极值方法在中学物理中的应用.pdf

中学物理 V 0 1 3 2N o 1 1 2 0 1 4 年6 月 极值方法在中学物理中的应用 俞丽萍 上虞春晖中学浙江上虞3 1 2 3 0 0 科学越是发展 数学的运用也越来越广泛 高斯曾宣称 数学是科学之王 物理是以实验为基础的科学 当高度抽象 的数学应用于强烈实践性的物理学时 数学也不得不低下 高 贵的王者之头 成为处理实际物理问题的很好的工具然而 在我们平时的教学过程中 存在着数学与物理脱节的情况 学 生将数学知识应用于处理实际物理问题的能力并不强 这就要 求我们在平时的教学过程中加强将数学方法运用到实际问题 的指导 加强学生运用数学知识处理物理问题的能力 在有些 物理问题的处理过程中 需要用到数学中求极值的方法 1 算术一几何平均数法 数学原理设善 茗 为任意两个正数 必有不等式 譬粤 i I x 丁 戈2 如果两变数之和为一定值 设x z k 则当这两个数 相等时 它们的乘积取极大值 其值为 一 X l 互 2 如果两变数的积为一定值 设X 1 石 k 则当这两个数相 等时 它们的和取极小值 其值为Y 石 石 2 I 利用两数的算术平均和几何平均的上述性质 可以方便地 计算某些极值问题 物理应用 我国是一个能源消耗的大国 节约能源刻不 容缓 设有一架直升机以加速度口从地面由静止开始竖直向上 起飞 已知飞机在上升过程中每秒钟的耗油量K p a q P q 均为常数 若直升机欲上升到某一定高度处 且耗油量最小 则其加速度应为多大7 1I g U 由h 下1m 2 得I 竺 则飞机的耗油量为 上Va V t p a g 警 p 后 压 4a 当p 石 即口 时耗油量y 最小 22 v 丽h J 8P 2 判别式法 数学原理所谓判别式法 就是使题中涉及的已知量和 未知量构成一个一元二次方程 利用解根的判别式或韦达定理 进行求解或分析 物理应用甲 乙两汽车相距s 甲在前 乙在后 沿着同 一条直线同时开始向前运动 甲以速度 匀速运动 乙由静止 开始以加速度口作匀加速运动 问什么情况下甲能追上乙 什 么情况下甲追不上乙 设从运动开始到甲追上乙的时间为t 则这段时间里甲 乙 两车的位移关系为 s 甲 V O t s 乙 口 2 这一过程中 两车的 位移间应有 s z s 5 甲 由以上三式可得 0 1 2 2 V o t 压 0 厂T 一 解得t 生尘坐 1 当口 一2 0 即 0 即口 以 时 方程有两解 一塑 型垡二 竺 一塑 至二 竺 l D 2 a 开始后t 时刻甲追上乙 此后甲超过乙 t 2 时刻乙又赶上 并超过甲 综上所述 若 0 时 则抛物线开口向上 Y 有极小值 当善 一去时 极小值 堑与亍鱼三 当口 0 时 则抛物线开口向下 Y 有极大值 当善 一去a 时 极大值 丝 二斗口 物理应用如图1 所示 在一次 国际城市运动会中 要求运动员从高 为目的平台上A 点由静止出发 沿着 动摩擦因数为肛的滑道向下运动到B 点后水平滑出 最后落在水池中 设 滑道的水平距离为工 占点的高度h 可 图l 由运动员自由调节 取g 1 0 8 2 求 1 运动员到达曰点 的速度与高度h 的关系 2 运动员要达到最大水平运动距离 B 点的高度h 应调为多大 对应的最大水平距离s 一为多少 解 1 设斜面长度为L 斜面倾角为a 由A 运动到B 过 程根据动能定理得 啷 一 1 1 一g r o g 缶蝴2 寺诚一o 解得 以g 日一h 一肛L 2 平抛运动过程 s r o t h 伊2 解得s 2 织百i 万 丽 2 州一掣 皿乎 当 曰一础 1 5m 时 j 有最大值 s 一 3m 4 三角函数法 数学原理 对于形如Y 口8 i 吡 6 c o 的函数 可先进行 三角变换 然后确定其极值条件 6 3 万方数据 2 0 1 4 年6 月V 0 1 3 2N o 1 1 中学物理 2a s i n x b c o s x 而r 高bs 洫 南a zb 一 口 2 令s i n 咖2 高 c o s 咖2 万导 则当工 咖时 一 0 2 6 2 物理应用如图4 所示 一质量m 0 4k g 的小物块 以 口 