高中数学第二讲二圆内接四边形的性质与判定定理成长学案新人教A版选修.docx

二 圆内接四边形的性质与判定定理主动成长夯基达标1.已知四边形ABCD是圆内接四边形,下列结论中正确的有（）如果AC,则A90如果AB,则四边形ABCD是等腰梯形A的外角与C的外角互补ABCD可以是1234A.1个B.2个C.3个D.4个思路解析:由“圆内接四边形的对角互补”可知:相等且互补的两角必为直角;两相等邻角的对角也相等(亦可能有ABCD的特例);互补两内角的外角也互补;两组对角之和的份额相等(这里1324).因此得出正确,错误.答案:B2.圆内接平行四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.等腰梯形D.矩形思路解析:由于圆内接四边形对角互补,平行四边形的对角相等,所以圆内接平行四边形的各角均为直角,故为矩形.答案:D3.如图2-2-6所示,AB、CD都是圆的弦,且ABCD,F为圆上一点,延长FD、AB交于点E.求证:AEACAFDE.图2-2-6思路分析:连结BD,则BDAC,即证AEBDAFDE.证明:连结BD,ABCD,BDAC.A、B、D、F四点共圆,EBD=F.E为EBD和EFA的公共角,EBDEFA.=.=,即AEACAFDE.4.如图2-2-7所示,在ABC中,AB =AC,延长CA到P,再延长AB到Q,使得AP =BQ.求证:ABC的外心O与A、P、Q四点共圆.图2-2-7思路分析:要证O、A、P、Q四点共圆,只需证CPO =AQO即可.为此,只要证CPOAQO即可.证明:连结OA、OC、OP、OQ.在OCP和OAQ中,OC =OA,由已知CA =AB,AP =BQ,CP =AQ.又O是ABC的外心,OCP =OAC.由于等腰三角形的外心在顶角平分线上,OAC =OAQ,从而OCP =OAQ.OCPOAQ.CPO =AQO.O、A、P、Q四点共圆.5.如图2-2-8,在等腰三角形ABC中,AB =AC,D是AC中点,DE平分ADB,交AB于E,过A、D、E的圆交BD于N.求证:BN =2AE.图2-2-8思路分析:要证BN =2AE,由已知有AB=AC =2AD,所以只需证=.而又因为AE =NE,所以只需证=,这可由BNEBAD证得.证明:连结EN,四边形AEND是圆内接四边形,BNE =A.又ABD =EBN,BNEBAD.=.AB =AC,AC =2AD,AB =2AD.BN =2EN.又ADE =NDE,AE =EN,AE =EN,BN =2AE.6.如图2-2-9,已知四边形ABCD内接于O,边AB与DC的延长线交于点E,边AD与BC的延长线相交于点F,EG与FG分别是AEC和AFC的角平分线.求证:EGFG.图2-2-9思路分析:注意到EG平分AED,因此，要证GFGE,只要构造等腰三角形，便可利用三线合一的性质来证.证明:延长FG交AB于M,四边形ABCD内接于O,NCF =A.MNE =NFC+NCF,MNE =NFC+A.又FG平分AFB,AFM =NFC.MNE =A+AFM.又NME =A+AFM,MNE =NME,即EM =EN.又GE平分MEN,GEMN,即EGFG.7.如图2-2-10,已知半圆的直径AB =6 cm,CD是半圆上长为2 cm的弦,AC与BD延长线交于P,当弦CD在半圆上滑动时,求证:P为定值,并求出这个定角的正弦值.图2-2-10思路分析:要证P为定值,考虑求出P的三角函数值,因此,构造以P为内角的直角三角形,注意到AB为直径,则连结BC、AD均可得到直角三角形.解:连结BC,CD为定长,圆直径为定值,在CD滑动过程中,CD的度数不变,PBC为定值.又AB为直径,ACB =PCB=90,P =90-PBC为定值.PCD =PBA,PCDPBA.在RtPBC中,cosP =,sinP =.8.如图2-2-11,已知四边形ABCD内接于O,AB是直径,AD =DC,分别延长BA、CD交于点E,BFEC,交EC的延长线于F,若EA =AO,BC =12.求CF的长.图2-2-11思路分析:在RtCFB中,已知BC=12,要求CF,只有寻找与它相似的三角形,根据四边形ABCD内接于O,则BCF =BAD,因此连结BD,构造RtBAD,下面证明BADBCF.解:连结OD、BD,AD = DC,AD =DC.ABC m m m AOD.ODBC.=.EA =AO =BO,BC=12,OD =8.AB =16,EB =24.四边形ABCD内接于O,EDA =EBC.EDAEBC.= =.设AD =CD =x,ED =y,则= =,解得, ,.AB为O的直径,ADB =F =90.又DAB =FCB,RtADBRtCFB.=,即=,.走近高考9.如图2-2-12所示,在半径为1的O中,引两条互相垂直的直径AE和BF,在EF上取点C,弦AC交BF于P,弦CB交AE于Q.证明四边形APQB的面积是1.图2-2-12思路分析:由已知条件可以证明四边形ABEF是正方形,且边长为2,则正方形面积为2.而ABD的面积为正方形面积的一半,所以,只需证明S四边形APQB =SABD,即证SBPD=SBPQ,即证DQPB.因为BPAE,所以,只需证DQAE.证明:AE、BF为互相垂直的两条直径,垂足O为圆心,AE、BF互相平分、垂直且相等.四边形ABEF是正方形.ACB =AEF =45,即DCQ =QED.D、Q、E、C四点共圆.连结CE、DQ,则DCE +DQE =180.AE为O的直径,DCE =90,DQE =90.FOE =90,进而DQBF,SBPQ =SBPD,SABP +SBPQ =SABP +SBPD,即S四边形ABQP =SABD.O的半径为1,正方形边长为,即AB =AF =.S四边形ABQP =SABD= ABAF =1.10.如图2-2-13,ABC的A的外角平分线交ABC的外接圆于点D.求证:AB +AC2BD.图2-2-13思路分析:因为比较的是两条线段的和与另一条线段的大小,所以应将两条线段的和转化为一条线段,故可延长BA到E,使得AE =AC,然后比较BE与2BD的大小关系.证明:在BA延长线上取点E,使得AE=AC.连结DC、DE、BD.AE =AC,1=2,AD =AD,ADE ADC.DE =DC.在BED中,BEBD +DE =BD+DC,即AB +ACBD +DC.ABCD是圆内接四边形,1=BCD.又2 =DBC,1=2,BCD =DBC.BD =DC.因此AB+AC2BD成立.11.如图2-2-14,已知P为正方形ABCD的对角线BD上一点,通过P作正方形的边的垂线,垂足为E、F、G、H.你能发现E、F、G、H是否在同一个圆上吗？试说明你的猜想.图2-2-14思路分析:根据正方形的对称性,可以猜想,此四个点应当在以O为圆心的圆上,于是连结线段OE、OF、OG、OH,再设法证明这四条线段相等.解:猜想:E、F、G、H四个点在以O为圆心