第六章_分析力学.ppt

第六章分析力学 第六章分析力学 6 1约束 自由度和广义坐标 6 2虚功原理 6 3拉格朗日方程 6 4微振动 6 5哈密顿函数和正则方程 6 6哈密顿原理和正则方程 6 7不变环面和KAM定理 第六章分析力学 教学基本要求 掌握约束 约束力 理想约束 虚位移 虚功 广义坐标 自由度 广义动量 广义角动量 循环坐标 循环积分 简正坐标 哈密顿函数 泊松括号 变分等概念 掌握约束 力 的分类 虚功原理 Legendre变换 拉格朗日方程 哈密顿正则方程 哈密顿原理 泊松定理 了解多自由度力学体系的小振动 相积分 KAM定理 本章重点 本章难点 掌握约束分类 虚功原理 Legendre变换 泊松定理 拉格朗日方程 哈密顿正则方程 哈密顿原理 掌握约束 理想约束 虚位移 虚功 广义坐标 自由度 广义动量 广义角动量 简正坐标 哈密顿函数 泊松括号 变分等概念 掌握虚位移 虚功 简正坐标 哈密顿函数 泊松括号 变分等概念 掌握虚功原理 拉格朗日方程 哈密顿正则方程 哈密顿原理 泊松定理 牛顿力学重于几何与矢量的应用 分析力学侧重于数学分析方法 分析力学是拉格朗日等在十八世纪在牛顿力学基础上建立 建立分析力学是为了用数学方法解决复杂的力学问题 分析力学的体系和方法不局限于力学 也适用其它物理领域 拉格朗日方程 哈密顿正则方程和正则变换应用于统计物理 泊松括号的概念应用于量子力学 分析力学注重更广泛意义的能量 同时又扩大了坐标的概念 分析力学是将物理规律抽象为数学原理和定理 虽揭示出了 物理规律背后更普遍的性质 但太多的数学推理 容易使人 忘记力学的物理实质 6 1约束 自由度和广义坐标 n个相互作用质点的集合 这个集合体简称为力学系 力学体系或体系 即矢量力学中所讲的质点组 力学系的位置状态称为力学系的位形 3n个坐标来描述 在一个力学体系中 常常存在一些限制质点自由运动 限制条件的数学方程称为约束方程 的条件 这些限制条件称为约束 非自由体的真实运动是由主动力和约束力共同作用的结果 位形是质点的位置概念在质点系中的扩展 约束分类 1 几何约束和微分约束 几何约束只是限制质点 组 的几何位置 微分约束指约束方程中含有速度变量 微分约束跟速度有关 有时又叫运动约束 有时一些显示微分约束能化成几何约束 几何约束和能积分成几何约束的微分约束称作完整约束 不可积的微分约束则称不完整约束 3 可解约束和不可解约束 可解约束指在力学体系运动过程中 某些约束可以被解除 不可解约束指在力学体系运动过程中 始终不能被解除 2 稳定约束和不稳定约束 稳定约束的约束方程中不显含时间t 不稳定约束的约束方程中显含时间t 有的书叫 不 稳定约束为 非 定常约束 约束方程为不等式 有时也称单侧 面 约束 约束方程为等式 有时也称双侧 面 约束 试分析下面的几种运动属于哪些约束 约束力 约束力的方向与该约束所能阻碍的位移方向相反 除约束力以外的其它力被称为主动力 它不依赖于质点的 运动和约束 也称载荷 几种典型约束及其约束反力方向的分析 柔性约束 光滑接触面 齿轮啮合 光滑圆柱铰链 光滑球形铰链 固定约束 约束施加于被约束物体上的力 称为约束力 或约束反力 能完全描述一个力学体系的运动所需要的可独立变化的 坐标参量的数目 称作力学体系的自由度 若有n个质点的力学体系 存在k个约束方程 则体系的 自由度为s 3n k 如果k个约束方程全部为几何约束方程 那么体系的独立 坐标参量的数目就等于体系的自由度 如果k个约束方程中还包含有微分约束方程 那么体系的 独立坐标参量的数目就大于体系的自由度 自由度 在n个质点的力学体系 有3n个坐标参量 k个几何约束方程 那么独立坐标参量的数目 自由度 为s 3n k 设3n个坐标参量为 k个几何约束方程为 其中 s个独立坐标参量 用 表示 称作拉格朗日广义坐标 