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文档简介

习 题5.1 设的半空间充满磁导率为的均匀介质,的半空间为真空,今有线电流沿轴方向流动,求磁感应强度和磁化电流分布。解:如图所示令 由稳恒磁场的边界条件知, 又 且 所以 (1)再根据安培环路定律 得 (2)联立(1),(2)两式便解得 故, 5.2 半径为的无限长圆柱导体上有恒定电流均匀分布于截面上,试解矢势的微分方程,设导体的磁导率为,导体外的磁导率为。解: 由电流分布的对称性可知,导体内矢势和导体外矢势均只有分量,而与,无关。由的柱坐标系中的表达式可知,只有一个分量,即 此即 通解为 当时,有限,有由于无限长圆柱导体上有恒定电流均匀分布于截面上,设时, ,得 又时,得 所以 所以, 写成矢量形式为 5.3 设无限长圆柱体内电流分布,求矢量磁位和磁感应。解: 建立坐标系如图所示,电流分布为 , 从电流分布可以知道磁矢位仅有分量,即 且满足方程 设在圆柱体内磁位是 圆柱体外磁位是,则当时, 当时, 所以 其中是待定常数。 由于处磁矢位不应是无穷大,所以。利用边界条件,有 ;最后得: 由得: 5.4载有电流的细导线,右侧为半径的半圆弧,上下导线相互平行,并近似为向左侧延伸至无穷远。试求圆弧中心点处的磁感应强度。解: 对圆弧中心点的磁感应强度,可认为是半圆弧电流与两条半直线电流,分别在点产生的磁感应强度的叠加。对于半圆弧在点产生的磁感应强度,可用毕奥-萨伐定律求得为 方向沿垂直纸面向外。同样一根半长直线在点产生的磁感应强度为 方向沿垂直纸面向外。故点处的磁感应强度 代入数值得 方向沿垂直纸面向外。5.5 两根无限长直导线,布置于处,并与轴平行,分别通过电流及,求空间任意一点处的磁感应强度。-110解:无限长直导线产生的矢量磁位为 为有限值。对于本题,可利用叠加原理,点的矢量磁位可看做是位于处的长直导线产生的矢量磁位和位于处的长直导线产生的矢量磁位的叠加,即 根据 有 5.6 半径的磁介质球,具有磁化强度为求磁化电流和磁荷。解: 球内:等效磁化电流体密度为等效磁荷体密度为 等效磁荷密度为 球表面:磁化面电流密度为 因球面上 故 其磁荷面密度为 5.7已知两个相互平行,相隔距离为,共轴圆线圈,其中一个线圈的半径为,另一个线圈的半径为,试求两线圈之间的互感系数。0解:如图所示,设中电流为,在轴线上产生的磁场为 因,可认为在包围的面积上是均匀的,所以根据互感系数的定义,得 5.8 两平行无限长直线电流和,相距为,求每根导线单位长度受到的安培力。 解: 一根无限长直导线电流的磁场 另一根直导线电流的电流元受到磁场力 故单位长受力 5.9 一个薄铁圆盘,半径为,厚度为,如题5.9图所示。在平行于轴方向均匀磁化,磁化强度为。试求沿圆铁盘轴线上、铁盘内、外的磁感应强度和磁场强度。解 由于铁盘均匀磁化,且磁化方向沿正向,故令,其中为常数。由此可知磁化电流面密度铁盘上、下底面的磁化电流线密度 题5.9图铁盘侧面周边边缘上的磁化电流线密度 这样可将圆盘视为相当于的圆形磁化电流,求此电流在各处产生的磁场。又由于,可视为圆环电流产生的磁场。在铁盘轴线上产生的磁场为 、的方向沿方向。铁盘内由于,可得 在铁盘内是均匀分布的磁场。5.10 均匀磁化的无限大导磁媒质的磁导率为,磁感应强度为,若在该媒质内有两个空腔,空腔形状为一薄盘,空腔像一长针,腔内都充有空气。试求两空腔中心处磁场强度的比值。解 此题由于空腔的形状可以利用边界条件确定空腔内的场分布。对空腔其中心处的场强与侧边界的场强相同。由于在其法线方向,由分界面上的边界条件,可得到中心点的磁感应强度,。题5.10 图对空腔侧面是沿的方向,由分界面上的边界条件,可得中心点处的磁场强度,。两空腔中心处磁场强度的比值为 5.11 两个无限大且平行的等磁位面、,相距,。其间充以两种不同的导磁媒质,其磁导率分别为,分界面与等磁位面垂直,求媒质分界面单位面积受力的大小和方向。解 根据则,方向沿分界面切线方向。利用分界面上的边界条件,则 利用磁感应线管,沿分界面法向受到侧压力,故单位面积受力的大小为,说明作用力沿媒质指向媒质,即从磁导率大的媒质指向磁导率小的媒质。题5.11图5.12 长直导线附近有一矩形回路,回路与导线不共面,如题5.12图所示。证明:直导线与矩形回路间的互感为题5.12图题5.12图解 设长直导线中的电流为,则其产生的磁场为 由题5.12图可知,与矩形回路交链的磁通为其中 故直导线与矩形回路间的互感为 5.13 一环形螺线管的平均半径,其圆形截面的半径,铁芯的相对磁导率,环上绕匝线圈,通过电流。