2011高三文科数学(人教版)总复习 第五章第3节三角函数的图像与性质.ppt

本课件主要使用工具为office2003 Mathtype5 0 几何画板4 0 flashplayer10 0 1 函数y sin 2x 是 A 最小正周期为2 的偶函数B 最小正周期为 的偶函数C 最小正周期为 的奇函数D 最小正周期为 的非奇非偶函数 C 因为f x sin 2x sin2x 所以f x sin 2x sin2x f x 且T 所以选C 易错点 没有化简三角函数式 认为函数是非奇非偶函数 2 函数y 2sinx 1 x 0 的值域是 A 1 1 B 1 1 C 1 3 D 1 3 因为x 0 所以sinx 0 1 所以y 1 3 选C C 3 函数y sin 2x 的图象的一个对称中心为 A 0 B 0 C 0 D 0 方法一 因为当x 时 y sin sin0 0 所以选C 方法二 y sin 2x cos2x 所以当x 时 y cos 0 选C C 4 函数y 2tan 2x 9的定义域是 最小正周期是 由2x k k Z 可得原函数的定义域为 T 填 5 比较大小 sinsin 填 或 sin 所以sin sin 1 正弦曲线 余弦曲线的定义 正弦函数y sinx的图象和余弦函数y cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线 2 周期函数定义 对于函数f x 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内的每一个值时 都有f x T f x 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数T叫做这个函数的周期 3 三角函数的图象与性质 续表 续表 4 正切函数y tanx的图象与性质 1 正切函数y tanx的图象 如右图所示 2 定义域 x x k k Z 3 值域 R 4 周期性 最小正周期是 5 奇偶性 奇函数 6 单调性 在 k k k Z上单调递增 7 对称性 对称中心坐标是 0 k Z 重点突破 求三角函数的定义域求函数的定义域 利用二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0 得到三角函数的不等关系 然后利用函数的图象或三角函数线求解 因为2cos2x 1 0 所以cos2x 由余弦函数的图象或余弦函数线可得 2k 2x 2k k Z 所以原函数的定义域是 k k k Z 求函数的定义域一般是根据式子的结构有意义得到自变量所要满足的不等关系 所以求函数的定义域实质是解不等式 组 三角不等式的解法一般利用三角函数的图象或三角函数线 求不等式 组 的解集可借助数轴 求函数y log2 sinx cosx 的定义域 依题意得 sinx cosx 0 所以sinx cosx 根据三角函数线可得原函数的定义域是 重点突破 求三角函数的最值及单调性已知函数f x 2sin 3x 3 x R 求函数f x 的最小正周期 求函数f x 的最小值及取得最小值对应的自变量x的取值集合 求函数f x 的单调递减区间 求形如y Asin x 的三角函数的周期可以直接利用公式 求解 求有关y Asin x b x R的值域这类问题 关键在于充分利用好正 余弦函数的有界性 即sinx 1 cosx 1 在求相应的自变量的取值时 常用换元的观点 将 x 看作一个整体 从而确定x的取值集合 求有关y Asin x b x R的单调区间时 首先把x的系数化为正数 再利用整体代换 即将 x 看作一个整体代入相应的不等式中 求解出自变量x的范围 求复合函数的单调区间时 要先求定义域 再注意内层 外层函数的单调性 当sin 3x 1时 ymin 2 所以3x 2k k Z 所以当x x x k k Z 时 ymin 2 设y 2t t sinu u 3x 因为y 2t 在R上单调递增 u 3x 在R上也是单调递增 所以t sinu在u 2k 2k k Z上单调递减 所以f x 在 k Z上是递减函数 在求解有关y Asin x b x R或y Acos x b x R的性质问题时 常要用到换元的观点将 x 看作一个整体 将函数转化为y Asint t R或y Acost t R的问题 利用正 余弦函数的图象来解决 在具体操作时 可充分利用正 余弦函数的周期性 先在一个周期内研究解决 再推广到整个定义域范围内 已知函数f x 2cos 3x 若x R 求函数f x 取得最大值时自变量x的取值集合及最大值 若x 0 求函数f x 的值域与单调递增区间 当cos 3x 1时 ymax 2 此时3x 2k k Z 所以x k k Z 所以当x x x k Z 时 ymax 