高考数学考点解析——数列部分.doc

高考数学考点解析数列部分1、 数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集1,2，3，n）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如（1）已知，则在数列的最大项为_（答：）；（2）数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为_（答：）；（3）已知数列中，且是递增数列，求实数的取值范围（答：）；（4）一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是 （）（答：A）2.等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断方法：定义法或。如设是等差数列，求证：以bn= 为通项公式的数列为等差数列。（2）等差数列的通项：或。如(1)等差数列中，则通项（答：）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_（答：）（3）等差数列的前和：，。如（1）数列 中，前n项和，则，（答：，）；（2）已知数列 的前n项和，求数列的前项和（答：。（4）等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，（公差为）；偶数个数成等差，可设为，,（公差为2）3.等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。（3）当时,则有，特别地，当时，则有。如（1）等差数列中，则_（答：27）；（2）在等差数列中，且，是其前项和，则A、都小于0，都大于0B、都小于0，都大于0C、都小于0，都大于0D、都小于0，都大于0（答：B）(4) 若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、 ，也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列。如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答：225）（5）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，（这里即）；。如（1）在等差数列中，S1122，则_（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）（6）若等差数列、的前和分别为、，且，则.如设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么_（答：）(7)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列中，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大正整数n是 （答：4006） (8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究。4.等比数列的有关概念：（1）等比数列的判断方法：定义法，其中或。 如一个等比数列共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为_（答：）；数列中，=4+1 ()且=1，若 ，求证：数列是等比数列。（2）等比数列的通项：或。如设等比数列中，前项和126，求和公比. （答：，或2）（3）等比数列的前和：当时，；当时，。 如等比数列中，2，S99=77，求（答：44）；的值为_（答：2046）；特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。（4）等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为_（答：AB）提醒：（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）5.等比数列的性质：（1）当时，则有，特别地，当时，则有.如在等比数列中，公比q是整数，则=_（答：512）；各项均为正数的等比数列中，若，则 （答：10）。(2) 若是等比数列，则、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列；若是等比数列，且公比，则数列 ，也是等比数列。当，且为偶数时，数列 ，是常数数列0，它不是等比数列。如已知且，设数列满足，且，则. （答：）；在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为_（答：40）(3)若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列。(4) 当时，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。如若是等比数列，且，则 （答：1）(5) 。如设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为_（答：2）(6) 在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，。(7)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列的前项和为（）， 关于数列有下列三个命题：若，则既是等差数列又是等比数列；若，则是等差数列；若，则是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 （答：）6.数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。如已知数列试写出其一个通项公式：_（答：）已知（即）求，用作差法：。如已知的前项和满足，求（答：）；数列满足，求（答：）已知求，用作商法：。如数列中，对所有的都有，则_（答：）若求用累加法：。 如已知数列满足，则=_（答：）已知求，用累乘法：。如已知数列中，前项和，若，求（答：）已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。如已知，求（答：）；已知，求（答：）；（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。如已知，求（答：）；已知数列满足=1，求（答：）注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。如数列满足，求（答：）7 数列的求和 数列的求和考点包括：、等差数列求和，、等比数列求和，、给出递推公式，先求通项公式，再求和。通项公式是数列求和的基础和前提，其中、主要是考查基本量问题，注意数列求和思想方法，特别是公式的使用条件，一般在解答题中考查，此类考题较难，常常作为压轴题。高考中求和常考查裂项求和、等比乘等差类型求和、对通项进行分解、组合，转化为等差数列或等比数列求和。从最近5年高考试题来看，倒序相加法、错位相减法等基本的求和方法也时常考查，等差乘等比类型数列的求和考查十分频繁，而此类型试题来源于课本单元总复习B组题，足见在高考备考中课本的复习的重要性。（）最近5年全国高考等差数列、等比数列求和经典真题精析6等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。若=1，则=（A）7 （B）8 （3）15 （4）16 解析：本题是等差、等比数列的小综合题，要求考生具备熟练运用基本公式求答的能力。4a1，2，成等差数列，。答案： C（II）最近5年全国高考给出递推公式求和经典真题精析（1）公式法：等差数列：； 等比数列：； 例1 已知数列，（x0），数列的前n项和，求。解：当x=1时， 当x1时，为等比数列，公比为x由等比数列求和公式得 （利用公式） 【巩固练习】已知数列的通项公式为，为的前n项和，（1）求； （2）求的前20项和。（2）错位相减法:这是推导等比数列前项和公式时所使用的方法，这种方法主要用于求数列的前项和，其中分别是等差数列和等比数列。例2 求和：（）解： 当x=1时，当x1时， . 式两边同乘以x得 （设制错位）得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得： 【巩固练习】(2010年全国高考宁夏卷17）设数列满足（1）求数列的通项公式；(叠加法) （2）令，求数列的前n项和解：（）由已知，当n1时，。而 所以数列的通项公式为。（）由知 从而 -得 。即 点评：本题主要考察由递推关系求数列通项的方法以及运用错位相减法求数列的和。熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。（3）倒序相加法将一个数列倒过来排序，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。例3：求解等差数列前n项和公式（4）分组求和法数列既不是等差数列又不是等比数列时，但它可以通过适当拆分，分为几个等差、等比数列或常见的数列，即能分别求和，然后再合并。例4 已知数列满足，求数列的前n项和。解：设将其每一项拆开再重新组合得 （分组）当a1时， （分组求和）当时，【巩固练习】课本P61 A4（1）（2）（5）裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，其实质是将数列中的某些项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。常见的拆项公式有：（1） （2） （3） （4