那么3n个坐标参量就可以用s个拉格朗日广义坐标来表示 其中 例如质点限制在半径为R的圆槽中时 有3个坐标参量 有2个几何约束方程 只有1个独立坐标参量 6 2虚功原理 在时间间隔dt 0 内质点 组 发生的真实位移dr称为实位移 实位移一定满足动力学方程 初始条件和约束条件 一 虚位移和实位移 那么 经历dt后 对于稳定约束 上式为 在给定瞬时 质点 组 为约束所允许的 可能发生的无限小位移 r称为虚位移 实位移 虚位移 坐标的微分 坐标作为时间t的函数 坐标的变分 坐标不作为时间t的函数 虚位移的发生不需要时间 常用 表示这一现象 称为等时变分算子 d称为微分算子 二者运算规则类似 虚位移的个数有无穷多个 下变分有 t时刻 在约束条件 在稳定约束情况下 实位移是无数虚位移之中的一个 在不稳定约束情况下 实位移则不一定是虚位移之中的一个 实位移 虚位移 实位移 虚位移 t 与 dt 一般不同 t 0 与 dt 0 一般也不同 dt 0时 dr 0 但r仍满足牛顿第二定律的轨道 t 0时 dt不一定等于0 且r也不一定满足牛二轨道 约束质点 组 的虚位移垂直于约束曲面在该点的法线 即虚位移总是位于约束曲面的切平面 它不破坏约束 可定义 r为在 t 0 内满足变分约束方程的矢径的变分 为了数学处理方便 设想虚位移 r发生在虚拟时间 t 0 内 二 理想约束和虚功原理 质点 组 发生实位移时 作用在质点 组 上的力做的功称实功 作用于质点 组 上的力 在任意时刻的虚位移下所做的功称虚功 实功 虚功 若质点受到主动力F和约束力FN 发生了位移dr 那么 若质点组受到的约束力在任意虚位移中所作的虚功之和为零 那么这种约束称为理想约束 如刚性杆 不可伸长的绳等 的约束必然满足理想约束 光滑面 光滑曲线 光滑铰链 不垂直于 但 对于包含n个质点的力学体系 如果每一质点都处在力的 平衡状态 则作用在每一质点上的力所作的虚功为零 对整个力学体系有 若力学体系处于理想约束条件下 那么有 虚功原理 具有理想约束的力学体系 在给定位置处于平衡的条件是 作用于力系上的主动力在任意虚位移中所作的虚功之和 等于零 这一规律称为虚功原理 虚功原理与牛顿第二定律 力学平衡方程a 0 是等价的 从推导过程看 虚功原理是理想约束条件下力学系中 质点处于平衡状态的结果 力系平衡时的虚功 力系平衡时的方程 虚功原理是考虑了理想约束条件下的结果 牛顿第二定律是用约束力代替了约束条件 看成自由质点 从虚功原理可知 在求理想约束条件下力系平衡问题时 毋须考虑约束力 仅仅求出主动力的虚功之和 但却不能却出约束力 这就需要利用拉格朗日未定乘数法 对于包含n个质点的力学体系 含有k个理想完整约束 力学体系的独立坐标数目则为3n k个 据虚功原理 或写成 显然式中x y z是力学体系 的函数和缩写 直角坐标系中 力学体系的约束条件应满足下列变分关系 上式的各式分别乘以 因子求和后 与虚功式相加可得 只要 选择得当 能使k个不独立的虚位移前的乘数等于0 剩下的3n k个独立虚位移前的乘数也等于0了 于是有 称为拉格朗日未定乘数 把这3n个方程与k个约束方程联立可求出3n k量 将 三式相加 或写为 对于第i个质点平衡时有 所以有 例 一质点被约束在一曲线f1 x y z 0和f2 x y z 0上 约束方程 乘以拉格朗日未定乘数因子与虚功原理式相加得 线约束力为 三 虚功原理的广义坐标表述和广义力 前面提到 在n个质点的力学体系 若存在k个几何约束方程 3n个非独立的坐标参量可以用s 3n k个独立坐标参量来描述 式中s个独立坐标参量 称作拉格朗日广义坐标 或写成 或者写为 为了书写的方便 常常采用有序数组来记3n个坐标参量 则k个几何约束方程记为 3n个非独立的坐标参量可以用s个独立坐标参量来描述 作等时变分有 或 由虚功原理 