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线性代数部分练习一 行列式的概念、基本性质及计算一 选择题1)设是三阶行列式中元素的代数余子式，则（ ）时，必有（ ） （A）j=1 (B) j=2 (C) j=3 (D) j=1 或 j=22),那么（ ）（A） 8 (B) -12 (C) -4 (D) 243) 的充要条件是（ ） 4) （）A、24 B、-24 C、42 D、0二. 计算下列三阶行列式:1) ; 2) ; 三. 计算下列行列式:1) ;2) ;四. 利用行列式的性质计算下列行列式1) ; 2) ;3) 五. 把下列行列式化为上三角形行列式, 并计算其值1) ; 2) 六. 计算下列n阶行列式1) 2) 3)七. 证明下列行列式1) 2) 练习二 克莱姆法则一 选择题 1 如果 有非零解，则（ ）（A） k=0 (B) k=1 (C) k=4 (D) k=-3或k=-12 当（ ）时 仅有零解二 计算题1 用克莱姆法则解下列方程组.(1) (2) 2. 如果齐次线性方程组有非零解, k应取什么值?3. 问, 取何值时, 齐次线性方程组有非零解? 练习三 矩阵的概念及运算 一 多项选择题1 有矩阵下列（ ）运算可行（A） （B） （C） （D）2 均为阶矩阵，当（ ）时（A） （B） （C） （D） 3 为四阶矩阵，E为单位矩阵，若，则下列各式中总是成立的有（ ）（A） （B） （C） （D） 二 计算题1 已知和，求满足方程中的X2 求A=3. 设,求: 1) 3A-2B; 2) 若X满足AT+XT=BT, 求X.4. 计算下列矩阵的乘积:1) ;2) ;3) ;4) 5. 设求: 1) (A+B)(A-B); 2) A2-B2.比较1)和2)的结果, 可得出什么结论?三 证明题1. 如矩阵AB=BA, 则称A与B可交换, 试证:1) 如果B1, B2都与A可交换, 那么B1+B2, B1B2, 也与A可交换;2) 如果B与A可交换, 那么B的k(k0)次幂Bk也与A可交换.2. 如矩阵A=AT, 则称A为对称矩阵.设A,B都是n阶对称矩阵, 证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.练习四 逆矩阵，矩阵的秩一 选择题1 若是同阶矩阵，且可逆，下式（ ）必成立（A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则2 设为非奇异对称矩阵，则（ ）仍为对称矩阵（A） （B） （C） （D）3 当时，（ ）（A） （B） （C） （D）4 已知，则（ ）（A）为可逆矩阵 （B） （C）为对称矩阵 （D）5 设为矩阵，且，则（ ）（A）中阶子式不全为零 （B）中每一个阶数大于的子式皆为零 （C）经初等变换可化为，为单位矩阵 （D）不可能是对称矩阵二 计算题1. 求矩阵A的伴随矩阵A*, 并求A-1. 2. 设A为三阶方阵, A*是A的伴随矩阵, 且|A|=1/2, 求行列式|(3A)-1-2A*|的值.3. 若n阶矩阵A满足A2-2A-4I=0, 试证A+I可逆, 并求(A+I)-1.4. 判别下列矩阵是否初等矩阵?1) , 2) , 3) , 4) 5. 求下列矩阵的逆矩阵:1) ; 2) 3) 6. 解下列矩阵方程, 求出未知矩阵X.1) 2) 7. 求矩阵X满足AX=A+2X, 其中8*. 利用分块的方法, 求下列矩阵的乘积:1) ;2) 三 证明题1. 设A为n阶可逆阵, A2=|A|I, 证明: A的伴随矩阵A*=A.2设均是矩阵，且，试证：3. 设A,B均为n阶方阵, 且, 证明: A2=A的充分必要条件是B2=I.练习五 n维向量及线性相关性一 选择题 1 有向量组，以下是它的线性组合的是（ ）（A）（2，0，0） (B) （3，0，4） (C) （1，1，0） (D) （0，1，0）2 向量组线性相关，则（） （A） 中必有零向量 (B)必线性无关 (C) 必线性相关(D) 必线性相关3 向量组的秩不为零的充分必要条件是（ ）（A）中至少有一个非零向量 （B）全是非零向量（C）线性无关 （D）中有一个线性无关的部分组二 计算题1. 