四川宜宾2018_2019学年高三数学上学期第七周（正弦定理、余弦定理及其应用）周考试卷.docx

正弦定理、余弦定理及其应用考点梳理1正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即其中R是三角形外接圆的半径(2)正弦定理的其他形式：a2RsinA，b_，c_；sinA，sinB，sinC；abc_.2余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍即a2，b2，c2.若令C90，则c2，即为勾股定理(2)余弦定理的推论：cosA，cosB，cosC.若C为锐角，则cosC0，即a2b2_c2；若C为钝角，则cosC0，即a2b2_c2.故由a2b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角_，余弦定理亦可以写成sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA，类似地，sin2B_；sin2C_.注意式中隐含条件ABC.3解三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用_定理，只有一解(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用_定理，可能有_如在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAbsinAab解的个数 (3)已知三边，用_定理有解时，只有一解(4)已知两边及夹角，用_定理，必有一解4三角形中的常用公式及变式(1)三角形面积公式S其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径(2)ABC，则A_，_，从而sinA_，cosA_，tanA_；sin_，cos_，tan_.tanAtanBtanC_.(3)若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b_2sinB_2sincos2coscostantan.(4)在ABC中，abcosCccosB，b_，c_.(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理)自查自纠1(1)2R(2)2RsinB2RsinCsinAsinBsinC2(1)b2c22bccosAc2a22cacosBa2b22abcosCa2b2(2)(3)互化sin2Csin2A2sinCsinAcosBsin2Asin2B2sinAsinBcosC3(1)正弦(2)正弦一解、两解或无解一解两解一解一解(3)余弦(4)余弦4(1)absinCbcsinAacsinB(abc)r(2)(BC)sin(BC)cos(BC)tan(BC)cossintanAtanBtanC(3)acsinAsinC(4)acosCccosAacosBbcosA基础自测 在ABC中，a1，b2，cosC，则c()A1 B. C. D2解：c214224，c2.故选D. (2017山东)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC为锐角三角形，且满足sinB(12cosC)2sinAcosCcosAsinC，则下列等式成立的是()Aa2b Bb2aCA2B DB2A解：sin(AC)2sinBcosC2sinAcosCcosAsinC，所以2sinBcosCsinAcosC2sinBsinA2ba.故选A. (2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinBsinA(sinCcosC)0，a2，c，则C()A. B. C. D.解：由题意sin(AC)sinA(sinCcosC)0，得sinAcosCcosAsinCsinAsinCsinAcosC0，即sinC(sinAcosA)sinCsin0，所以A.由正弦定理，得，即sinC，得C.故选B. (2015北京)在ABC中，a4，b5，c6，则_.解：1.故填1. (2017浙江)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6_.解：将正六边形分割为6个等边三角形，则S66.故填 . 类型一正弦定理的应用(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA，cosC，a1，则b_.解：在ABC中由cosA，cosC，可得sinA，sinC，sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC，由正弦定理得b.故填.【点拨】先根据条件得到至少两个角的正弦值，再利用正弦定理，实现边角互化(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2bcosBacosCccosA，则B_.解：由正弦定理可得2sinBcosBsinAcosCsinCcosAsin(AC)sinBcosBB.故填.类型二余弦定理的应用(2017山东)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b3，6，SABC3，求A和a.解：因为6，所以bccosA6.又SABC3，所以bcsinA6，因此tanA1.又0A，所以A.又b3，所以c2.由余弦定理a2b2c22bccosA，得a29823229，所以a.【点拨】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆与内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类与整合思想(2016全国卷)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cosA()A. B. C D解：由题意可得acsinc，则ac.在ABC中，由余弦定理可得b2a2c2acc2c23c2c2，则bc.由余弦定理，可得cosA.故选C.类型三正、余弦定理的综合应用ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcosCcsinB.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值解：(1)由已知及正弦定理得sinAsinBcosCsinCsinB.因为A(BC)，所以sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC.由，和C(0，)得sinBcosB.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面积SacsinBac.由已知及余弦定理得b2a2c22accosB，即4a2c22accos，又a2c22ac，所以ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为1.【点拨】(1)化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；(2)已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以用余弦定理化边后用不等式求最值(2016山东)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tanAtanB).(1)证明：ab2c；(2)求cosC的最小值解：(1)证明：由题意知2，化简得2(sinAcosBsinBcosA)sinAsinB，即2sin(AB)sinAsinB，因为ABC，所以sin(AB)sin(C)sinC，从而sinAsinB2sinC，由正弦定理得ab2c.(2)由(1)知c，所以cosC，当且仅当ab时等号成立，故cosC的最小值为.类型四判断三角形的形状在三角形ABC中，若tanAtanBa2b2，试判断三角形ABC的形状解法一：由正弦定理，得，所以，所以，即sin2Asin2B.所以2A2B，或2A2B，因此AB或AB，从而ABC是等腰三角形或直角三角形解法二：由正弦定理，得，所以，所以，再由正、余弦定理，得，化简得(a2b2)(c2a2b2)0，即a2b2或c2a2b2.从而ABC是等腰三角形或直角三角形【点拨】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握(2016济南一中检测)在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别为a，b，c，A为锐角，lgblglgsinAlg，则ABC为()A锐角三角形 B等边三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形解：由lgblglglglg，得，即cb.由lgsinAlg，得sinA，又A为锐角，所以cosA.由余弦定理：a2b2c22bccosA得ab，故BA45，因此C90.故选D.类型五解三角形应用举例(2015湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.解：设此山高h(m)，则BCh，在ABC中，BAC30，CBA105，BCA45，AB600(m)在ABC中，根据正弦定理得，即，解得h100(m)故填100.【点拨】解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用在物理学中，有关向量的计算也常用到解三角形的方法不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于_m.解：因为tan15tan(6045)2，所以BC60tan6060tan15120(1)m.故填120(1)点拨1已知两边及其中一边的对角解三角形时，要谨防漏解2在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角的关系(注意应用ABC这个结论)或边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式一般不要约掉，而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状3要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sinAsin(BC)，cosAcos(BC)，sincos，sin2Asin2(BC)，cos2Acos2(BC)等4应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际，从而得出实际问题的解5正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想课时作业1(北京丰台2017届期末)在ABC中，C，AB2，AC，则sinB的值为()A. B. C D.解：由正弦定理得，解得sinB.故选D.2(2016天津)在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC()A1 B2 C3 D4解：由余弦定理得139AC23ACAC1.故选A.3设ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若bcosCccosBasinA, 则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定解：由已知和正弦定理可得sinBcosCsinCcosBsinAsinA，即sin(BC)sinAsinA，亦即sinAsinAsinA.因为0Aa，由正弦定理得到sinA，所以A.故选B.2(2016湖南四校联考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2b2c2)tanCab，则角C为()A.或 B.或 C. D.解：由题意得，则cosC，且cosC0，所以sinC，所以C或.故选A.3(2016郑州一测)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则cosB()A B. C D.解：因为，所以由正弦定理得，所以tanB，又0B0)，则aksinA，bksinB，cksinC.代入中，有，变形可得sinAsinBsinAcosBcosAsinBsin(AB)在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(C)sinC.所以sinAsinBsinC.(2)由已知，b2c2a2bc，根据余弦定理，有cosA，所以sinA.由(1)，sinAsinBsinAcosBcosAsinB，所以sinBcosBsinB，即sinB4cosB.故tanB4. (2017福建漳州质检)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，