2017届高中数学第二章平面2.1平面直角坐标系中的基本公式课件.pptx

第二章平面解析几何初步 2 1平面直角坐标系中的基本公式 1 理解实数和数轴上的点的对应关系以及实数与位移向量的对应关系 理解实数运算在数轴上的几何意义 2 掌握数轴上 平面内两点间的距离公式与中点坐标公式 1 2 3 1 数轴上的基本公式 1 数轴的定义 一条给出了原点 度量单位和正方向的直线叫做数轴 或者说这条直线上建立了直线坐标系 2 向量的相关定义 位移是一个既有大小又有方向的量 通常叫做位移向量 简称为向量 1 2 3 3 数轴上的基本公式 数轴上任意三点A B C 则AC AB BC 设OB x2 OA x1 则AB x2 x1 已知数轴上两点A B OB x2 OA x1 则两点A B的距离公式是d A B AB x2 x1 1 2 3 做一做1 1 下列说法正确的是 A 点M x 位于点N 2x 的左侧B 数轴上等长的向量是相等的向量D 数轴是有方向的直线答案 C 1 2 3 做一做1 2 若在直线坐标系中 有两点A 6 B 9 且C点满足AB BC 2015 则点C的坐标为 解析 由于AB BC xB xA xC xB xC xA 而xA 6 所以xC 6 2015 故xC 2021 答案 2021 1 2 3 2 平面直角坐标系中的基本公式平面直角坐标系中两点A x1 y1 B x2 y2 的距离公式 1 2 3 名师点拨1 当x1 x2 y1 y2时 AB 2 x2 x1 2 y2 y1 2实质上就是直角三角形的勾股定理 若AB x轴或与x轴重合 则 AB x2 x1 若AB y轴或与y轴重合 则 AB y2 y1 2 两点间的距离与两点的顺序无关 即 AB BA 在平面直角坐标系中 只要两点位置确定了 即点的坐标定了 则它们之间的距离就可以计算出来 3 数轴上两点间的距离公式是平面直角坐标系中两点间的距离公式的特殊情况 即当两点在同一坐标轴上时 平面直角坐标系中的两点就转化为数轴上的两点 1 2 3 做一做2 求下列两点间的距离 1 A 1 0 B 2 3 2 A 4 3 B 7 1 3 A 3 0 B 0 4 解 1 x1 1 x2 2 y1 0 y2 3 x x2 x1 2 1 3 y y2 y1 3 0 3 1 2 3 3 x1 3 x2 0 y1 0 y2 4 x x2 x1 3 y y2 y1 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 做一做3 已知点A 8 3 与B 5 3 关于点C对称 则点C的坐标是 答案 B 解析法的应用剖析 解析法是通过建立适当的坐标系 把几何问题转化成代数问题进行解决的解题方法 用解析法解决几何问题的基本步骤如下 1 选择坐标系 坐标系选择是否恰当 直接关系到后面的论证是否简捷 原则是 选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零 为此 常常有以下规律 将图形一边所在的直线或定直线作为x轴 若为对称图形则取对称轴为x轴或y轴 若有直角 则取直角边所在的直线为坐标轴 可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点 2 标出图形上有关点的坐标 按已知条件用坐标表示图形中的等量关系 3 通过以上两个步骤 把几何问题转化为代数问题来求解 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 分析 利用数轴上向量的数量及长度的公式计算即可 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思本题要区分好向量的数量与长度的概念 数量公式中两个坐标不能颠倒顺序 但长度公式中可以 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 答案 777 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 例2 在数轴上分别画出满足下列各条件的点P x 表示的几何意义 1 x 2 1 3 x 2 1 分析 结合数轴 找出符合条件的点P x 即可 解 如图 B 1 A 2 C 3 1 满足条件 x 2 1的点到点A 2 的距离大于1 则 x 2 1表示射线BO和射线CD 不包括端点 3 满足条件 x 2 1的点到点A 2 的距离等于1 则 x 2 1表示点B 1 和点C 3 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思可以发现 题目给出的是一些代数式子 但是却可以表示一些点 线段或射线等几何图形 通过此题可以体会数形结合的思想 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练2 若实数x满足 x 3 2 试求x的范围 并在数轴上画出实数x对应的点 解 如图 设A 3 B 1 C 5 因为 x 3 x 3 2 所以实数x对应的点到A 3 点的距离应大于2 又因为 AC AB 2 所以x的范围应是x 1或x 5 实数x对应的点构成了射线BO和CD 