设1=(1,1,1), 2=(-1,2,1), 3=(2,3,4), 求=31+22-32. 设3(1-)+2(2+)=5(3+), 求, 其中a1=(2,5,1,3) a2=(10,1,5,10) a3=(4,1,-1,1)3. 判数下列向量是线性相关还是线性无关.1) 1=(1,1), 2=(2,2);2) 1=(2,3), 2=(1,4), 3=(5,6);3) 1=(1,1,1), 2=(2,1,3), 3=(0,1,2);4) 1=(a11,0,0,0), 2=(0,a22,0,0),n=(0,0,ann);4. 设1=1+2, 2=2+3, 3=3+4, 4=4+1,且 向量组1 2 34线性无关证明：向量组1,2,3,4线性相关.5. 设向量组1,2,s 线性无关, 证明向量组1,1+2,1+2+s也线性无关.6. 设1,2,3是一组3维向量, 已知3维单位坐标向量e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)能由1,2,3线性表出, 证明1,2,3线性无关.练习六 向量组的秩1. 求下列向量组的秩, 并求出它的一个极大无关组:1) 1=(2,0,1,1), 2=(-1,-1,0,1), 3=(1,-1,0,0),4=(0,-2,-1,-1)2) 1=(1,2,1,3), 2=(4,-1,-5,-6), 3=(1,-3,-4,-7)2. 求下列矩阵的秩1) ; 2) 3. 证明: 等价的向量组有相同的秩.4. 设向量可以由向量组1,2,r-1,r线性表出, 但向量不能由向量组1,2,r-1线性表出, 试证: 向量组1,2,r-1,r与1,2,r-1,有相同的秩.5*设R为全体实数的集合, 并且设,.问V1,V2是否向量空间? 为什么?6*. 在R3中, 设S1是由1=(1,1,1),2=(2,3,4)生成的子空间, S2是由1=(3,4,5),2=(0,1,2)生成的子空间, 证明S1=S2, 并说出该子空间的维数.练习七 线 性 方 程 组1. 用Gauss消元法解下列线性方程组.1) 2)3) 4)2. 确定下列线性方程组中k的值满足所要求的解的个数.1) 无解: 2) 有唯一解: 3) 有无穷多解:4. 讨论以下述阶梯矩阵为增广矩阵的线性方程组是否有解; 如有解，区分是唯一解还是无穷多解.1)2)3)4)5. 对给定方程组的增广矩阵施行行初等变换求解线性方程组.1) 2)3)6. 对给定齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换求解下列方程组.1) 2)7设一线性方程组的增广矩阵为求的值使得此方程组有唯一解.8. 设一线性方程组的增广矩阵为1) 此方程有可能无解吗? 说明你的理由.2) 取何值时方程组有无穷多解?9. 一城市局部交通流如图所示.(单位: 辆/小时)1) 建立数学模型2) 要控制x2至多200辆/小时, 并且x3至多50辆/小时是可行的吗?练习八 相似矩阵一、计算题1、求由下列向量所构成的标准正交基:1) 1=(2,0)T, 2=(1,1)T2) 1=(2,0,0)T, 2=(0,1,1)T, 3=(5,6,0)T.2、求如下矩阵的特征值和特征向量:1); 2) ;二、1. A是3阶实对称矩阵, A的特征值为1, -1, 0. 其中=1和=0所对应的特征向量分别为(1,a,1)T及(a,a+1,1)T, 求矩阵A.三、. 已知A有特征值1和-1, 问A是否能对角化?*练习九 二次型计算题1、用初等变换将下列二次型化为标准型. ;2、判定二次型的正定性. 线性代数答案练习一 1 选择题 1.D 2. C 4. D 2. 计算下列三阶行列式: 解: 1) 将行列式按第一列展开2) 将行列式按第二行展开3. 计算下列行列式:解: 1) 将行列式按第一列展开后, 得到的各子式再按第二列展开, 这样展开后的后三列构成的任何三阶子式都至少包括一行0, 因此后三列任何三阶子式均为0, 整个行列式的值D=0.2) 将行列式按第一列展开得4. 