2017_18学年高中数学第二讲2.3圆的切线的性质及判定定理课件.pptx

三圆的切线的性质及判定定理 1 切线的性质定理及其推论 1 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 2 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 3 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 名师点拨1 圆的切线的性质定理及其两个推论可以用一个定理叙述出来 即如果一条直线满足以下三个条件中的任意两个 那么就一定满足第三个 它们是 垂直于切线 过切点 过圆心 2 利用圆的切线的性质定理及其两个推论 可以解决两条直线的垂直 直线经过点 点在直线上等证明问题 做一做1 如图 已知直线PM与PN均与圆O相切 则四边形PMON一定是 A 平行四边形B 矩形C 菱形D 圆内接四边形解析 因为直线PM与PN均与圆O相切 所以 PMO PNO 90 因此 PMO PNO 180 故四边形PMON一定是圆内接四边形 答案 D 2 切线的判定定理判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 名师点拨圆的切线的判定方法 做一做2 如图 A是 O上的一点 P是 O外一点 且OA 3 AP 4 OP 5 则直线PA与 O的位置关系是 A 相离B 相切C 相交D 不确定解析 在 OAP中 OA2 AP2 32 42 52 OP2 则OA AP 故PA与 O相切 答案 B 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 垂直于半径的直线是圆的切线 2 切线和圆心的距离等于圆的半径 3 圆的切线与圆只有一个公共点 4 经过直径的一端且垂直于这条直径的直线是圆的切线 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 当堂检测 圆的切线的判定 例1 如图 在 ABC中 已知AB AC 以AB为直径的 O交BC于点D DE AC于点E 求证 DE是 O的切线 分析 利用圆的切线的判定定理进行切线的证明 关键是找出定理的两个条件 1 过半径的外端 2 该直线与半径所在的直线垂直 探究一 探究二 探究三 当堂检测 证明 如图 连接OD和AD AB是 O的直径 AD BC AB AC BD CD 又AO OB OD是 ABC的中位线 OD AC DE AC DE OD 故DE是 O的切线 探究一 探究二 探究三 当堂检测 反思感悟判断或证明一条直线是圆的切线时 辅助线的常见作法1 如果已知这条直线与圆有公共点 那么连接圆心与这个公共点 设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直 简记为 连半径 证垂直 2 若题目未说明这条直线与圆有公共点 则过圆心作这条直线的垂线 得垂线段 再证明这条垂线段的长等于半径 简记为 作垂直 证半径 探究一 探究二 探究三 当堂检测 变式训练1如图 ABC为等腰三角形 O是底边BC的中点 O与腰AB相切于点D 求证 AC与 O相切 证明 连接OD 过点O作OE AC 垂足为E O与AB相切于点D OD AB 且OD等于圆的半径 ABC为等腰三角形 O是底边BC的中点 B C OB OC 又 ODB OEC 90 ODB OEC OE OD 即OE是 O的半径 即圆心O到直线AC的距离等于半径 故AC与 O相切 探究一 探究二 探究三 当堂检测 圆的切线的性质 例2 如图 AB为 O的直径 BC CD为 O的切线 B D为切点 1 求证 AD OC 2 若 O的半径为1 求AD OC的值 分析 1 要证AD OC 因为AB是 O的直径 所以BD AD 故可转化为证明BD OC 2 由AD OC可以联想到 ABD OCB 利用等积式转化线段间的关系 探究一 探究二 探究三 当堂检测 1 证明 如图 连接OD BD BC CD是 O的切线 OB BC OD CD OBC ODC 90 又 OB OD OC OC Rt OBC Rt ODC BC CD 又 OB OD OC BD AB为 O的直径 ADB 90 即AD BD AD OC 2 解 AD OC A BOC 又 ADB OBC 90 AD OC AB OB 2 1 2 探究一 探究二 探究三 当堂检测 反思感悟利用圆的切线的性质来证明或进行有关计算时 连接圆心和切点的半径 从而构造垂直关系 是辅助线的常见作法 探究一 探究二 探究三 当堂检测 变式训练2已知PAB是 O的割线 AB为 O的直径 PC为 O的切线 点C为切点 BD PC交PC延长线于点D 交 O于点E PA AO OB 1 1 求 P的度数 2 求DE的长 探究一 探究二 探究三 当堂检测 解 1 如图 连接OC 点C为切点 探究一 探究二 探究三 当堂检测 圆的切线的判定与性质的综合应用 例3 如图 已知AP是 O的切线 P为切点 AC是 O的割线 与 O交于B C两点 圆心O在 PAC的内部 点M是BC的中点 1 证明A P O M四点共圆 2 求 OAM APM的大小 分析 1 由圆内接四边形的判定定理证明其对角互补即可 2 由圆周角定理及其推论以及圆的切线的性质进行证明 探究一 探究二 探究三 当堂检测 1 证明 连接OP OM 因为AP与 O相切于点P 所以OP AP 因为M是 O的弦BC的中点 所以OM BC 于是 OPA OMA 180 由圆心O在 PAC的内部 可知四边形APOM的对角互补 所以A P O M四点共圆 2 解 由 1 知 A P O M四点共圆 所以 OAM OPM 由 1 知OP AP 而圆心O在 PAC的内部 可知 OPM APM 90 所以 OAM APM 90 探究一 探究二 探究三 当堂检测 反思感悟圆内接四边形的性质定理和判定定理经常交替使用 通过定理的应用 寻求角之间的关系 从而证明问题 探究一 探究二 探究三 当堂检测 变式训练3如图 已知AB是 O的直径 DE切 O于C 并且AD DE于D BE DE于E 求证 1 CD CE 2 以C为圆心 CD为半径的 C和AB相切 探究一 探究二 探究三 当堂检测 证明 1 如图 连接OC DE切 O于C OC DE 又AD DE BE DE AD OC BE O为AB的中点 CD CE 2 如图 过C点作CF AB于F 过A点作AG OC于G AD DE OC DE AG OC 四边形AGCD为矩形 AG CD OA OC OGA OFC 90 AOG COF AOG COF AG CF CF CD 即CF为 C的半径 又CF AB于F 故 C与AB相切于点F 探究一 探究二 探究三 当堂检测 1 已知AB是 O的切线 在下列给出的条件中 能判定AB CD的是 A AB与 O相切于直线CD上的点CB CD经过圆心OC CD是直线D AB与 O相切于C CD过圆心O解析 由图 可知 根据选项A B C中的条件都不能判定AB CD 因为圆的切线垂直于经过切点的半径 所以选项D正确 如图 答案 D 探究一 探究二 探究三 当堂检测 2 如图 PB与 O相切于点B PO交 O于点A BC OP于C 若OA 3cm OP 4cm 则AC等于 解析 连接OB PB是切线 OB PB BC OP 答案 C 探究一 探究二 探究三 当堂检测 3 如图 直线AB与 O相切于点P CD是 O的直径 C D与AB的距离分别为4cm 2cm 则 O的半径为 解析 利用圆的切线及梯形中位线的知识可知 O的半径为OP AC BD 3cm 答案 3cm 探究一 探究二 探究三 当堂检测 4 如图 DB DC是 O的两条切线 A是圆上一点 已知 D 46 则 A 解析 如图 连接OB OC 则OB BD OC CD 故 DBO DCO 90 90 180 则四边形OBDC内接于一个圆 则 BOC 180 D 180 46 134 所以 A BOC 134 67 答案 67 探究一 探究二 探究三 当堂