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线性系统理论设计作业学院： 能源与电气学院 专业： 电力电子与电力传动 姓名： 学号： 2013 年 2 月一基于状态空间方法的直流PWM 调速系统反馈控制综合采用状态反馈加积分器校正的输出反馈系统，要求系统满足如下性能指标：超调量，调节时间，当负载转矩阶跃变化时，系统跟踪阶跃输入(速度指令)信号的稳态误差为零。1、设计状态反馈增益矩阵和积分增益常数，并在Simulink中建立控制系统动态仿真模型，对系统的动、静态性能进行仿真分析；2、设计对状态向量进行估计的全维状态观测器以实现状态反馈，并保证控制系统的性能满足要求，在Simulink中建立采用状态观测器实现状态反馈的控制系统动态仿真模型，对系统的动、静态性能进行仿真分析，并研究状态估计误差收敛速度与状态观测器极点的关系及其对系统性能的影响；3、设系统的转速可准确测量，试设计实现状态反馈的降维观测器，并建立利用降维观测器实现状态反馈的控制系统动态仿真模型，对系统动、静态性能进行仿真分析。4、思考如何在闭环调速系统中增加限流环节，以限制起动、制动、堵转时电动机电枢的过电流？解：1、采用状态反馈加积分器校正的输出反馈系统设计1）根据题目中的系统结构框图和所给数据，可计算出系统状态空间表达式；其中；代入数据得到：， 。2）检查系统的能控能观性及计算出系统的特征值系统的稳定性由系统特征方程的值决定，能控性和能观性分别通过判别矩阵的秩而得出。本设计通过matlab编程对上述指标做出判定：%系统能控能观性判断：A=0 21.63 0;-137.7 -450 1000;0 0 -10000;B=0;0;868000;C=1 0 0;D=0;sys=ss(A,B,C,D);ctrl_matrix=ctrb(A,B);if(rank(ctrl_matrix)=3) disp(系统完全可控！);else disp(系统不完全可控！);endobserve_matrix=obsv(A,C);if(rank(observe_matrix)=3) disp(系统完全可观！);else disp(系统不完全可观！);end运行结果：系统完全可控！系统完全可观！图1.1 原始开环系统图1.2原始开环系统仿真曲线根据simulink仿真结果如图1.2所示，系统的调节时间为0.7s，不能满足题目要求，需要通过反馈控制使系统达标。3）反馈控制系统设计 因为被控系统能控,又控制维数(r=1)不少于误差的维数(m=1)且，即增广系统状态完全能控，因此可采用状态反馈控制律：改善系统的动态和稳态性能，式中 。则闭环控制系统的特征多项式为：由于最大超调量，当振幅进入范围内时调节时间，其中为系统自然振荡角频率。由于系统设计要求为超调量不超过10%，调节时间不超过0.5秒，可计算得到：，取，取，二阶系统的特征根，可得期望特征值，选取几个期望的闭环非主导极点离虚轴为主导极点的5倍以上，取为-50，则，运用expand函数求得期望特征多项式为：根据对应系数相等计算得到：4）所设计的反馈控制系统阶跃响应仿真分析 确定了状态反馈增益矩阵和积分增益常数，在未考虑扰动作用时（设），闭环系统对给定输入v(t)为阶跃信号的响应可通过求解下式获得，即 式中, v(t)=1(t) 。Simulink仿真图如下：图1.3 状态反馈系统系统输出波形如下：图1.4 状态反馈仿真曲线结果如图1.4所示，状态反馈系统的静、动态性能如下：，皆满足系统要求。扰动后，系统的恢复时间为0.06s。曲线最终稳定在1500，则系统稳态误差为0。2、全维状态观测器的设计闭环状态观测器的状态方程，又由观测误差知，通过选择输出偏差反馈增益矩阵G使的所有特征值均位于复平面的左半平面，尽管初始时刻时，与存在差异，观测器的状态仍将以一定精度和速度渐渐逼近系统的实际状态。而输出偏差反馈增益矩阵G由观测器极点决定，因此，状态估计误差收敛速度是由观测器极点所决定。通过合理选择观测器极点而配置的反馈矩阵G，状态估计误差收敛速度足够快，就能使重构状态渐近等价于真实状态，从而达到状态反馈的效果，即改善被控系统的稳定性、稳态误差和动态品质因数，而且可实现闭环系统的解耦控制和最优控制。原系统，由能观性判别阵的秩 %判断系统能观性a=-588.24 0 0;59.52 -25 -8.10;0 18.09 0;b=23529.41;0;0;c=0 0 1;Q0=obsv(a,c);r=rank(Q0)得到r=3，故被控系统状态完全能观即可构造建状态观测器对其状态给出估值。设观测器增益矩阵，即观测器系统矩阵特征多项式：经过状态反馈后的系统状态空间表达式中个矩阵分别为：，带入数据可得：，根据 极点为值， ， 观测器的响应速度比状态反馈系统快25倍，故取，则期望特征多项式为：，可解得；求解出。带观测器的Simulink仿真结构图如下：图1.5 全维观测器反馈系统系统输出示波器波形如下图：图1.6全维观测器反馈系统仿真结果由仿真图6，系统的静、动态性能如下：，皆满足系统要求。