有 或 广义坐标的虚功原理 是作用于体系的广义力 从量纲上分析 当广义坐标 为线量时 对应于力的分量 当广义坐标 为角量时 是相应的力矩分量 所以当体系平衡时 因为 是相互独立的参量 又要满足 广义坐标标下的拉格朗日未定乘数法 对于包含n个质点的力学体系 k个理想完整约束方程为 等时变分有 每一 式乘以拉格朗日未定乘数 后与虚功原理式相加 因为约束关系 q 并不完全独立 但可选择 的值 使不独立虚位移前的乘数等于0 那么剩下的独立虚位移前 的乘数也就等于0 即 例6 1 两长度分别为l1和l2 质量分别为m1和m2的匀质杆OA和AB 位于同一铅直平面内 并在A点光滑铰链 OA的另一端则固定在O点 杆AB的端点B受一水平力F的作用 如图所示 求平衡时两杆的位置 分析 由于是光滑铰链理想约束 满足虚功原理 体系受到 重力和 水平力F 可以认为重力作用在C点 和D点 F作用于B点 C D B三点需9个坐标参量 但因有 7个约束 故只需要2个独立坐标参量描述 用 和 表示 7个约束是定点O和铰链A 杆OA和AB定长 CDB在同一面内 解 体系受力分析和坐标系建立如图 因约束是理想约束 满足虚功原理 由图中的几何关系可知 等时 变分 代入得 因为 和 相互独立 故有 解得 例6 2 四根长度都为l的轻杆 光滑铰链而成ABCD菱形 B D间用一轻绳联结 框架支于同一水平的两个光滑钉子上并在C点挂一重为P的重物 如图所示 已知两钉子间距2d 利用虚功原理求绳中的张力 分析 因为虚功原理表达式只涉及主动力 所以不能把绳中的张力看作约束力 设想去掉绳的约束 代之以相同的 主动力作用于B D两点 四根杆都 为轻杆 绳为轻绳 重力都可忽略 解 受力分析和建立如图所示的直角坐标系 静系要求 等时变分有 代入虚功原理表达式 化简得 解得 虚功原理解题步骤 1 确定研究的力学体系 2 判断是否是理想约束 3 受力分析 a 若求的是主动力或平衡位置 只需找找出主动力 b 若求的是约束力 在找出主动力后 需要去掉要 求约束力的约束 代之以主动力 4 分析约束 确定拉格朗日广义坐标和虚位移 建立静系 变分得虚位移或由约束几何关系直接得 5 代入虚功原理求解 虚功原理是针对理想约束条件的力学体系 虚功原理方程中不应出现约束 反 力 若用虚功原理求约束力 可用拉格朗日不定乘子法 若用虚功原理求约束力 可用去约束为主动力的方法 虚位移原理可用来解决非自由质系的平衡问题 系统在给定位置平衡时主动力之间的关系 求系统在已知主动力作用下的平衡位置 求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力 虚功原理方程是研究静力学问题 故只能选择静系 6 3拉格朗日方程 一 达朗贝尔原理 式中 对于包含n个质点的力学体系 每一质点都应遵循牛二定律 和 分别为作用于第i质点的主动力和约束力 移项有 如果把 当作作用在质点上的力 那么就可以化动为静 达朗贝尔原理 称为逆效力 reversedeffectiveforce 与惯性力相区别 拉格朗日方程的理论可以完全独立于牛顿力学 化动为静后 力学体系中作用于各质点的所有力 包括 主动力 约束力 和逆效力 的虚功之和等于0 若力学体系受到的是理想约束 那么 则有 达朗贝 拉格朗日方程 达朗贝 拉格朗日方程是虚功原理 的推广 达朗贝 拉格朗日方程是考虑了理想约束条件下的结果 达朗贝 拉格朗日方程和牛二定律是等价的 牛顿第二定律是用约束力代替了约束条件 看成自由质点 二 拉格朗日方程 为了大家便于掌握 从矢量力学的牛顿定律出发 导出广义 坐标表示的完整约束下力学体系的达朗贝尔 拉格朗日方程 广义坐标的一阶导称为广义速度 s个广义速度分量构成 称为广义速度分量 因 故 上示表明 这里q和表示s个广义坐标和广义速度 基本形式的拉格朗日方程组 