数字信号处理证明题(往年题目都能在里面找到哦).pdf

数字信号处理 课程复习 证明题 1 设 kX表示长度为 N 的有限长序列 nx的 DFT 1 证明如果 nx满足关系式 1 nNxnx 则0 0 X 2 证明当 N 为偶数时 如果 1 nNxnx 则0 2 N X 解 1 1 2 1 2 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 N N n N n N n N n N N n nk N nNxnxnxWnxX WnxkX 令mnN 1 0 1 2 1 2 0 0 N n N n mxnxX 显然可得 0 0 X 2 1 0 1 0 1 2 N n n N n jk nxenx N X 将 n 分为奇数和偶数两部分表示 1 2 0 12 1 2 0 2 1 12 1 2 N r r N r r rxrx 1 2 0 1 2 0 12 2 N r N r rxrx 1221 12 21 1 2 0 1 2 0 krNrxrNx N r N r 令 1 2 0 0 2 12 12 N r N k rxrx 显然可得 0 2 N X 2 试证N点序列 nx 的离散傅立叶变换 kX 满足Parseval恒等式 2 1 0 2 1 0 1 N m N k kX N nx 证 1 0 2 1 0 1 1 N m N m mXmX N mX N 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 N k N k N m mk N N k N m N k mk N kxkxkx WmX N kx WkxmX N 5 nXkx和 是一个离散傅里叶变换对 试证明离散傅里叶变换的对称性 1 nxkX N 证明略 6 nx 长为N的有限长序列 nxnx oe 分别为 nx 的圆周共轭偶部及奇部 也即 2 1 nNxnxnNxnx ee 2 1 nNxnxnNxnx oo 证明 Im Re KXjnxDFT KXnxDFT o e 证 2 1 2 1 Nee nxnxnNxnxnNxnx Re 2 1 kXkXkX 2 1 2 1 Noo nxnxnNxnxnNxnx Im 2 1 kXjkXkX 7 若 N kNxnXDFTkXnxDFT 求证 证 1 0 1 N k kn N WkX N nx 1 1 0 N k kn N WnxkX 2 由 2 1 0 N k kn N WnxkX 将nk与互换 则有 1 0 N n kn N WkxnX 这应该是反变换公式 1 0 1 N k kn N WkNx N 用kk 代替 且求和取主值区 1 0 1 N k nk N WkNx N 与 1 比较 所以 N kNxnX 8 若 kXIDFTnx 求证 1 nRnX N kxIDFT NN 证 1 0 1 N k kn N Wkx N kxIDFS 1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 11 N r N r nrk N N k kn N N r rk N WrX N WWrX NN 而 N lNnr 1 0 N k nrk N W l为整数 0 lNnr 所以 1 1 2 nX N NnlNX N kxIDFS 于是 1 1 nRnX N nRnX N kxIDFT NNN 9 令 kX表示 N 点序列 nx的 N 点 DFT 试证明 a 如果 nx满足关系式 1 nNxnx 则0 0 X b 当 N 为偶数时 如果 1 nNxnx 则0 2 N X 证 1 0 N n nk N WnxkX 1 1 0 Nk a 1 0 0 N n nxX N 为偶数 1 2 0 1 2 0 1 0 N n N n nNxnxX 0 1 1 2 0 1 2 0 N n N n nxnx nNxnx N 为奇数 2 1 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 N xnNxnxX N n N n 2 1 0 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 0 1 2 1 0 N x N x nxnx N x nNxnx N x N n N n 而 nx中间的一项应当满足 2 1 2 1 1 2 1 n x N Nx N x 因此必然有 0 2 1 n X 这就是说 当 N 为奇数时 也有0 0 X b 当 N 为偶数 1 0 1 0 2 1 2 N n n N n N n N nxWnx N X 1 2 0 1 1 2 0 1 2 0 1 1 2 0 1 1 1 1 1 1 N n nN N n n N n nN N n n nxnx nNxnx 当 N 为偶数时 1 N为奇数 故1 1 1 N 又由于 1 1 nn 故有 0 1 1 2 1 2 0 1 2 0 N n n N n n nxnx N X 10 设 kXnxDFT 求证 nNNxkXDFT 解解 因为 nk N nNk N WW 根据题意 1 0 1 N k nk N WkX N