用数学归纳法证明数列不等式得到的启示.pdf

2 0 1 5年 第 5 4卷 第 6期 数 学通 报 5 9 用数学归纳法证明数列不等式得到的启示 杨 学枝 福州第 二十四中学3 5 0 0 1 5 有一道常见的关于数列的不等式 2 显然 想直接用数学归纳法去证明这个不等 式有困难 但 是 如 果 我们 在其 右边 添 上 一 项 一 寺 这样 用 数学归 纳法就 可以 很容 易的 证明 其 加 强后 的如下不 等 式 1 2 一 音 笔者曾考虑是否有较上式更强 的不等式 于 是 尝试 引入参数 然后应用数 学归纳法证 明 同 时 在 满 足数 学 归 纳 法 的 前 提 下 再 求 出参 数 值 从 而 得 到更 好 的不 等式 这种方法的成功 给我们开辟 了发现与证 明 此类不等式的新思路 为此 笔者将上述设参数一 应用数学归纳法一求参数一验证的这种解题方法 给一个名称 叫做 参数一数学归纳法 下 面就通 过 例 子 说 明 笔 者 的这 种 解 法 也 许 读者会从 中得到一些启示 例 1 自创题 对于任意正整数 有 i 1 1 耋 一 0 今 将 z 一 1 一 丢 代 人 式 得 到 5 将 一 5 一 1 一 丢 代 人 式 即 为 不 等 式 1 由 以 上 分 析 推 理 过 程 说 明 取 常 数 号 一 1 寺时 用数学归纳法易证明不等式 塞 1 5 一 由此 知式 1 成 立 另外 用同样方法 可证 当 2时 有 奎 i l 1 33 一 由此易 知 对于 任意 正 整数 总有 6 O 数学通报 2 0 1 5年 第 5 4卷第 6期 妻 i 1 1 3 3 5 当 3时 有 奎 i 1 1 41 5 一 由此易知 对于任意正整数 总有 塞 1 4 1 5 嘉 导 一 般 地 当 m m 为 正整 数 时 有 i 1 1 一 c 由此易知 对于任意正整数 m n 总有 塞吉 妻 i 1i 1 i 1 欧拉 E u l e r 在 1 7 3 5年 利 用方 程 坚 一0 即无 穷 多项 方程 1 一X玎 2 十X可 4 一X丌 6 的根与系数关系 曾得到等式 一 t 1 Z b 由此我 们 可 以得 到 1 1 兀 2 i 一 1 i 1 一 一 V 因此 宝告 的最小正常数A 一 1 n 在 上 面我们 所 得到 的 的值与 很接 近 由式 还可得 到 对 于任意 正整数 m m n 总有 兰 二 1 2 2 2 m 1 2 n 1 下 面 用 同样方 法 可 以给 出较 式 1 更 为一 般 的不 等式 即下 述 例 2 自创 题 数列 n 是 首 项 为 n 公 差 为 d的 正项 等 差 数 列 数 列 b 是 首 项 为 b 公 差为 e 的正项等差数列 且 1 d g 1 1 n e b d 1 则 对 于任 意 正整数 n 有 奎 i 1 1 一 2 瓣 2 分 析 与证 明 我 们 来 探 讨 式 2 右 边 式 子 是 如何得到 的 为此 设正参数 z Y 使其满足对 于任 意 正整数 n 有 奎 i 1去 而 1 根据数学归纳法第一步 当 n 一1时 式 应 有 1 01 一 口 ZT V 即 一 十 a1o1 r V 根据数学归纳法第二步 假设 n k时式 成立 即 k 1 一 当 n 一是 1时应 有 1 1 一 x k y 十 干 一 F 1 而 经整 理 即有 x a 1 k d 6 1 e k x k x k 7 C 展 开上式 并 整理得 到 x d e x k 一 z 一 口 l P 6 l 一2 y z 是 a 1 b 一y x y O 令不等式 中左边 k 项 系数 和 k项 系数为零 得 到 f x d e z 一 0 l 一 n 1 e 6 1 一2 y x 0 r z dP 解 得 j 口 6 注 意 z 将 其代 回式 并 注 意到题 中已知 条件 得 到其 左 边 常数 项 为 14 一 1 a e 6 l 0 r z 将 1 一 口 6 代 入 式 得 到 一 a l b l 2 再将以上 z Y的值代入式 即为不等式 2 若 取 口 b 一 一8 1时即得 式 1 为进 一 步 了解 这种 方 法 下 面再 举二 例 例 3 自创题 证明 2 0 1 5年 第 5 4卷第 6期 数 学通报 6 1 耋 一 不等式 3 正是应用 参数一数学归纳法 发 现的 因此 这种方法还有发现新不等式 的功能 分析与证 明 设 正参数 z Y z 使其满足 对 于 任 意正 整数 有 1 一 1 根据 数 学归 纳法 第一 步 当 一1时式 应有 一 一 F 