利用行列式的性质计算下列行列式解: 下面都将所求行列式的值设为D.1) 因为第1行加到第2行以后, 第2行将和第4行相等, 因此行列式的值D=0;2) 首先从第1,2,3行分别提取公因子a,d,f, 再从第1,2,3列提取公因子b,c,e, 得3) 将第2,3,4列都展开, 并统统减去第1列, 得再将第3列减去2倍的第2列, 第4列减去3倍的第2列, 得5：解:1)2)6. 解: 1) 设此行列式的值为D, 将第2,3,n列均加于第一列, 则第一列的所有元素均为, 将此公因式提出, 因此有再令第n行减去第n-1行, 第n-1行减去第n-2行, , 第2行减去第1行, 可得2) 此题和第3题的2)一样, 因此有3)7. 证明下列行列式证: 1)2) 用归纳法, 设Dn为所求行列式值, 当n=1时, 等式成立.假设当n=k时假设成立, 即有当n=k+1时, 证毕.练习二 一 选择题 1 CD 2 C二 计算题1 1） x1=3,x2=4,x3=5. 2 ） x1=0, x2=2, x3=0, x4=0.2 要使方程组有非零解, 必须有det(A)=0.而因此, 只有当k=5或者k=2或者k=8时, 此方程组才有非零解.3 解: 要使方程组有非零解, 必须det(A)=0, 而因此, 只有当=1或者=0时, 方程组才有非零解练习三 一 选择题1 BC 2 ABCD 3 AC二 计算题1解 2.解 设，可得由二项式定理可得： 3解: 1)2)因X满足AT+XT=BT, 等号两边同时转置, 有A+X=B, 等号两边同时减去A, 得X=B-A, 因此有4 解:1)2)3)4)5 解: 1)2)可得出的结论: 大家知道, 在代数公式上有a2-b2=(a+b)(a-b), 而将此公式中的a和b换成矩阵A与B, 就不一定成立了, 这是因为矩阵乘法一般不满足交换律, 即一般ABBA, 当然也就有A2-B2(A+B)(A-B).三 证明题1证: 1) 因B1, B2都与A可交换, 即AB1=B1A, AB2=B2A, 则(B1+B2)A=B1A+B2A=AB1+AB2=A(B1+B2)即B1+B2与A可交换. 而且(B1B2)A=B1(B2A)=B1(AB2)=(B1A)B2=(AB1)B2=A(B1B2), 因此B1B2与A可交换.2)因B与A可交换, 即AB=BA, 则用归纳法, 当k=1时, 有B1=B, 结论显然成立.假设当k=m时假设成立, 即ABm=BmA, 则当k=m+1时, 有ABm+1=ABmB=BmAB=BmBA=Bm+1A, 结论也成立.2证: 已知A=AT, B=BT, 充分性: 假设AB=BA, 则(AB)T=BTAT=BA=AB, 因此AB为对称矩阵.必要性: 如果AB为对称矩阵, 即(AB)T=AB, 则因(AB)T=BTAT=BA, 可得BA=AB.练习四 一 选择题 1 AC 2 ABCD 3 D 4 A 5 ABCD二 计算题1. 解: 因此得A的行列式为因此有2. 解: 因, 以及, 还有,则3.证: 将A2-2A-4I=0改写为A2-2A-3I=I, 先解一元二次方程组x2-2x-3=0, 根据公式其中a=1, b=-2, c=-3, 则, 因此可将多项式x2-2x-3因式分解为x2-2x-3=(x-3)(x+1), 那么, 根据矩阵相乘相加的性质也就能将A2-2A-3I因式分解为A2-2A-3I=(A-3I)(A+I)=(A+I)(A-3I), 因此我们有(A-3I)(A+I)=(A+I)(A-3I)=I, 即A+I与A-3I 互为逆矩阵, (A+I)-1=A-3I.4解: 1) 是初等矩阵P(2(-2), 2) 是初等矩阵P(1,3), 3) 不是初等矩阵,4) 是初等矩阵P(3(-4), 2).5. 解: 用对A|I进行行初等变换为I|A-1的办法来求:1)因此, 最后得2)因此有)因此, 最后得6. 