达朗贝 拉格朗日方程 主动力的虚功 逆效力的虚功 注意到 于是有 是独立变化 有 有 仍是q t的函数 故 即 又因 所以有 那么逆效力的虚功化为 因 故 T为体系的动能 把主动力和逆效力的虚功代入达朗贝 拉格朗日方程 因 q 是相互独立的 所以有 基本形式的拉格朗日方程组 冲击运动的拉格朗日方程 一个力学体系在冲力作用下的拉格朗日方程 一般是 把在广义力Q 作用下力学体系的基本形式的拉格朗 日方程自时间t1积分到时间t2 其中t2 t1为冲力作用 的时间 通常是十分短促 因t2 t1很小 比其它积分值小很多 忽略 如果主动力为保守力 就可以引入势能函数 从而基本 形式的拉格朗日方程组完全可以用能量表示 基本形式的拉格朗日方程组不含约束 所以不会像牛顿 力学中 对力学体系的约束越多 方程的数目也就增多 力学体系的自由度等于基本形式的拉格朗日方程组数目 只需找出力学体系的广义坐标和动能式便可建立方程组 对稳定的力场 势能函数 对非稳定的力场 势能函数 保守场中的拉格朗日方程 由保守力的性质可知 作用在第i质点上的保守力为 那么在保守力作用的力学体系的广义力为 基本形式的拉格朗日方程组化为 或 由虚功原理 在保守场中力学系平衡的条件为 具有稳定的势能 注意到势能函数只是位置和时间的函数 故有 基本形式的拉格朗日方程组化为 若令 那么有 称为拉格朗日函数或拉氏函数或拉格朗日量 拉氏函数对广义坐标的偏导 称为广义动量 拉格朗日函数的不确定性 有时也称动势 是力学系统的一个 拉格朗日函数 特性函数 表征着约束 运动状态 相互作用等性质 称为广义动量 一般性 仅仅是广义动量的特殊情形 V与 无关时 称为广义力 一般性 于是 回归到动量定理 两个拉格朗日函数L1和L2 如果只相差任意关于广义坐标q 和时间t函数 的全导数 那么L1和L2等价 为得到结论 不妨设 当L1满足 时 与 相同 即证明 又 显然有 证毕 同一力学体系 拉格朗日函数不唯一 有无穷多个 不同拉格朗日函数之间可以相差一个因子 取拉格朗日函数 是因为简便 p 与q 一一对应 显然广义动量也不唯一 有无穷多个 取 函数与广义坐标无关或常数时 p 与q 一一对应 三 循环坐标和广义动量积分 如果某一广义坐标 在拉氏函数中不出现 则 如果作用于力学体系的主动力为保守力 那么拉氏方程 可简化成 可得第一积分为 如果有多个广义坐标在拉氏函数中不出现 那么每个未 出现的广义坐标都有对应的第一积分 在力学体系拉氏函数中不出现的广义坐标 称循环坐标 每一循环坐标相对应的第一积分 称循环 广义动量 积分 如在平方反比的引力中 势能 故 我们知道有心力是二自由度问题 用r 表示 那么拉氏 函数应有四个参数 但这里不含 故 循环坐标 有心力角动量守恒 正是 的循环积分 拉氏量L中不含某一广义坐标 并不意味着不含其广义速度 这里不含 循环坐标 但却含有广义速度 广义速度一般不为常数 四 能量积分 设力学体系是受到完整约束和保守力的作用 体系有s个 自由度 那么 求导得 体系动能 式中 分别表示广义速度 的二次 一次 零次的函数 因 所以 仍是 的函数 如果力学体系是稳定的 那么 从而 即动能仅为广义速度的二次齐次函数 各项乘以 后相加得 由求导公式知 代入化简可得 因动能仅为广义速度的二次齐次函数 所以据欧勒关于齐次函数的定理知 因T和V都不是时是t的显函数 所以有 代入 得 即 积分可得 这正是力学体系的能量积分 例6 3 如图所示 滑轮组悬挂三个重物 质量分别为m1 m2和m3 试分别求出这三个重物加速度的大小 滑轮及绳子的质量可忽略不计 分析 利用拉格朗日方程组可求解 关键是找出广义坐标 因三个重物 二个滑轮 在同一平面作一维运动 需5个参量描述 又A固定和两个绳长 一定的约束 故只需2个独立坐标q1 q2 解 建立如图所示的一维坐标系Ox 