2017_18学年高中数学第四章第二课时直线与圆的位置关系习题课学案含解析.docx

第二课时直线与圆的位置关系(习题课)1直线与圆的位置关系有哪几种？略2如何用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系？略3如何求过某点的圆的切线方程？略4如何求圆的弦长？略与圆有关的切线问题例1自点P(6,7)发出的光线l射到x轴上的点A处，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2y28x6y210相切于点Q.求光线l所在直线方程解如图，作圆x2y28x6y210关于x轴的对称圆x2y28x6y210，由几何光学原理，知直线l与圆x2y28x6y210相切由于l的斜率必存在，故可设直线l：y7k(x6)，即kxy6k70.由圆x2y28x6y210的圆心(4，3)到直线l的距离等于半径，知2，解得k或k，故光线l所在直线的方程为3x4y100或4x3y30.类题通法过已知圆外一点求切线的方程一般有三种方法：(1)设切线斜率，用判别式法；(2)设切线斜率，用圆心到直线的距离等于半径长；(3)设切点(x0，y0)，用切线公式法活学活用已知圆C：(x2)2(y1)21.求：(1)过A(3,4)的圆C的切线方程；(2)在两坐标轴上的截距相等的圆C的切线方程解：(1)当所求直线的斜率存在时，设过A(3,4)的直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0，由1，得k.所以切线方程为y4(x3)，即4x3y0.当所求直线的斜率不存在时，直线方程为x3，也符合题意故所求直线方程为4x3y0或x3.(2)设在两坐标轴上的截距相等的直线方程为1或ykx，于是由圆心(2,1)到切线距离为1，得1或1.解得a3，k0或k.故所求切线方程为xy3或y0或yx.与圆有关的参数问题例2已知直线l：yxm与圆x2y21在第一象限内有两个不同的交点，求m的取值范围解l：yxm，圆x2y21，l可变形为x3y3m0，圆的圆心为(0,0)，半径长r1.当直线和该圆相切时，应满足d1，解得m.在平面直角坐标系中作出图象，如图所示，其中l2：yx，l3：yx.过原点作直线l0：yx，m0：yx.直线l的斜率k，直线AB的斜率k1，只有当直线l在移动到过A(0,1)后才开始与圆在第一象限内有两个交点，此时对应的直线l1：yx1.要使直线与圆在第一象限内有两个不同交点，直线l只有在直线l1和直线l2之间运动才可，此时相应的m.m的取值范围是.类题通法解决与圆有关的参数问题，有时直接求解比较困难，可根据题意先画出图象，利用数形结合的方法，可以很容易得出答案活学活用在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2y24，直线l：12x5yc0(其中c为常数)下列有关直线l与圆O的命题：当c0时，圆O上有四个不同的点到直线l的距离为1；若圆O上有四个不同的点到直线l的距离为1，则13c13；若圆O上恰有三个不同的点到直线l的距离为1，则c13；若圆O上恰有两个不同的点到直线l的距离为1，则13c39；当c39时，圆O上只有一个点到直线l的距离为1.其中正确命题的序号是_答案：直线与圆的综合问题例3已知圆x2y2x6ym0与直线x2y30相交于P，Q两点，O为原点，且OPOQ，求实数m的值解由消去y，得5x210x4m270，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则又OPOQ，kOPkOQ1，即x1x2y1y20.x1x2(3x1)(3x2)0，整理得5x1x23(x1x2)90，53(2)90.解得m3满足实数m的值为3.类题通法此题设出P，Q两点的坐标，但在求解过程中又不能刻意地求出来，只将它作为一个转化过程中的桥梁，这种“设而不求”的解题方法在解析几何中很常见，要注意认真体会并掌握活学活用自原点O作圆(x1)2y21的不重合两弦OA，OB，若|OA|OB|k(定值)，证明不论A，B两点位置怎样，直线AB恒切于一个定圆，并求出定圆的方程解：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|OA|OB|k.x1x2.设直线AB的方程为ymxb，代入已知圆的方程并整理，得(1m2)x22(mb1)xb20，由根与系数的关系，得x1x2.原点O到直线mxyb0的距离为，所求定圆的半径r满足r2(定值)直线AB恒切于定圆x2y2.典例设点P(x，y)在圆x2(y1)21上，求的最值解的几何意义是圆上的点与定点(2,0)的距离因为圆心(0,1)与定点的距离是，圆的半径是1，所以的最小值是1，最大值是1.