解: 令, 则要解的方程为AX=B将方程两边左乘上A的逆A-1, 可得A-1AX=A-1B, 即X=A-1B下面求A-1:因此有因此2) 令则矩阵方程为XA=B设A的逆存在为A-1, 则方程两边右乘A-1, 得XAA-1=BA-1, 即X=BA-1下面求A-1:因此, 最后得7 解: 将方程两边减去2X, 得AX-2X=A因2X=2IX, 因此上面的方程可以从右边提取公因子X, 得(A-2I)X=A假设A-2I可逆, 则方程两边同时左乘(A-2I)-1, 得(A-2I)-1(A-2I)X=(A-2I)-1A, 即X=(A-2I)-1A设B=A-2I, 则X=B-1A, 而下面用行初等变换求B的逆B-1:则最后得验算: 8 解:1) 将乘积分块为其中2) 将乘积分块为三 证明题1 .证: 因A可逆, 则在等式A2=|A|I两边乘A-1, 得A=|A|A-1, 即, 而因为, 所以有A=A*, 证毕.2证3证: 充分性: 假设B2=I, 则必要性: 如果A2=A, 则有等式两边乘4得,等式两边同时减去2B+I得B2=I证毕.练习五 一 1） AB 2）D 3）A二 计算题1解: =31+22-3=3(1,1,1)+2(-1,2,1)-(2,3,4)=(3,3,3)+(-2,4,2)-(2,3,4)=(3-2-2, 3+4-3, 3+2-4)=(-1, 4, 1)1=(2,5,1,3), 2=(10,1,5,10), 3=(4,1,-1,1)2 解: 将上述方程整理:31-3+22+2=53+5-3+2-5=-31-22+53(-3+2-5)=-31-22+53-6=-31-22+53最后得3 解: 1) 考察齐次方程x11+x22=O,即x1(1,1)+x2(2,2)=(0,0),整理得(x1+2x2, x1+2x2)=(0,0),再写成如下的形式:对系数矩阵进行行初等变换:存在一自由变量x2, 方程有非零解, 因此1,2线性相关.2) 考察齐次方程x11+x22+x33=O即x1(2,3)+x2(1,4)+x3(5,6)=(0,0)整理得(2x1+x2+5x3, 3x1+4x2+6x3)=(0,0)再写成如下形式:则因方程数少于变元数, 必有非零解, 因此1,2,3线性相关.3) 考察齐次方程x11+x22+x33=O即x1(1,1,1)+x2(2,1,3)+x3(0,1,2)=(0,0,0)整理得(x1+2x2, x1+x2+x3, x1+3x2+2x3)=(0,0,0)再写成如下形式:对系数矩阵进行初等行变换方程没有自由变量, 只有唯一零解, 因此1,2,3线性无关.4) 考察齐次方程x11+x22+xnn=O,即x1(a11,0,0,0,0)+x2(0,a22,0,0,0)+xn(0,0,0,ann)=(0,0,0)整理得(a11x1,a22x2,annxn)=(0,0,0)再写成如下形式:由于, 此齐次方程组只有零解, 因此1,2,n线性无关.4. 证: 只须证明齐次方程x11+x22+x33+x44=O(1)有非零解, 即证明了向量组1,2,3,4线性相关. 将1=1+2, 2=2+3, 3=3+4, 4=4+1代入(1)式, 得x1(1+2)+x2(2+3)+x3(3+4)+x4(4+1)=O整理后得(x1+x4)1+(x1+x2)2+(x2+x3)3+(x3+x4)4=O因此, 只须找到不全为零的x1,x2,x3,x4使得上式中的1,2,3,4,的系数等于0, 则命题得证.也就是要使(2)解此齐次方程组, 对系数矩阵进行行初等变换得:方程有一个自由变量x4, 因此方程组(2)有非零解, 此解也就满足方程组(1), 因此1,2,3,4线性相关.5 证: 考察齐次方程组x11+x2(1+2)+xs(1+2+s)=O(1)整理后得(x1+x2+xs)1+(x2+xs)2+xss=O(2)因为1,2,s线性无关, 因此要使(2)式乃至(1)式成立必有(2)中的1,2,s的各个系数为0, 即此齐次方程组的系数矩阵为上三角方阵, 对角线上元素全为1, 因此只有零解, 即齐次方程组(1)也只有零解, 因此向量组1,1+2,1+2+s线性无关.6证: 用反证法, 假设1,2,3线性相关, 则存在不全为零的数x1,x2,x3, 使得x11+x22+x33=O不妨假设x10, 则可得, 既然1可由2,3线性表出,即1,2,3可由2,3线性表出, 则根据题意e1,e2,e3又可被1,2,3线性表出, 则e1,e2,e3可被2,3线性表出, 则三个向量可被少于三个的向量线性表出, 其必线性相关. 但我们知道e1,e2,e3线性无关, 因此导出矛盾. 