 O2交于C D 过D的直线交 O1与 O2于A B 点P在弧AD上 PD与AC的延长线交于M Q在弧BD上 QD与BC 的延长线交于N O为 ABC外心 求证 MN OD是P Q M N四点共圆的充要条件 09020401 gsp 52 设X是P点的Simson线关于 ABC的垂极点 求证 XP被Simson线 所平分 09031903 gsp 53 已知 AD是高 O H是外心和垂心 过D作OD垂线 交AC 于E 求证 DHE C 09022202 gsp 54 ABC中 AD为边BC上的中线 E F G分别为AB AC AD上 的点 且A E G F四点共圆 设 BDE外心为O1 半径为r1 CDF外心为O2 半径为r2 求证 GO12 GO22 r12 r22 09031401 gsp 55 已知P是 ABC内一点 A1 B1 C1分别是圆弧BPC CPA APB的中 点 求证 P A1 B1 C1四点共圆 09042401 gsp 56 给定 ABC D E F是边BC CA AB上的任意三点 M N分别是 BDF CDE的外心 P Q分别是BC MN上的点 满足 BP PC MQ QN AP与 AEF相交于R点 求证 1 QR QD 2 RQD 2 APC 09042601 gsp 57 已知 O1与 O2交于C D两点 A B分别是两圆上的点 满 足PA PB E F是弧AQ BQ中点 求证 C D E F四点共 圆 09022001 gsp 58 ABC中 D E F是边BC CA AB的中点 X Y Z是各边上高 的垂足 EZ与FY交于L FX与DZ交于M DY与EX交于N 求证 L M N三点共线 10092101 gsp 59 设 ABC的内切圆分别与三边切于D E F 联结AD交内切圆于另一 点P 联PB PE PF 求证 PF BC的充要条件是 BPD EPD 10091002 7 gsp 60 已知 ABC和任意直线d 自A B C作d的垂线 垂足分别为A B C 再自A B C 分别作对边BC CA AB的垂线 设这三 条垂线共点于H 在d上任取一个动点M 自M作d的垂线 分别交 AB AC所在直线于K L 在线段BK CL及HA 延长线上分别取分 点P Q X 满足 BP PK CQ QL HA A X 求证 XM PQ 09031602 gsp 61 已知ABCD是等腰梯形 P是其底边BC上任意一点 E F两点分别位 于AB AC上 满足EB EP FP FC 联接EF 并作P点关于EF的 轴对称点Q 求证 DQ PQ 09041401 gsp 62 设D E分别为 ABC的边AB BC上的点 P是 ABC内一点 且PE PC DEP PCA 求证 BP是 PAD的外接圆的切线 0