三重物分别对应的坐标为x1 x2 x3 设滑轮A B半周长分别为s1和s2 由图中几何关系有 滑轮A B上的绳长分别为l1和l2 重物 速度 不计滑轮和绳了的质量 那么体系的动能为 体系的势能为 体系的拉格朗日函数为 代入拉格朗日方程组有 化简为 解得 所以各重物的加速度为 拉格朗日方程组是虚功原理在广义坐标的推广 解题步骤一样 例6 4 在半径为R的光滑圆环上穿有一质量为m的小球 圆环以恒定角速度绕其铅直的直径转动 如图 求出小球的平衡位置 小球在圆环上能保持不动的位置 于是可利用拉格朗日方程组可求解 因小球随圆环转动 故为不稳定约束 以圆环为参考系 那么小球只需一个 坐标 就可以描述 求出拉格朗日函数 分析 小球受到圆环的约束为理想约束 解 如图 在初始时刻的圆环上建立直角坐标系O xyz Oy为圆心和圆环与过O点并垂直于转轴的 以圆环圆心O为原点 铅直向上方向为z轴 平面的交点连线 ox为垂直于圆环平面 由图中的几何关系可知 小球的动能 小球的势能 小球的拉格朗日函数 小球的拉格朗日方程为 方程两边对 积分一次 化简为 若令 那么有 这类似于自由质点在势场中作一维运动的机械能守恒方程 于是U 就可以看作是小球关于 的有效势能 那么只需取U 为最小值时 小球就处于平衡 由U 的一阶导等于0有 代入U 的二阶导 使其大于0才能使U 取最小值 即 时 时 时 稳定点 不稳定点 即 时是稳定点 事实上 本题中采用相对运动求动能更加简捷 小球的绝对速度等于小球所在圆环处上点的牵连速度 加上小球相对圆环的速度 即 因 剩下的求法是一样的 所以小球的动能为 例6 5 一质量为m 半径为r的匀质圆柱体沿一斜劈的斜面无滑动地滚下 斜劈则放置在光滑的水平面上 如图所示 已知斜劈的质量为m 劈角为 i 写出柱体和斜劈系统的拉格朗日函数 ii 柱体自静止沿斜面滚动了n圈时 斜劈的速度v和柱体滚动的角速度 解 如图 取初始时刻斜劈A点为原点O 建立直角坐标系 O xyz 设斜劈的尖端A点坐标 x 0 s为圆柱轴心离 分析 劈尖作一维运动 需要一个变量 x 圆柱相对 劈尖作纯滚动 劈尖上看圆柱 只需一个变量 斜劈尖端A的距离 初始时为s0 圆柱轴心坐标 x y 为柱体滚动的角度 斜劈质心的坐标 xC h 由图中的几何关系可知 圆柱和斜劈体系的动能 为圆柱绕轴线的转动惯量 斜劈做一维平动 故 代入化简得圆柱和斜劈体系的动能为 圆柱和斜劈体系的势能为 水平面为0势能面 圆柱和斜劈体系的拉格朗日函数为 对拉氏方程组第一式积分有 由初始条件 得c 0 即 这正是体系水平方向动量守恒 求得 圆柱和斜劈体系的拉格朗日方程组为 ii 求导得 x为循环坐标 代入拉氏方程组的第二式可求得 因 故 圆柱转动n圈后 2n 对上式定积分可得 同理 圆柱转动n圈后 2n 对上式定积分可得 因此圆柱体在转动n圈后 斜劈的速度为 因此圆柱体在转动n圈后 圆柱体滚动的角速度为 例6 6 经验告诉我们 用一枝铅笔的笔尖与水平桌面接触 使之竖直地稳定转动是很困难的 一长为10cm 直径为0 8cm的铅笔 即使以角速度 0 100rot s高速转动 也不能稳定地竖直转动 试用分析力学方法解释 分析 铅笔是否能稳定地竖直转动 关键是看在竖直方向 0 时 铅笔的势能是否处于极小值 解 象对称陀螺一样取坐标系 那么 为广义坐标 初始时刻 铅笔直立 任意时刻 有 显然 坐标轴皆为惯量主轴 任意时刻 铅笔角速度为 若把铅笔视为圆柱 则有 铅笔定点转动时的拉格朗日函数为 从拉格朗日函数的表达式知 为循环坐标 故 代入初始条件 求得 即 对 广义坐标 拉格朗日方程为 化简有 对拉格朗日方程化简有 积分有 类似质点在势场做一维运动时机械能守恒 引入有效势能 只需看其是否在 0时有极小值 对U 求导进行判断 6 4微振动 自然界中的力学系统大多是复杂的非线性系统 