这就证明了1,2,3必线性无关.练习六 1解: 1) 解齐次方程组x11+x22+x33+x44=O, 化成AX=O的形式, 对其系数矩阵A作行初等变换成阶梯矩阵, 首项变元的个数为向量组的秩, 而首项变元对应的向量构成极大无关组.则首项变元x1,x2,x3对应的向量1,2,3构成极大无关组, 因此向量组的秩为3.2) 解齐次方程组x11+x22+x33=O, 化成AX=O的形式, 对其系数矩阵A作行初等变换成阶梯矩阵, 首项变元的个数为向量组的秩, 而首项变元对应的向量构成极大无关组.首项变元数为2个，因此秩为2，首项变元x1,x2对应的向量1,2构成极大无关组.2解: 求矩阵A的秩, 就是求A作为系数矩阵的齐次方程组AX=O的解中首项变元的数目. 因此将A作行初等变换变成阶梯矩阵后, 不为零的行数就是A的秩.1) 因此A的秩为22)秩为3.3证: 假设向量组1,2,n和向量组1,2,m相互等价, 其中向量组1,2,n的秩为r, 不妨假设其头r个向量1,2,r为它的一个极大无关组, 而向量组1,2,m的秩为s, 不妨假设其头s个向量1,2,s为它的一个极大无关组. 则因为向量组1,2,n和向量组1,2,m相互等价, 必有它们的极大无关组1,2,r和1,2,s相互等价, 则两个线性无关的向量组相互等价, 必有它们的个数相同, 即r=s.4证: 因可以由向量组1,2,r-1,r线性表出, 即存在一组数c1,c2,cr-1,cr使得=c11+c22+cr-1r-1+crr(1)现证明cr0, 如若不然, cr=0, 则上式就成为=c11+c22+cr-1r-1, 但这与题意所述不能由向量组1,2,r-1线性表出相矛盾. 因此将(1)式的两边减, 然后两边减crr, 两边再乘(-1/cr), 可得即r可由向量组1,2,r-1,线性表出, 当然向量组1,2,r-1,也可由向量组1,2,r-1,r线性表出, 这两个向量组等价, 因此必有相同的秩.5 解: (一般的技巧: 凡是对Rn作一个齐次线性方程的约束的集合都是向量子空间, 而作非齐次线性方程的约束的集合则因为它不穿过原点, 就不是向量子空间).V1是向量空间, 且是Rn的向量子空间, 因为, 而任给, 设则令, 则因,则,因为, 而则,因此, V1是Rn的向量子空间.而V2不是向量空间, 是因为, 零向量O不属于V2, .6解: 要证明S1=S2只须证明1,2与1,2相互等价, 也就是要验证1,2能够被1,2线性表出, 同时1,2也能够被1,2线性表出.首先验证1,2能够被1,2线性表出, 先验证1能够被1,2线性表出, 就是要解线性方程组x11+x22=1, 写成标准的线性方程组的形式为对其增广矩阵作初等行变换成为行最简矩阵:方程有唯一解x1=1/3, x2=-1/3. 因此1能够被1,2线性表出为(1)再验证2能够被1,2线性表出, 就是要解线性方程组x11+x22=1, 写成标准线性方程组的形式为对其增广矩阵作初等行变换成为行最简矩阵:方程有唯一解x1=2/3, x2=1/3. 因此1能够被1,2线性表出为(2)将(1)式和(2)式等号两边分别相加, 得而(1)式两边乘-2再加到(2)式, 可得因此1,2也能够被1,2线性表出. 所以两个向量组生成的子空间S2=S2.下面讨论1,2是否线性无关, 即解齐次方程x11+x22=O, 即解如下方程:对此方程的系数矩阵作行初等变换可见方程没有自由变量, 只有唯一零解, 因此1,2线性无关, 构成S1的一组基, 因此S1的维数是2. 练习七 1解: 1) 对增广矩阵进行变换:则x3为自由变量, 令x3=t为任意实数, 则x1=10-3t, x2=5t-7, 方程有无穷多解, 解集为：(10-3t, 5t-7, t).2) 对增广矩阵进行变换:则x3为自由变量, 令x3=t为任意实数, 则x1=-t, x2=2t-1, 解集为(-t, 2t-1, t).3) 对增广矩阵进行变换:方程有唯一解x1=x2=x3=x4=1.4) 此为齐次方程, 对系数矩阵进行变换可知方程有唯一零解x1=x2=x3=0.2解:1) 对增广矩阵作变换:因此, 要使方程组无解, 须使8-3k=0, 解得k=8/3, 