2m s 的初速度 在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下 沿 斜面向上做匀加速运动 加速度口 3m s 2 已知斜面倾角0 3 0 物块与斜面之问的动摩擦因数弘 5 3 重力加速度g 取 l Om s 2 拉力F 与斜面的夹角多大时 拉力 最 b 拉力F 的最 小值是多少 g 图4图5 设物块所受支持力为n 所受摩擦力为乃 拉力与斜面问 的夹角为a 受力分析如图5 所示 由牛顿第二定律得 F c o s a m g s i n O F f2m a 1 F s i n a n m g c o s O 0 2 又 F 肛F 3 联立 1 2 3 式得F m s s l n O F c o s 0 m a 4 c o s a 十p s l n c t 厅 Y 由数学知识得c o s 口 孚s i n a 竺 s i n 6 0 a 5 Jj 由 4 5 式可知对应 最小的夹角为d 3 0 6 1 1 厅 将具体数据代入得F 的最小值为F 抽 三半 J 如何加强学生利用数学中求极值的方法来处理物理问题 的能力呢 首先 学生需明确数学中求极值常用的四种方法 其 次 学生的头脑中需时刻有利用数学处理物理问题的意识 当 问题中出现 最大 最小 最大值 最小值 等关键词 时 往往是需要利用数学中求极值的方法来解决的 再次 学生 必须明确 只有正确的认识物理情景 理解物理问题 在物理的 表达式正确的前提下 才能正确的利用数学方法来确定极值问 题 毕竟 数学只是处理物理问题的一种有效的工具 最后 我 们在复习的过程中需要加强这方面的训练 通过具体的实例 加强学生在这方面的体验 数学在物理中应用的误区 董海密 大庆市第十三中学黑龙江大庆1 6 3 1 1 3 中学物理 尤其是高中的物理 已经从初中的定性的研究 物理规律为主 过渡到了高中的以定量研究为主 为更好的分 析和理解相关的物理学规律 常用的数学方法有两种 解析式 法和图象法 但是数学和物理学有很多的共同点 又有本质的 区别 数学是在考虑对象中产生的 然而又脱离了对象 又可以 说是思想的想象和理想的产物 而不必非得是事实 而物理学 却不同 物理 一词的最先出自希腊文妒 盯t K 原意是指自然 古时欧洲人称呼物理学作 自然哲学 从最广泛的意义上来 说即是研究大自然现象及规律的学问 汉语 日语中 物理 一 词起自于明末清初科学家方以智的百科全书式著作 物理小 识 是取 格物致理 四字的简称 即考察事物的形态和变化 总结研究它们的规律的意思 简单来讲 物理研究的对象是客 观存在的事物 物理规律也要符合事实 本文将浅谈几个常以 数学化的方法来对待的物理问题 分析可能出现的误区 使数 学方法更好的应用于物理的问题 1 图象法在物理中应用的误区 用物理图象来表示物理规律有形象 直观的优点 许多抽 象的概念用物理图象表示更加的形象化 便于学生理解 同时 也可以培养学生的探究能力和解题的技巧 因此 正确的应用 图象解决物理问题显的格外重要 1 1 误区一 对于图象中斜率的应用 例l如图l 所示为A 曰两个物体沿直线运动的速度一 时问图象 从图中我们可以看出 九A B 两个物体的初速度相同 6 4 B A 物体的加速度大于曰物体的加速度 C A 物体的加速度小于曰物体的加速度 D 如果图象中的直线与时问轴的夹角分别是0 与吼表 示 那么A B 两个物体的加速度就可以用夹角的正切值表示 即口l 2t a n O I 口22t a n 0 2 图l图2 错误解析由图1 中可以很清楚的看出A 曰两物体的初 速度为都为零 选项A 正确 加速度表示物体速度变化变慢的 物理量 图线的斜率表示表示物体的加速度 同时斜率j t a n O 所以选取项C D 也正确 误区分析 我们先来看一下数学上对斜率的定义 以及 斜率与直线与横轴的夹角的正切值的关系 斜率 亦称 角系 数 表示一条直线相对于横坐标轴的倾斜程度 一条直线与某 平面直角坐标系横坐标轴正半轴方向的夹角的正切值即该直 线相对于该坐标系的斜率 如图2 所示 斜率公式 经过两点 P 算 y P 2 石2 扎