要得出 完整的一般解将十分困难 我们常求解一些微振动问题 即力学体系相对平衡位置有微小偏离的运动 作微小偏离时 可借助数学手段把非线性化成线性问题 设稳定 完整约束的力学体系有s个自由度 那么有 多自由度力学体系的微振动 力学体系动能为 式中 为 的二次齐次函数 因 所以 仍是 的函数 因 为 的函数 可在平衡位置附近泰勒展开 因体系在平衡位置附近振动 的值很小 高阶项略 为书写简便 把 记作 为常数 常称作惯性系数 把 排成s阶的对称矩阵 称惯性系数矩阵 把力学体系的势能函数在平衡位置用泰勒展开 取平衡位置时为力学体系的势能零点 即 又平衡位置时 力学体系的势能必须是最小值 所以力学体系的势能为 式中 为常数 称为恢复系数或准弹性系数 可构成s阶对称矩阵 称为恢复系数矩阵 所以力学体系的动能和势能函数分别为 从而有 代入拉格朗日方程组 可得 因是线性齐次常微分方程组 设其解为 代入方程组得特征方程组 要使 有解 就必须要求方程组系数的行列式为0 解行列式可求出2s个 的本征值 把 l的本征值代入方程组 可求得 一组 个 A值 有2s个 l的值 对应着2s组 所以 的解是 的线性叠加 因只考虑力学体系在平衡位置附近的微振动 q取有限值 所以 l应取纯虚数 因为如果某些 l有实数部分 则由 行列式所解出的 l必定出现正负根 由 对含正实数部分的根 广义坐标将随t增大而无限制增大 知 由于力学体系在平衡处为势能最小值0 偏离平衡位置时 势能大于0 那么就会做往复式的运动 因此令 从而 其实数解表为 事实上 求出的2s个 并不相互独立 而是它们的比 如果行列式的s 1阶代数余子式中有一个不等于0 则在 一组解 中 只有一个数可以任取 即对应于一个本征值 只有一个任意常数 设为 则 第 列后的代数余子式代入 其中 表示去掉第一行和 所得的值 q 表达式中共含有2s2个常数 但每个 l只有一个任意常数 l共有2s个 所以2s2个常数中只有2s个常数是独立的 并 可通过初始条件t 0时 的值确定 那么 简正坐标 对于多自由度体系的微振动问题之所以比较复杂 主要是 因为动能和势能含有交叉项 和 据一线性代数理论 总能利用线性空间的变换 去掉动能 和势能含有的交叉项 这里体现在坐标的变换 坐标变换后动能和势能不含交叉项 此坐标称为简正坐标 对于多自由度体系的微振动 动能T是正定的 即对不全 为0的广义速度来说 T恒为正值 据线性代数理论 总能找到线性变换 使得 动能和势能变成正则形式 即不含交叉项 和 有时需作两次这样的变换 才能达此目的 在变换后 所以拉格朗日方程为 因坐标由 变为 代入T和V有 可解得 耦合摆的微振动 如图 耦合摆由两个相同的单摆平行悬挂 摆锤间有一 轻质弹簧相连构成 设摆锤的质量为m 摆长为l 两摆 竖直下垂时 弹簧呈自然长度s0 弹簧劲度系数为k 弹簧的质量忽略 忽略阻尼作用 试求此体系的运动 分析 耦合摆在铅直平面内运动 受到绳和弹簧的约束 故仅需2个 独立坐标描述 这里取 和 当然也可取位移 如x1 x2 解 设 和 表示分别表示两 摆锤摆动时偏离平衡位置的角度 建立如图所示的直角坐标系O xy 那么初始时刻 两摆锤的坐标为 摆动后 坐标为 lsin l lcos 和 s0 lsin l lcos 摆动后 弹簧的长度可由两点间距离公式求出 0 0 和 s0 0 因平衡位置 所以 体系的势能为 体系的动能为 耦合摆作微振动 和 都是微小量 体系的势能展开得 所以 体系的拉格朗日函数为 体系的拉格朗日方程组为 因是二阶常系数线性微分方程组 设解为 代入可得 具有非零解的必要条件是它们的系数行列式为0 即 行列式化简并求解得 这些 的值 只与耦合摆自身装置的参量 m l k 有关 因而称固有频率或本征频率 代入 可解出 的比值 因 为齐次线性方程组 