即当k取值为8/3时, 方程无解.2) 对增广矩阵作变换:因此, 如要方程组有唯一解, 必须有, 即.3) 对增广矩阵作变换因此, 如要方程组有无穷多解, 必须4-4k=0, 即当k=1时, 方程组才有无穷多解.4解: 1) 方程组有一个自由变元x2, 因此方程组有无穷多解.2) 方程组的三个变元均为首项变元, 因此方程组有唯一解.3) 第三个方程0=4说明此方程无解.4) 方程组的三个变元均为首项变元, 因此方程组有唯一解.5解: 1) 对增广矩阵进行变换:方程组无解.2) 对增广矩阵进行变换可以看出y和w为自由变元, 则令y=s, w=t, s与t为任意常数, 则x=100-3s+96t,z=54+52t. 方程的解集表示为(100-3s+96t, s, 54+52t, t).3) 对增广矩阵进行变换可知y与z为自由变元, 令y=s, z=t, s与t均为任意实数, 则, 方程组的解集为6解: 1) 对系数矩阵作初等变换.方程只有零解, x=y=z=0.2) 对系数矩阵作初等变换因此, w为自由变元, 令w=t为任意实数, 则x=-2t, y=0, z=t, 方程组的解集为(2t, 0, t, t).7解: 对增方矩阵求初等变换因此, 此方程组要有唯一解, 就必须满足+20, 即-2.8解: 1) 此方程必有解, 因为此方程是齐次方程, 至少有零解.2) 对此增广矩阵做初等变换因此, 只有当+5=0, 即=-5时,方程才有无穷多解.9解: 1 将上图的四个结点命名为A, B, C, D, 如下图所示:则每一个结点流入的车流总和与流出的车流总和应当一样, 这样这四个结点可列出四个方程如下:对增广矩阵进行变换:可见x3和x5为自由变量, 因此令x3=s, x5=t, 其中s,t为任意正整数(车流量不可能为负值), 则可得x1=500-s-t, x2=s+t-200, x4=350-t.2) 令x2=200, x3=s=50, 代入上面的x2的表达式, 得200=50+t-200, 求出t=350, 则x1=500-s-t=100, x4=0, 是可行的。 练习八 一、计算题1. 1) 解: 用斯密特正交化方法, 1=1=(2,0)T,再进行规范化, 令则1, 2构成标准成交基.2) 1=(2,0,0)T,另有因此对1,2,3作规范化得2解: (注: 对于三阶以上矩阵, 没有多少可以解出特征值的好办法, 通常是尝试0,1,2,-1,-2这几个值是否特征值, 通过这样的尝试找出一个特征值之后, 通过因式分解将多项式化为二次方程再解余下的两个根).1) 特征方程为解出两个特征值为:即两个特征值1=1, 2=-5,对1=1, 解齐次线性方程组, 容易看出方程有一个自由变元x2, 令x2=t为任意常数, 则x1=x2=t, 因此通解为, 则求得1=1对应的特征向量为t(1,1)T.对2=5, 解齐次线性方程组, 此方程也有一个自由变元x2, 令x2=t为任意常数, 则因此通解为, 则求得2=5对应的特征向量为t(-2,1)T2) 特征方程为因此特征值为1=2=7, 3=-2.对于特征值1=2=7, 解齐次方程对系数矩阵作行初等变换, 方程有两个自由变元x2,x3, 令x2=s, x4=t, s,t为任意实数， 则写成向量形式有,因此特征值1=2=7对应的特征向量为s(-1/2,1,0)T, t(-1,0,1)T.对于特征值3=-2, 解下面的齐次方程对系数矩阵作行初等变换有一个自由变元x3, 令x3=t为任意常数, 则x1=x3=t, x2=(1/2)x3=(1/2)t, 写成向量形式, 得因此特征值3=-2对应的特征向量为t(1,1/2,1).二、.解: 此题原本不适宜在这一章做. 因为A是实对称矩阵, 则必有它的各个不同特征值对应的特征向量相互正交, 因此特征向量(1,a,1)与(a,a+1,1)正交, 即对应分量相乘相加后等于0, 即, 因此a=-1, =1和=0对应的特征向量为1=(1,-1,1)T及2=(-1,0,1)T, 则因剩下的那个特征向量, 即=-1对应的特征向量3=(x1,x2,x3)T必与1和2正交, 由此可得下面的齐次方程组:对其系数矩阵作行初等变换, 方程有一个自由变量x3, 令x3=t为任意常数, 则x1=x3=t, x2=2x3=2t, 写成向量形式, 有, 因此t(1,2,1)T为特征值-1对应的特征向量, 可令3=(1,2,1).T将这三个向量规范化得 则令则必有, 因此有三、.