多维探究1化为求斜率问题求的最小值解：法一：令t，则方程组一定有解消去y，整理得(1t2)x22(t23t)x(t26t8)0有解所以4(t23t)24(1t2)(t26t8)0，即6t80，解得t.故的最小值是.法二：令k，则k表示圆上任一点与点(1，2)连线的斜率，kxyk20，由1，得k.的最小值为.2化为求圆心到直线距离问题求直线xy20上的点到圆的距离的最值解：圆心为(0,1)，到直线xy20的距离为，因此直线上的点和圆上的点的最大距离为1，最小距离为1.3化为求圆心到直线距离问题若圆上有且只有四个点到直线3x4yC0的距离为，求C的取值范围解：由题意，圆心(0,1)到直线的距离小于即可，则，解得C.所以C的取值范围为.方法感悟解与圆有关的最值问题，要明确其几何意义：(1)k表示圆上的点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率，直线方程可与圆的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用0求k的最值；也可用圆心到直线的距离dr，求k的最值(2)直线与圆相离时，直线上的点到圆的距离的最大值为dr，最小值为dr.随堂即时演练1直线xy0绕原点按顺时针方向旋转30所得直线与圆x2y24x10的位置关系是()A直线与圆相切B直线与圆相交但不过圆心C直线与圆相离D直线过圆心答案：A2若直线yxt被圆x2y28截得的弦长大于等于，则t的取值范围是()A.B.C. D.答案：D3如果实数x，y满足等式(x2)2y23，那么的最大值是_答案：4在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_答案：5已知以点P为圆心的圆过点A(1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C，D，且|CD|4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程答案：(1)xy30(2)(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240课时达标检测一、选择题1若直线xym0与圆x2y2m相切，则m的值为()A0或2B0或4C2 D4答案：C2过点(1,1)的直线与圆(x2)2(y3)29相交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A2 B4C2 D5答案：B3若直线ykx与圆(x2)2y21的两个交点关于直线2xyb0对称，则k，b的值分别为()Ak，b4 Bk，b4Ck，b4 Dk，b4答案：A4已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为()A(x2)2(y2)21B(x2)2(y2)21C(x2)2(y2)21D(x2)2(y2)21答案：B5过点P(1,1)的直线，将圆形区域(x，y)|x2y24分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()Axy20 By10Cxy0 Dx3y40答案：A二、填空题6(重庆高考)已知直线xya0与圆心为C的圆x2y22x4y40相交于A，B两点，且ACBC，则实数a的值为_答案：0或67已知两点A(2,0)，B(0,2)，点C是圆x2y22x0上任意一点，则ABC的面积最小值是_答案：38已知圆的方程为x2y24x2y40，则x2y2的最大值为_答案：146三、解答题9已知圆C：x2(y1)25，直线l：mxy1m0.(1)求证：对任意mR，直线l与圆C总有两个不同的交点；(2)设l与圆C交于A，B两点，若|AB|，求l的倾斜角；(3)求弦AB的中点M的轨迹方程解：(1)证明：由已知直线l：y1m(x1)，知直线l恒过定点P(1,1)1215，P点在圆C内，所以直线l与圆C总有两个不同的交点(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组消去y得(m21)x22m2xm250，x1，x2是一元二次方程的两个实根，|AB|x1x2|，m23，m，l的倾斜角为或.(3)设M(x，y)，C(0,1)，P(1,1)，当M与P不重合时，|CM|2|PM|2|CP|2，x2(y1)2(x1)2(y1)21.整理得轨迹方程为x2y2x2y10(x1)当M与P重合时，M(1,1)满足上式，故M的轨迹方程为x2y2x2y10.10已知O：x2y21和定点A(2,1)，由O外一点P(a，b)