nx 1 0 N k nNk N WkXnNNx 因为 nk N nNk N WW 所以 1 0 kXDFTWkXnNNx N k kn N 11 证明 若 nx为实偶对称 即 nNxnx 则 kX也为实偶对称 解 根据题意 1 0 N n nk N WnxkX 的周期性质再利用 nk N N n kn N WWnNx 1 0 1 0 N n kNnN N WnNx 下面我们令mnN 进行变量代换 则 1 Nm mkN N WmxkX 又因为 nx为实偶对称 所以0 0 Nxx 所以 0 0 0 0 kN N mkN N kN N WxWNxWx 可将上式写为 0 1 0 kN N mkN N N m WxWmxkX N m mkN N Wmx 0 NkN N N m mkN N WNxWmx 0 1 0 N m mkN N Wmx 所以 1 0 kNXWmxkX N m mkN N 即证 注意 若 nx为奇对称 即 nNxnx 则 kX为纯虚数并且奇对称 证明方法同上 题干 证明 DFT 的对称定理 即假设X k DFT x n 证明 DFT X n Nx N k 答案 证 因为 1 0 N kn N n X kx n W 所以 111 000 DFT NNN knmnkn NNN nnm X nX n Wx m WW 11 00 NN n m k N mn x mW 由于 1 0 0 0 1 N n m k N n NmNk W mNkmN 所以 DFT X n Nx N k k 0 1 N 1 题干 如果X k DFT x n 证明 DFT 的初值定理 1 0 1 0 N k xX k N 答案 证 由 IDFT 定义式 可知 题干 证明 若x n 为实序列 NX KDFT x n 则X k 为共轭对称序列 即 X KXNk 答案 1 0 1 1 0 1 N k kn N NnWkX N nx 1 0 1 0 N k xX k N 证 由 DFT 的共轭对称性 将 x n 表示为 x n xr n jxi n 则 X k DFT x n Xep k Xop k 其难 Xep k DFT xr n 是 X k 的共轭对称分量 Xop k DFT jxi n 是 X k 的共轭反对称分量 所以 如果 x n 为实序列 则 Xop k DFT jxi n 0 故 X k DFT x n Xep k 即 X KXNk 题干 证明 若x n 实偶对称 即x n x N n 且 NX KDFT x n 则X k 也实 偶对称 答案 证明 由 DFT 的共轭对称性可知 如果 x n xep n xop n 则 X k Re X k j Im X k 则 Re X k DFT xep n j Im X k DFT xop n 所以 当 x n x N n 时 等价于上式中 xop n 0 x n 中只有 xep n 成分 所以 X k 只有实部 即 X k 为实函数 又实序列的 DFT 必然为共轭 对称函数 即 X k X N k X N k 所以 X k 实偶对称 题干 证明 若x n 实奇对称 即x n x N n 且 NX KDFT x n 则X k 为纯虚函数并奇对称 答案 证明 由 DFT 的共轭对称性可知 如果 x n xep n xop n 则 X k Re X k j Im X k 则 Re X k DFT xep n j Im X k DFT xop n 所以 当x n x N n 时 等价于x n 只有xop n 成分 即xep n 0 故X k 只有纯虚部 且由于x n 为实序列 即X k 共轭对称 X k X N k X N k 为纯虚奇函数 题干 证明频域循环移位性质 设X k DFT x n Y k DFT y n 如果 Y k X k l NRN k 则 答案 证 令m k l 则 题干 证明离散帕塞瓦尔定理 若X k DFT x n 则 答案 证 ln IDFT N nY kW x ny 1 0 1 IDFT N kn N k y nY kY k W N 1 0 1 N kn NN k XklW N 1 0 1 N lnk l n NNN k WXklW N 1 ln 1 N mn NNN m l y nWXmW N 1 lnln 0 1 N mn NNN m WX m WW x n N 11 22 00 1 NN nk x nX k N 11 2 00 11 NN kk X kX k Xk NN 11 00 1 NN kn N kn X kx n W N 11 00 1 NN kn N nk x nX k W N 11 2 00 NN nn x n x nx n 题干 若 X K DFT x n N 证明 X K 是隐含周期的 其周期为 N 答案 证明 m对任意整数 k m NI 题干 k N W证明的周期性 即 kkmN NN WW 其中 k m 为整数 N 为自然数 答案 2 22 2 2 2 2 cos2sin 2 N NN N N N jkmN kmN N jkjmN jk jm jk jk k N We ee ee emjm e W 证明 题干 DFT x nXNk 证明 答案 证明 11 