解: 将已知的特征值1和-1分别代入特征方程, 可得关于a和b的两个方程, 先将特征值1代入特征方程得得a=-1,再将特征值-1代入特征方程得将a=-1代入上式, 得因此有a=-1,b=-3, 则看A除了1和-1外还有没有其它的特征值, 再重解特征方程,因此知道矩阵A除了1和-1这两个特征值外还有一个特征值-2, 这样三个不同的特征值必有三个线性无关的特征向量, A可对角化.练习九1.解: 对应的矩阵为 对(A|I)进行初等变换如下:故有使得则令线性替换则有. 2、. 解: 二次型的矩阵为, 其特征方程为我们已经得到一个特征值为1外, 还要解一元二次方程, 得另两个特征值为, 则存在一个小于0的特征值, 则此二次型即非正定的, 也非负定的.概率论与数理统计部分 练 习 一一、选择题：(1) 设、为任意三个事件,用、表示“至多有三个事件发生”为 ( )() () () () (2) 在某学校学生中任选一名学生,设事件“选出的学生是男生”;“选出的学生是三年级学生”;“选出的学生是篮球运动员”.则的含义是 ( )() 选出的学生是三年级男生 () 选出的学生是三年级男子篮球运动员() 选出的学生是男子篮球运动员 () 选出的学生是三年级篮球运动员(3) 掷一颗 的试验,观察其出现的点数,记“掷出偶数”;“掷出奇数点”;“掷出的点数小于5”;“掷出1点”.则下述关系错误的是 ( )() () 与互不相容 () () (4) 某事件的概率为0.2,如果试验5次,则该事件 ( )() 一定会出现1次 () 一定会出现5次 () 至少会出现1次 () 出现的次数不确定(5) 对一个有限总体进行有放回抽样时,各次抽样的结果是 ( )() 相互独立 () 相容的 () 互为逆事件 () 不相容但非逆事件(6) 若=0.,则 ( )() 0.25 () 1 () 0.75 () 不确定二、填空题：1. 在十个数字0、1、2.9中任取四个数（不重复），则能够排成一个四位数的偶数的概率为 2. 一个小组有10个学生，则这个小组10个学生都不同生日的概率是 （设一年365天）3. 设袋中有五只白球，3只黑球。从中任取2只，则取的两只都是白球的概率是 4. 设A、B是两个随机事件，P（A）=0.6，P（A-B）=0.2，P（AB）= = 5. 一大型超市声称,进入商店的小偷有60%可以被电视监测器发现,有40%被保安人员发现,有20%被监测器和保安人员同时发现,试求小偷被发现的概率. 三、 设、表示三个事件,利用、表示下列事件:(1) 发生,、都不发生; (2) 、都发生,不发生;(3) 所有三个事件都发生; (4) 三个事件中至少有一个发生;(5) 三个事件都不发生; (6) 只有发生;(7) 只有不发生; (8) 不多于一个事件发生;(9) 不多于两个事件发生; (10) 三个事件中至少有两个发生.四、 向指定的目标射三枪,以,分别表示事件“第一、二、三枪击中目标”,试用,表示以下事件:(1) 只击中第一枪; (2) 只击中一枪; (3) 三枪都未击中; (4) 至少击中一枪.五、在某城市中只发行A、B、C三种报纸，在这三种中，居民订购A的占45%、订购B的占35%、订购C的占30%；同时订购A、B的占10%，同时订购A、C的占8%，同时订购B、C的占5%；同时订购A、B、C的占3%，试求下列百分率：（1）只订购A的；（2）只订购A、B的；（3）只订一种的；（4）正好订两种的；（5）至少订购一种的；（6）不订购任何一种的。六、袋中有10个球，分别编有1到10号码，从中任取3球（不放回）求（1）最小号码是5的概率；（2）最大号码是7的概率。七、将n只球随机地放入N（N1）个盒子中去，假定盒子的容量不限，试求每个盒子至多有一个球的概率。八. 对100家企业2001年、2002年的经营情况进行调查,得到的结果是:有55家企业两年都盈利,有15家企业两年都亏损,其余的企业都为一年盈利、一年亏损,其中先盈后亏的企业有20家,现从中任选一家企业,求:(1) 它在2002年是盈利的概率; (2) 它在2001年是亏损的概率;(3) 它连续两年是盈利的概率; (4) 它连续两年是亏损的概率.