不包括端点 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 例3 在 ABC中 已知A 5 5 B 1 4 C 4 1 1 判断 ABC的形状 2 求BC边上的中线AD的长度 3 求 ABC的面积 分析 先用两点的距离公式求出三条边的长度 根据边长之间的关系判断 ABC的形状 再用中点公式求出BC的中点D的坐标 从而求出AD的长度 最后利用三角形面积的公式求出面积 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思已知两点的坐标求两点间的距离时 要注意距离公式的正确应用 被开方式是两点横坐标之差与纵坐标之差的平方和 与两点的顺序无关 但不能将横 纵坐标混用 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练3 已知 ABC的顶点A 7 0 B 2 3 C 5 6 判断此三角形的形状 并求出其面积 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 例4 已知 ABCD的两个顶点分别为A 4 2 B 5 7 对角线的交点为E 3 4 求另外两个顶点C D的坐标 分析 平行四边形的对角线互相平分 交点为两个相对顶点连线的中点 利用中点坐标公式解题 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思对于中点坐标公式要注意公式中各个字母的具体含义 还要从方程的角度来认识公式 要加深对 知二求一 的理解 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练4 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为 1 2 3 1 0 2 求平行四边形第四个顶点的坐标 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 例5 已知AO是 ABC的边BC上的中线 求证 AB 2 AC 2 2 AO 2 OC 2 分析 可以建立适当的平面直角坐标系 采用 解析法 通过计算证明题中的结论 证明 如图 以BC边的中点为原点 BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系 设C c 0 A a B 则B c 0 AB 2 a c 2 B2 AC 2 a c 2 B2 OA 2 a2 B2 OC 2 c2 所以 AB 2 AC 2 a c 2 B2 a c 2 B2 2 a2 B2 c2 2 AO 2 OC 2 2 a2 B2 c2 因此 AB 2 AC 2 2 AO 2 OC 2 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思本题用解析法证明了一个几何结论 用解析法证题 首先要正确合理地建立坐标系 给相关元素赋值 然后运用相关公式进行证明 本题中的结论也可以说明平行四边形四条边的平方和等于其两条对角线的平方和 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练5 若D为 ABC的边BC上的一点 且BD 2DC 求证 AB 2 2 AC 2 3 AD 2 6 CD 2 证明 如图 以D为原点 以BC边所在直线为x轴建立平面直角坐标系 设 BC 3a a 0 则 BD 2a DC a 于是B 2a 0 D 0 0 C a 0 设A x y 则 AB 2 2 AC 2 x 2a 2 y2 2 x a 2 y2 3x2 3y2 6a2 3 AD 2 6 CD 2 3 x2 y2 6a2 因此 AB 2 2 AC 2 3 AD 2 6 CD 2 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 错因分析 没有验证等号是否成立 而导致扩大了y的取值范围 实际上x是同步的 不能轻易分开 若分别讨论 必须验证等号成立的条件是否满足题意 令A 0 1 B 2 2 P x 0 则y PA PB 求函数的最小值问题 就转化为在x轴上求一点P 使得 PA PB 取得最小值问题 借助于光学的知识和对称的知识 如图 作出点A关于x轴的对称点A 0 1 连接BA 交x轴于点P 可知 BA 即为 PA PB 的最小值 1 2 3 4 5 6 1 下列命题中 正确的是 A 两点A B唯一确定一个向量B 起点为A 终点为B的向量记作ABD 两点A B唯一确定一条线段 答案 D 1 2 3 4 5 6 2 若在平面直角坐标系中 有两点A 5 B 2 且AB CB 0 则点C的坐标为 A 5B 9C 3D 3解析 AB 2 5 7 CB 2 xC 所以 7 2 xC 0 解得xC 9 答案 B 1 2 3 4 5 6 3 已知在 ABC中 三个顶点的坐标分别为A 5 1 B 1 1 C 2 3 则 ABC的形状为 A 等边三角形B 直角三角形C 等腰直角三角形D 钝角三角形 答案 B 1 2 3 4 5 6 4 已知A 3 B 2 两点 则AB AB 答案