00 NN k mN nkn NN nn X kmNx n Wx n WX k DFT x nX k 若 0 1kN 1 0 N N k n N n XNkx n W 1 0 N N k n N n x n W 1 0 N nNkn NN n x n WW 1 0 N kn N n x n W DFT x n 2 2 cos 2 sin 2 1 N jnN nNjn N Wee njn 其中 题干 ri x nxnjxn 若 rep DFT x n X k证明 答案 证明 题干 epop x nxnxn 若 K epR 证明DFT x n X 答案 证明 题干 ri x nxnjx n 若 iop DFT jx n X k证明 答案 Re r DFT x nDFTx n 1 2 DFTx nx n 1 2 X kXNk ep Xk 1 2 ep DFT xnDFTx nx Nn 1 2 X kXk Re R X kXk 证明 题干 epop x nxnxn 若 opI DFT xnjXK 证明 答案 证明 题干 证明 2 N k K NN WW 答案 证明 题干 证明 N 2k k N W 1 答案 证明 2NN N22 jkk k N Wecos k jsin k 1 i DFT jx n 1 2 DFTx nx n 1 2 X kXNk op Xk 1 2 op DFT xnDFTx nx Nn 1 2 X kXk Im I jX kjXk 2NN N22 j k k e N W 22N NN2 jkj ee 2 N jk e cosjsin k N W 题干 证明 mN m NN WW 答案 证明 222 2 2 cos2sin2 NNN N N jN mjNjm N m N jm jm m N Wee ej eW 题干 证明 N mm NN WW 答案 证明 2 2 2 2 jm N jN m N m N N jN m j N m N We eee W 题干 证明 答案 证明 2 2 jK N J jKJ KJK N NN J WeeW 题干 证明 DFT 的线性性质即 若 则 其中 a b 为常数 答案 证明 12 y nax nbx n kJk NN J WW DFT 21 kbXkaXnykY 12 12 12 12 12 12 j jwn n jwnjwn nn jwnjwn nn jj y nax nbx n Y eFT y n FT ax nbx n ax nbx n e ax n ebx n e ax n ebx n e aX ebXe 令 则 题干 证明 FT 的线性性质 即设X1 ej FT x1 n X2 ej FT x2 n 那 么 jj 1212 FT e e ax nbx naXbX 式中 a b是常数 答案 证明 12 12 12 12 12 12 j jwn n jwnjwn nn jwnjwn nn jj y nax nbx n Y eFT y n FT ax nbx n ax nbx n e ax n ebx n e ax n ebx n e aX ebXe 令 则 题干 将序列 x n 分成实部 xr n 与虚部 xi n x n xr n jxi n 证明 j re FT x nx e 答案 证明 jj n err n XeFT xnxn e jj nj ere n Xexn eXe 实序列的 Fourier 变换具有共轭对称性 题干 将序列 x n 分成实部 xr n 与虚部 xi n x n xr n jxi n 证明 j io FT jx nx e 答案 证明 jj n oi n Xejx n e jj nj oio n Xejx n eXe 虚数 Fourier 变换具有共轭反对称性 题干 eo x nxnx n 将序列x n 分解为共轭对称序列和共轭反对称序列 即 证明 j eR FT e x nX 答案 证明 j jjj eR 1 FT e e Re e e 2 x nXXXX 序列x n 的共轭对称部分xe n 对应着X ej 的实部XR ej 题干 eo x nxnx n 将序列x n 分解为共轭对称序列和共轭反对称序列 即 证明 j oI FT xnjXe 答案 证明 1 2 Im jj o j j I FT xnX eXe jX e jXe 序列x n 的共轭反对称部分xo n 对应着X ej 的虚部 包括 j 题干 证明时域卷积定理 即设y n x n h n 则 Y ej X ej H ej 答案 证明 m y nx m h nm jj e FT e n nm Yy nx m h nm 令k n m 则 令k n m 则 jjj e ee kn km Yh k x m jj e e kn km h kx m jj e e HX 题干 设x n 是因果序列 X z ZT x n 则 0 lim z xX z 答案 证明 12 0 0 1 2 n n X zx n zxxzxz 因此 lim 0 z X zx 题干 设 w n x n y n X z ZT x n Rx z Rx Y z ZT y n Rx z Ry 1 证明 W z ZT w n X