(5) 已知它在2001年是盈利,求它在2002年是盈利的概率;(6) 已知它在2001年是亏损,求它在2002年是亏损的概率;练 习 二 一、选择题：1、 已知=0.4,0.6,则事件和 ( )() 相容但不独立 () 独立但不相容 () 独立且相容 () 不独立也不相容 2、某人花钱买了三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立的,中奖的概率分别为=0.03, ,如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱,则此人赚钱的概率是 ( )() 0.05 () 0.06 () 0.07 () 0.083、 三人抽签决定谁可以得到唯一的一张足球票.现制作两张假票与真足球票混在一起,三人依次抽取,则 ( )() 第一人获得足球票的机会最大 () 第三人获得足球票的机会最大 () 三人获得足球票的机会相同 () 第三人获得足球票的机会最小4、 已知=0.5, ,0.6,则 ( )() 0.2 () 0.45 () 0.6 () 0.755、.每次试验的成功率为，则在3次重复的试验中，至少失败一次的概率是 A. ；B. ；C. ；D. 6、对于事件A、B，命题 （ ）是正确的：A.如果A、B互不相容，那么也、互不相容；B.如果A、B独立，那么、也独立；C.如果A、B相容，那么、也相容；D.如果A、B对立，那么、也对立。二、填空题1.某种动物由出生活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,问现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 ； 2.设袋中有10个球，其中2个带有中奖标志，两人分别从带中任取一球，问第二个人中奖的概率是 .三、甲、乙两城市都位于长江下游,根据一百余年来,气象的记录,知道甲、乙两城市一年中雨天占的比例分别为20%和18%,两地同时下雨的比例为12%,问(1) 甲市为雨天时,乙市为雨天的概率是多少? (2) 乙市为雨天时,甲市为雨天的概率是多少(3) 甲、乙两城市至少有一个为雨天的概率是多少?四 、某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,（1）求全厂产品的次品率.（2）如果从全厂的产品中任意抽取一件，恰好是次品，问着件次品是甲车间生产的概率是多少 五、已知一个家庭有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个是（假设一个小孩是男孩或者女孩是等可能的）六、甲、乙、丙三人向同一飞机射击,设甲、乙、丙射中的概率分别为0.4,0.5,0.7若只有一人射中，飞机被击毁的概率为0.2; 若恰有二人射中，飞机被击毁的概率为0.6; 若三人同时射中飞机一定被击毁.求飞机被击毁的概率七：由长期统计的资料得知，某一地区在四月份下雨（事件A）的概率为4/15，刮风（事件B）的概率为7/15，既刮风又下雨的概率为1/10，求 八、当P（A）=a,P(B)=b0时 练 习 三一、选择题(1)随机变量的取值总是( )() 正的数 () 整数 () 有限个数 () 实数(2) 下面哪一个符合概率分布的要求 ( )() () () () (3) 离散型随机变量的分布为,则= ( )() 0.05 () 0.1 () 0.2 () 0.25(4) 随机猜测”选择题”的答案,每道题猜对的概率为0.25,则4道选择题相互独立猜对2道及2道以上的概率约为 ( )() 0.1； () 0.3； () 0.5； () 0.7.二、 将一枚硬币连续抛两次,以表示所抛两次中出现正面的次数,试写出随机变量的分布律.三、 若服从二点分布,且,求的分布律.四、 在8根灯管中混有2根坏灯管,现从中任取3根灯管, 为取得的好灯管数,试在下列两种情况下求的分布律. (1) 无放回地取3根灯管