(1) 计算螺线管的电感;(2) 在铁芯上开一个的空气隙,再计算电感(假设开口后铁芯的不变);(3) 求空气隙和铁芯内的磁场能量的比值。解 (1)由于,可认为圆形截面上的磁场是均匀的,且等于截面的中心处的磁场。由安培环路定理,可得螺线管内的磁场为 与螺线管交链的磁链为 故螺线管的电感为 (2)当铁芯上开有小空气隙时,由于空气隙很小,可以忽略边缘效应,则在空气隙与铁芯的分界面上,磁场只有法向分量。由边界条件,有。根据安培环路定理,有 由于,及,于是可得 所以螺线管中的磁链为 故螺线管的电感为 (3)空气隙中的磁场能量为 铁芯中的磁场能量为 故 5.14 同轴线的内导体是半径为的圆柱,外导体是半径为的薄圆柱面,其厚度可忽略不计。内、外导体间充有磁导率分别为和两种不同的磁介质,如题5.14图所示。设同轴线中通过的电流为,试求:(1)同轴线中单位长度所储存的磁场能量;(2)单位长度的自感。解 (1)同轴线的内外导体之间的磁场沿方向,在两种磁介质的分界面上,磁场只有法向分量。根据边界条件可知,两种磁介质中的磁感应强度相同,但磁场强度不同。根据安培环路定理,当时,有 所以 当时,有 题5.14图由于,以及,所以得到 同轴线中单位长度储存的磁场能量为 (2)由,得到单位长度的自感为 5.15 已知一个平面电流回路在真空中产生的磁场强度为,若此平面电流回路位于磁导率分别为和的两种均匀磁介质的分界平面上,试求两种磁介质中的磁场强度和。解 由于是平面电流回路,当其位于两种均匀磁介质的分界平面上时,分界面上的磁场只有法向分量,根据边界条件,有。在分界面两侧做一个小矩形回路,分别就真空和存在介质两种情况,应用安培环路定理即可导出、和的关系。 在分界面两侧,做一个尺寸为的小矩形回路。题5.15图根据安培回路定律有因垂直于分界面,所以积分式中。这里为与小矩形回路交链的电流。对平面电流回路两侧为真空的情况,则有 由于和是分界面上任意两点,由上述两个式子可得到即 于是得到 故有 5.16 在阴极射线管中的均匀偏转磁场是由在管颈上放置一对按余弦定律绕线的线圈产生的。分析管颈中的磁场时,可以将管颈视为无限长,其表面电流密度为,这样的线圈称为鞍线圈。证明:管颈中的磁场是均匀的。 解 由于电流分布是的函数,磁场分布不具备轴对称性,不能利用安培环路定律求解磁场。由于电流只分布在管颈的表面上,管颈内外的区域中都没有电流分布,可通过解标量磁位的微分方程来求磁场。利用分离变量法,求出管颈内、外区域中的标量磁位和的通解,然后由管颈表面上磁场的边界条件来确定待定常数。视管颈为半径为的无限长圆柱面,则和只与,有关,即 根据管颈的表面上的电流按变化,以及管颈内、外区域中的标量磁位和应为有限值,可设 于是得到 根据边界条件,当时,有, 由此可得到 ,故得到 5.17 一半径为,厚度为的圆盘磁铁均匀磁化,磁化强度为,求轴上任意点的磁坐标和磁场强度。解 方法一:利用磁荷求解。以圆盘轴线为轴建立柱坐标系。将两相对面元上的磁荷视为磁偶极子。题5.17图根据磁化强区的定义知此磁偶极子为它在轴上产生的标量磁位是所以轴任意一点的磁坐标为因此轴任意一点的磁场强度为方法二:利用磁化电流求解。以圆盘轴线为轴建立柱坐标系。于是得到磁化电流的分布情况。在圆盘内部,磁化电流体密度为在圆盘侧面,磁化电流面密度为圆柱上下表面,磁化电流面密度为取的一段磁铁,则它等效为一半径为的环形电流又因为轴线上任意一点处由此环形电流产生的磁感强度为所以轴线上任意一点处的磁场强度为5.18 一铁制材料的螺线环,其平均周长为,截面积为,在环上均匀绕以匝导线,当绕组内的电流为时,环内磁通量为。试计算:1 . 环内的磁通量密度;2 . 磁场强度;3 . 磁化面电流密度;4 . 环内材料的磁导率和相对磁导率;5 . 磁心内的磁化强度。解 1 . 环内的磁通量密度2 . 环内的磁场强度3 . 先求出磁化强度又根据 得磁化面电流密度 4 . 因为 所以磁导率为 相对磁导率为 5 . 磁心内的磁化强度 5.19 真空中长直线电流的磁场中有一等边三角形回路,如图所示,求直导线与三角回路之间的互感。解 直线电流产生的磁场则磁通如图所示,三角形面积为对上式两边取微分,得 ,则题5.19 图因此,直导线与三角回路之间的互感为5.20 如图所示为一形电磁铁,其中通过匝线圈的电流在磁路中产生磁通,铁芯的截面积为,求衔铁受到的磁场力。解 方法一:因电磁铁,空气隙,和衔铁中的磁通量相同,故可用的对应公式求解。设电磁铁两截面与衔铁间的距离为,其正向如图所示。由于系统总的磁场储能,其中

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