2 原函数可转化为y 2t t cosu u 3x 因为0 x 所以 u 所以 t 1 所以函数f x 的值域为 2 因为y 2t在R上单调递减 u 3x 在R上单调递增 所以当t cosu在u 2k 2k k Z上单调递减 所以函数f x 在 k Z上单调递增 所以函数f x 在 0 上的单调递增区间为x 重点突破 三角函数的值域及对称性 奇偶性 已知直线x 是函数f x sin 2x 0 的值域为 5 4 求实数a b的值 由直线x 是函数f x sin 2x 图象的一条对称轴 可知直线x 必须通过函数f x sin 2x 图象的最高点或最低点 即当x 时函数f x 1 从而确定的值 解决本题的关键是要先确定函数在已知区间的单调性 从而确定在何处取得最大值 最小值 从而得到关于a b的方程 进而求出a b的值 因为直线x 是函数f x sin 2x 图象的一条对称轴所以sin 1 所以 k k Z 所以 k k Z 因为 所以 由 知 f x sin 2x 设y 2at a b t sinu u 2x 因为0 x 所以 u 所以 t 1 因为a 0 则 2a 0 所以y关于t 1 上单调递减 ymax 2a b 4ymin a b 5 所以 所以a 3 b 2 对于有关y Asin x b x R或y Acos x b x R的对称性 要充分利用它的几何特征 从而得到代数关系求解 对于有关y Asin x b x R或y Acos x b x R给定自变量取值范围的值域问题 需要将 x 换元为t 转化为t的取值范围 原函数化为y Asint或y Acost 从而求解 已知函数f x sin2x cos2x 1 求函数f x 的最小正周期 令g x f x a 若函数g x 在区间 上的最小值为3 求实数a的值 令h x f x 判断函数h x 的奇偶性 并说明理由 所以函数f x 的最小正周期为T 因为 x 所以 f x 2 因为g x f x a 所以 g x min a 3 所以a sin 2x 1 cos2x 1 因为函数h x 的定义域为R 且h x cos 2x 1 cos2x 1 h x 所以函数h x 在R上是偶函数 求函数y cos2x 2sinx 2 x R的最大值与最小值 利用sin2x cos2x 1将cos2x化为1 sin2x 使式子的三角函数名统一 再用换元转化为二次函数在闭区间上的最值问题来解决 y cos2x 2sinx 2 1 sin2x 2sinx 2 sin2x 2sinx 1 所以y sinx 1 2 因为x R 所以sinx 1 1 所以函数关于x 1 1 上单调递减 所以当x 1时 ymax 0 所以当x 1时 ymin 4 当三角函数式中有sinx cosx两种函数名时 可以利用sin2x cos2x 1统一为同种函数名 对于形如y psin2x qsinx r p 0 的三角函数最值问题 可利用换元的方法 转化为二次函数在闭区间的最值问题 解答时仍然用到数形结合 分类讨论的思想来解决 1 三角函数的周期求y Asin x 或y Acos x 及y Atan x 的周期通常有三种方法 1 定义法 2 公式法 及求之 3 图象法 2 三角函数的定义域求三角函数的定义域 既要注意一般函数的定义域的规律 又要注意三角函数的特殊性 若出现tanx 则x k k Z 求三角函数定义域时 通常是使用三角函数线和单位圆及数轴来寻求它们的交集 3 三角函数的奇偶性判断三角函数的奇偶性与一般函数的判断步骤一致 1 看定义域是否关于原点对称 2 判断f x 与f x 的关系 3 给出结论 在具体操作时 要注意对三角函数式的等价变形 4 三角函数的单调性 1 求有关y Asin x b x R的单调区间时 首先把x的系数化为正数 再利用整体代换 即将 x 看作一个整体代入相应的不等式中 求解出自变量x的范围 求复合函数的单调区间时 要先求定义域 再注意内层 外层函数的单调性 2 对函数y Acos x 及y Atan x 的单调性的讨论方法相同 5 三角函数值大小比较 比较三角函数值大小的一般步骤 1 先判断正负 2 利用函数的奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间的两个同名函数 3 利用单调性比较 6 应注意数形结合思想 等价转化思想的运用 充分利用三角函数的周期性和图象的直观性来解答三角函数的值域 最值 比较大小 解简单的三角方程 不等式等问题 1 2009 辽宁卷 已知函数f x sin x 0 的图象如图所示 则 由图象可得最小正周期为 所以 解得 本题考查函数f x sin x 的图象与周期的性质 在解题时 由图象得到周期 再由周期公式求出 的值 2 2009 北京卷 已知函数f x 2si