斯特林公式Stirling ular.doc

题目：关于阶乘的近似公式1.相关历史与进程历史上对阶乘的估计在数学上有着重要的作用，首先是它在概率论与数理统计中，最早可以追溯到1733年一位法国的数学家de Moivre的工作，同时也是第一次遇到对整数阶乘的估计问题。在他研究Gauss分布和中心极限定理时发现了如下公式：然后，瑞典数学家Stirling在试图给出二项分布的一般的近似值时，发现了未知的常数：，既有众所周知的Stirling公式：紧接着他就得到如下的结果，并发表在了Miscellaneis Analyticis Supplementum中：(1)公式(1)也被称为Stirling级数，其中的称为Bernoulli数，定义如下：其中。将(1)式的前项记为同时Euler提出了一个函数，它可以作为整数的阶乘在正实数中的拟合。这函数便是函数：，也可以定义为极限的形式：而且显然有，而且目前对阶乘的估计也或多或少的用函数来描述，甚至利用函数的性质来发现新的更好的渐进函数。之后，关于的渐进公式的探索逐渐缓慢下来。直到最近才有了新的突破。2.第一种有关的渐进形式含有幂级数的渐进公式依靠幂级数来求数值解的思想一直是较好的方法。其中在Stirling所处的时期便已经有了一个幂级数展开，而且拥有着各种相似的形式，如在Abramowitz和Stegun1的书中记载着：但是在1763年Bayes5在给Canton的信中说：Stirling给出的这个幂级数展开并不是一个收敛级数。他利用公式证明了如下公式：当时，上面的级数是收敛的。1997年Hsu2。得到一个不依靠Bernoulli数的幂级数解：(2)之后Liu3对公式(2)又给出了一个简单的证明。更一般的结论则是由Mortici4在2009年给出的结果，他证明了：存在有界正项级数使得有并求得每个满足：，通过舍去一些余项，他进一步得到：。2010年Nemes13的文章中证明了一个较复杂，但效果较好的渐进解，具有很好的精确程度：其中：，且满足：其中，并且当时，有3. 第二种有关的渐进形式利用简单函数1917年Burnside给出如下近似结果，并由1994年由Spouge 再次发现并给出过证明，而且这个渐进公式比Stirling的要精确：1940年Hummel9定义了一个序列满足并建立如下不等式：其中，之后Robbins10得到了更好的结论：，而比较成功的结果则分别由Cesar11和Maria12给出，各自的结论分别为：和。1988年Ramanujan15给出了一个完全不同的渐进公式，如下：(3)2000年Sandor和Debnath6的文章中证明了如下双边不等式：在且的情况。到2008年Batir7证明了最佳的，值分别为，这里设，并紧接着证得了如下更好的结论：详细过程可以参考Batir8。2009年Mortici4给出了一个比稍精确的渐进多项式：，并同时引进更广泛的型式如下：其中，从而，进而证明了不等式。利用函数和函数(digamma function)的性质与幂级数思想证明了如下两组不等式：其中，即得到不等式：这不等式两边的公式均强于Burnside的渐进解，而且比更加接近，比更接近于。 并在文章结尾用数值验证了甚至比还精确。4. 其他有关的渐进形式连分数理论一直都给出较为精确的估计值，其中Robbins10、Cesar11和Maria12给出的结论便已经是给出的连分数分解的一个雏形。直到2011年Mortici14的文章中给出了一类统一的证明方法，并给出如下结果：其中，其前项记为，同时他利用数值比较显示比更加接近。另外在公式(3)的基础上，Ramanujan15于1988年证明了如下不等式：Karatsuba17于2001年证明了一个更严格的结论：其中，。2011年Mortici18统一了这一情形讨论了所有形如：的渐进公式，利用幂级数展开的思想统一了一类渐近公式的求解，其中的两个结果如下：与其中较之Ramanujan的公式(3)更精确了。最后一种对的估计是以积分的形式表现的，首先便是2007年Liu3的关于的恒等式：(4)有Dirichlet判别积分是收敛的，并利用此公式Liu给出了公式(2)的另一种证法。之后Mortici20于2009年给出了(4)式的另一种表达方式：其中是参数，当时即为(4)式，即Mortici统一了由积分表达的一类问题。但其中所使用的思想显示，其中的被积函数并不是唯一的。5.参考文献：1 M. Abramowitz, I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. 55, 9th Printing. Dover, New York (1972).2 L. C. Hsu, A new constructive proof of the Stirling formula, J. Math. Res. Exposition 17 (1), (1997), 57.3 Z. Liu, A new version of the Stirling formula. Tamsui Oxf. J. Math. Sci. 23 (4) (2007), 389392.4 C. Mortici, An ultimate extremely accurate formula for approximation of the factorial function. Arch. Math. 93 (1), (2009), 3745.5 http:/www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/letter.pdf6 J. Sndor, L. Debnath, On certain inequalities involving the constant and their applications. J. Math. Anal. Appl. 249 (2) (2000), 569582.7 N. Batir, Sharp inequalities for factorial . Proyecciones 27 (1) (2008), 97102.8 N. Batir, Inequalities for the gamma function. Arch. Math. 91 (6) (2008), 554563.9 P. M. Hummel, Questions, Discussions, and Notes: A Note on Stirlings Formula. Amer. Math. Monthly 47 (2) (1940), 9799.10 H. Robbins, A remark on Stirlings formula. Amer. Math. Monthly 62, (1955). 2629.11 E. Cesar, Elementares Lehrbuch der Algebraischen Analysis und der Infinitesimalrechnung, p.154. Springer, Leipzig (1922).12 A. J. Maria, A remark on Stirlings formula. Amer. Math. Monthly 72, (1965). 10961098.13 G. Nemes, New asymptotic expansion for the Gamma function. Arch. Math. 95(2) (2010), 161169.14 C. Mortici, A new Stirling series as continued fraction. Numer. Algorithms 56(1) (2011), 1726.15 S. Ramanujan, The Lost Notebook and Other Unpublished Papers. Springer-Verlag, Berlin, 1988.16 A. Eagle, Note on the asymptotic expansion of the logarithm of the factorial function, The Mathematical gazette. 14, (1928), 258-259.17 E. A. Karatsuba, On the asymptotic representation of the Euler gamma function by Ramanujan. J. Comput. Appl. Math. 135(2), (2001), 225240.18 C. Mortici, On Ramanujans large argument formula for the Gamma function, Ramanujan J 26, (2011) 185-192.19 D. Dom