即 一 一 1 J5 1 I z 根 据数 学 归纳 法 第二 步 假 设 一忌时式 成 立 1 2 z 1 1 一 x k 2 y k z 十 干 甘 丽 骨 志 1 2 x k x k y k 2 x k 2 z k z 将 上式 展 开式 整理 得 到 2 z z 忌 7 x Y一 2 x 一 2 x y 志 9 3 z 一 3 x y一 2 x z k 5 x 3 y x y一 2 一2 2 一 忌 z z O 令不等式 中左边 k 项 系数和 k 项系数为零 得 到 z 一2 Y 一2 代人 式 并 整理 得 到 1 一z k 2 1 一z k 1 一z 一 0 注意 这时不拟再令 k 项 系数为零 否则有 1 一 z 一 譬 O 让参数 z满足 O z 1 则上式又可以写为 k 2 k 1一 0 即 1 F 一1 0 2 1 一 2 1 一z 由于 k为 正整 数 于是 在式 中 可 令 三 一 2 1 1 1 取 其 中 满 足 0 z 1的 一 个 根 得 到 z一 一 8 4 今将 一2 一2 一一8 4 5 代人式 可 求 得 A 去 将 上 述 各 参 数 值 代 入 即 得 不等 式 3 由上 面分 析 推理 过 程 可知 对 于 任 意 正 整 数 总 有 奎 i 1 1 一 2 2 n一 8 4 且 p 式 3 成 立 故原命 越 获证 由此 得到 对 于任 意正 整数 有 奎 i 1 1 若 对式 在应 用数 学归 纳法 证 明时 取第一个值为 2 即 2 并取等号 得到 4 2 y z 一 尚 以下解法过程 同本例 则可 以得到对 于任 意正整 数 I 当 2时 有 奎 i 1 1 由此得 到 i 1 1 上式对于任意正整数 都成立 用同 1时的方法 一般地 当 m m 为正整 数 时 有 奎 i 1 1 奎 i 1 1 一 2 n 1 2 1 m2 2 m 2 一 一1 由此易 知 对 于任意 正整 数 m 总有 骞 耋 而 一 i 干 1 笔 者 认 为 上 式 得 到 了 3 一 善 上 界 的 一 时 一 即 当 6 2 数 学通报 2 0 1 5年 第 5 4卷 第 6期 较好 的结 果 如 在上 式 中 取 m一9 得 到 i 1 9 这 个 结果较文E 4 中得到的结果 击 9 要 好一 点 因为有 奎 i l 1 9 9 軎 另外 文 4 还给出了比作者在本文引用的那个结 果更精细的估计 对于任意正整数 如何求得最小 的正常数 使 得 3 一 在 两 百 多 年 前 欧 拉 E u l e r 就 已 对 3 一 吉的 结 果计 算 到了 小数 点 后面 十 多 位 1 9 7 8年 在 芬 兰赫 尔 辛 基 举 行 的世 界 数 学 家 大会上 法国数学家 阿皮瑞 Ap e r y 宣 布他证 明 了 3 一 1的无理性 现在 人们一般把这 个 常数 称 为 Ap e r y常 数 对 它 已 有 很 多 研 究 包 括一 些速 算法 同样 由式 还 可得 到 对 于任 意正 整 数 r r t 总有 o 1 故上式成立 即取 一4 叫 2 西一6时 式 成立 于是 将 z 一4 叫一2 一6 代人式 便得到 1 1 1 1 M 一 十 一 2 4 2 Ji T 6 十 2 2一 一2 1 3 2 一 2 再将 甜 一 一4 2 一6代入式 右边 即得式 5 以上推理过程同时也证明了式 5 另 外 我们知 道 由 等式 i 1 0 6 9 3 1 4 7 可 得 到 一 l n 2 1 1 十 1 一 丢 一 1 ln 2 最后 顺便指 出 在对 上述命 题证 明的探索 中 我们发现 以下 事实 用 数学归纳 法可 以证 明 耋 导 一 而 由 妻i 1 1 5 一 耋 一 l 得 到 奎 i 一 玎 但却不能用数 1 1 5 1 学归纳法证明后面这个不等式 另外 可 以用 数学 归纳法证 明 i l 1 L 5 一 丽2 而 i 1 1 5 一 2 一 1 却 也 可 以 用 数 学 归 纳 法 证 明 较 3 一 弱 些 的 不 等 式 2 一 音 由此可知 在应用数学归纳法证 明某个不等 式行不通时 则可以考虑去证 明其 加强后 的不等 式 佃 文个加 强 式 必须 恰 当 参考文献 1 汪晓勤 欧拉 与 自然 数平方 倒 数和 E J 曲阜师 范大 学学 报 2 0 0 2 4 2 冯贝叶著 多项式和无 理数 M 哈尔 滨 哈尔滨 工业 大学 出 版社 2 0 0 8 1 3 朱尧辰 无理数引论 M 北京 中 国科学技术 大学出版社 2 O 1 2 7 8 9 6