扰动后，系统的恢复时间为0.06s。曲线最终稳定在1500，则系统稳态误差为0。3、降维观测器的设计给定系统维数n=3，所以降维观测器的维数为2。，可构造配置任意特征值的降维状态观测器。为能观标准型，有，又输出量y可准确测量, 故只需设计二维观测器重构，将分块,得 求降维观测器的反馈矩阵 由降维观测器特征多项式 及期望特征多项式 比较与各相应项系数，联立方程并解之，得 4)在变换后状态空间中的降维观测器状态方程为 则所对应状态向量的估值为：采用降维状态观测器实现状态反馈的Simulink动态仿真模型如图6所示。图1.7降维观测器反馈系统在空载的情况下，状态与状态观测器的误差时刻保持为0，如图1.8所示。直流电机的转速如图7所示。系统具有较好的动、静态性能。图1.8降维观测器仿真结果建立simulink仿真模型，如图7所示，仿真结果如图8所示。系统的静、动态性能如下：，满足系统要求。扰动后，系统的恢复时间为0.06S。曲线最终稳定在1500，则系统稳态误差为0。4、闭环调速系统中增加限流环节从加快启动电动机的角度来看，闭环调速系统应允许有较大的启动电流(一般取额定电流的1. 5 2倍)， 而造成堵转的故障消失后，系统电流应能自动恢复正常。所以，常规的熔断器或过流继电器在这里均不能作为限流保护措施， 因为它们都是通过切断电路来保护设备的，虽然能起到保护作用，但故障消失后，系统无法自动恢复正常。为了充分利用设备的过流能力， 又保证设备的安全运行， 电流截止负反馈则可以限制电流的大小。 应用电流截止负反馈后， 虽然限制了最大电流， 但在主回路中， 还必须接入快速熔断器，以防止短路。 在要求较高的场合， 还要增设过电流继电器， 防止在截止环中出现故障时把晶闸管元件烧坏，一般要使熔断器额定电流大于过电流继电器的动作电流，过电流继电器电流大于堵转电流。二线性二次型最优控制设被控系统的状态空间表达式为：，设计使系统阶跃响应具有良好动、静态特性的线性二次型最优控制律，对闭环系统的阶跃响应进行仿真，并研究系统二次型性能指标泛函中权矩阵的不同选取对动态性能的影响。解：建立模型并判别系统的能控性Matlab 编程如下：A=0 1 0;0 0 1;0 -5 -6;B=0;0;1;C=1,0,0;D=0;sys=ss(A,B,C,D);ctrl_matrix=ctrb(A,B);if(rank(ctrl_matrix)=3) disp(系统完全可控！);else disp(系统不完全可控！);end运行结果：系统完全可控！最优控制的性能指标函数为：，其中，为状态加权系数矩阵，R为控制加权系数矩阵，本设计中，R取1。为了研究系统二次型性能指标泛函中权矩阵Q的不同选取对动态性能的影响，本设计对分别为100、1000、2000、5000、10000的权矩阵进行仿真试验。根据建立好的系统模型，利用matlab中的lqr函数计算线性二次型最优控制的解。编程如下：%最优控制与最优性能的求解：%100：R=1;Q100=100 0 0;0 1 0;0 0 1;K100,P,E=lqr(A,B,Q100,R)%1000：R=1;Q100=100 0 0;0 1 0;0 0 1;K100,P,E=lqr(A,B,Q100,R)%2000：R=1;Q100=100 0 0;0 1 0;0 0 1;K100,P,E=lqr(A,B,Q100,R)%5000：R=1;Q100=100 0 0;0 1 0;0 0 1;K100,P,E=lqr(A,B,Q100,R)%10000：R=1;Q10000=10000 0 0;0 1 0;0 0 1;K10000,P,E=lqr(A,B,Q10000,R)运行结果：K100 = 10.0000 8.1114 1.2954K1000 = 31.6228 18.9440 2.6538K2000 = 44.7214 24.1983 3.2410K5000 = 70.7107 33.2769 4.1761K10000 = 100.0000 42.2235 5.0203引入状态反馈后，系统的状态转移矩阵变为。建立闭环系统的数学模型，比较反馈前后系统的稳定性，以及在不同泛函权矩阵的反馈下，系统动态性能的改变(为清楚体现各组模型动态性能的不同，仿真暂时未引入消除稳态误差的增益)，matlab编程如下，仿真结果如图2.1、2.2所示。A_new100=A-B*K100;sys_new100=ss(A_new100,B,C,D)A_new10000=A-B*K10000;sys_new10000=ss(A_new10000,B,C,D)figure(1)step(sys);gtext(反馈前)figure(2)step(sys_new100);hold on;step(sys_new1000);hold on;step(sys_new2000);hold on;step(sys_new5000);hold on;step(sys_new10000);gtext(反馈后)仿真结果：图2