“数学归纳法”的难点突破.pdf

法 一 数学 归纳法 的 难 点 突 破 课堂 教学中的难点突破 有助 于学 生的有效 学 习 更能 提高 课 教学的效 率 突破难点的教学 设计是我们教 师共 同的追 求 宦一 宁 江苏 省扬 州 市第 一 中学 数 学归 纳 法是 一种 重要 的数 学 证 明方 法 它是 由 特殊 到一般 的推理方 法 常用 来 证 明与 自然数 有关 的 可以递推的命题 数学归纳法仅用 有 限 的两步就巧 妙 地 解 决 了这 一 无 限 的 难 题 这 两 步 是 缺 一 不 可 的 第一步验证 取第一个允许值 时命题成立 它 是 递推 的基 础 第 二 步 是 递 推 的 依 据 在 这 一 步 证 明 中一定要 用 到归 纳假 设 志时命 题 成立 的结 论 也 就是 要将 一是 1时 的 情 形 化 归 利 用 一尼时 的 情 形 这是一个难点 难点的突破与解决 有利于第二步 的证明 而正确把握住第二步 的证明则是运用数学归 纳法证 题 的关键 用 数学 归纳 法证 题 在进 行第 二 步证 明时应 把 握 以下三 个方 面 的问题 1 弄清 当 2 从 愚变化 到 1命题 发 生变 化 时到底增加几项 例 1 求证 而 1 十 1 1 1 3 2 N 在 第 二步 中假 设 一k k 2 志 N 时 即有 1 1 1 3 那 么 当 一 志 1时 左 边 变 化 为 磊 整 体 增 加 了 一 项 但 尾 项应 比原来增加二项 即磊 和 例2 求 证 1 1 十 1 十 1 号 2 N 当n 一 愚 时 左 边 为1 1 十 1 十 1 则 当 k 1时 左 边 应 为 1 1 1 南 就增加了括号中的部分共 2 卜 项 而往往在此处 由于受 前期 思 维定势 的 影响 判 断 为只 增加 一 项那 就 错 了 2 在第二步证明中要始终围绕是否利用归纳 假设这个主旋律 而展开 比如用数学归纳法证明 1 N 不 少 学 生是 按下 列步 骤展 开 的 证明 1 当 一1时 左边一 2 右边一2 左边 右边 原 不等 式成 立 2 假设 n k N 时不等式成立 即 愚 忌 愚 1 那么当 一是 1时 干 一 O 证 明 1 当 一1 时 不 等式 成立 2 假 设 一k 愚 N 时命 题 成立 即 a k f 1 志 z a l a2 ak 那么n k 1时 口 1 口 z 口 女 口 什1 f a l n 2 去 一 l t a 1 n z a k n 1 十 1 1 k 2 al ak 1 1 a h 口 口 2 w M 思想方 题 1 忌 2 尼 1 一是 2 k 1 一 忌 1 即当 k 1 时命题成立 下略 3 4放 缩法 通过对 n k 1 命题形式的适 当放缩 引出归纳 假设 的形 式 一般 用 于不等 式 例 5 求证 l s i n n Ql 7 2 I s i n Ql N 证 明 1 当 1 l 一1时 不 等式 成立 2 假 设 一志时命题 成立 且 口 I s i n忌 Ql 惫 I s i n Q1 那 么 当 n k 1时 I s i n k 1 QI l s i n k Qc o s Q C O S k Qs i n Q1 l s i n是 Ql I C O S Ql I C O S尼 Ql I s i n Ql I s i n Q J J s i n Ql 忌 I s i n QI l s i n QI 一 愚 1 I s i n QI 也就是当 n k 1时命题成立 下略 有 时 利用 了归 纳 假 设 后 在 推 论 的过 程 中也 使 用 放缩 方法 3 5分析 法 利 用熟 知 的分析 法 寻求解 题途 径 如例 2 求证 l t十 1 1 T E N 证 明 1 当 n 一1时 不等 式成 立 2 假设 7 2 一志时不等式成立 即 1 1十 1 未 l 那 么 n k 1时 1 1 1 k 1夕 k十 1十 1 十 1 k 十 1 2 k 1 一 k十 1 一 k 1 所以当 一k 1时不等式也成立 下略 3 6比较 法 例 6 求 证 1 一 1十i 1一 1 丽1 一 1 一 1 N 证明 1 当 一1时 等式成立 2 令厂 一 1 一 1 十 1 一 1 一 一 1 斗 下转 第 5 3页 魄 解 题 中 心 思想方 法 煮 m J l A 嚣 j l 譬篓 zx 一 F y 一 O 即 c 1 12 0 1 lz 一 3 一 I 一 一 将交点坐标代人 目标 函数 并 比较 它们 的值 求 出最值 最大的即为最大值 最小 的即为最小值 z A Lz一 2 y一 一 1 2 一 3 B一 r 一 2 y一 3 2 1 c 一2 y一1 2 3 故选 B 例 3 2 0 1 0年 高考数 学 山 东卷理 科 第 1 0题 设 f X y 2 0 变量 Y满足约束条件 z 一5 1 0 o 则 目标函数 l z y 一8 0 z 一3 z 一4 的最大值和最小值分别为 A 3 1 1 B 一 3 一 1 1 C 1 1 一 3 D 1 1 3 这道题满足使用简捷方法 的条件 我们使用简捷 方 法解 答 f z 2 0 f z 2 0 z 一5 1 o 0 z 一5 1 0 0 一8 K o 8 0 解交 点得 A O 2 B 3 5 C 5 3 代人 目标 函数 得 2 0 1 1年 第1 2期 上 旬 中学盛学敷 学参考 Z A一 3 一 4 y一 0 8一 一 8 Z B一 3 z一 4 一 9 20一 一 11 Z C一 3 z一 4 一 1 5 1 2 3 故选 A 3 小结 使用简捷方法值得注意的一点是