所以微分方程组的一般解写成如下线性组合的形式 现在讨论初始时刻耦合摆只是左摆稍稍向右偏离的情形 时 对 和 求导有 代入初始条件可得 若令 解得 从而得出耦合摆作微小振动时的解 如果再令 则可将振动解写为 这表明耦合摆的两个摆都分别作调幅振动 基本频率为 调幅频率为 耦合摆的振动解如图示 两个摆的摆动是消长互补 即通过弹簧的耦合 振动能量在两摆之间往返传递 一个摆的振动变小时 另一个摆的振动则变大 耦合摆的两个摆的振动相互关联而不独立 这是因为 势能的表达式中含有 和 的乘积项 式中 简正坐标 耦合摆体系的拉格朗日函数为 体系的拉格朗日方程组为 拉格朗日方程组为典型的两个独立简谐振动方程 解为 初始条件为 时 可得 这两个独立简谐运动分别代表耦合摆以不同的本征频率振动 的两个独立振动模式 这些模式有时称作简正模式 振动 简正振动的频率是体系本征频率 称为简正频率 与简正振动相对应的 广义 坐标称为简正坐标 由 知 耦合摆是整体和相对振动合成 整体运动 相对运动 每一种简正模式都是整个耦合摆体系的整体效果 Legendre变换 Legendre变换的一般定义 以二元函数 为例 的全微分为 又因 两式相减得 这种从原函数 变换到新函数 称为Legendre变换 的方法 6 5哈密顿函数和正则方程 事实上只需从u u x y 中解出x x u y 代入g u y 即有f x y f x u y y 从变换的定义可以看出Legendre变换通俗表述为 为了使含有x y独立变量的函数变换为含新变量x u 的新函数g u y 新函数g u y 等于新函数不含有的独立变量乘以 原函数f x y 对该变量的偏导数 再减去 原函数f x y 若推广到多元 则 已知拉格朗日函数为 拉格朗日方程组为 拉格朗日函数是 的函数 能否把二阶常系数微分方程降成一阶呢 HamiltonianfunctionandCanonicalequation 由广义动量的定义 当势能中不含广义速度 时 广义动量 拉格朗日方程组为 于是把s个二阶常系数微分方程降成2s个一阶方程 在理论物理学中 用坐标和动量比用坐标和速度作为 独立变量使用时要广泛和方便得多 因此我们需作Legendre变换 引入新的函数 降阶后的2s个一阶方程中 拉格朗日函数 显然Hamiltonian函数H q p t 的形式为 那么据欧勒关于齐次函数的定理知 如果动能是广义速度的二次齐次函数 在稳定约束情形下Hamiltonian函数H q p 为 在稳定约束情形下 正好表示的是力学系的机械能 如果动能是广义速度的二次非齐次函数时 它虽不表机械能 但仍是一个特征函数 对拉格朗日函数全微分得 对Hamiltonian函数H q p t 全微分得 比较 对Hamiltonian函数H q p t 全微分两种形式比较知 哈密顿 正则方程 且 称作正则变量 构成2s维相宇 或相空间 中的一个相点 由于哈密顿正则方程是从拉格朗日方程导出来的 所以在一定条件下 哈密顿正则方程也有循环积分 若H中不显含t 则 即H为常数 若稳定约束情形下 H表示机械能 若H中不显含qa 则 即 为常数 由2s个正则方程知 给定哈密顿函数后 积分可积的 情形下 力学系的运动轨迹被确定 当积分不可积时 出现随机的混沌行为 例6 7 一质量为m 半径为r的圆柱体置于坡角为 的斜面上 柱轴用轻绳过坡顶的光滑滑轮与一质量为m 的重物相连结 如图重物自静止开始下落 求重物的加速度和下落h距离后的速度 分析 利用哈密顿正则方程求解 需先求得力学系的动能和势能 从而求得拉氏函数 最终获得 哈密顿函数 圆柱体作平动 和定轴转动 需两个坐标 重物作一维运动需一个坐标 力系受轻绳约束 故只需一个坐标 不妨取重物坐标y 解 设绳长为l 柱体轴心离坡顶距离为s 柱体滚动的角度 大小为 下垂的重物到坡顶的距离为y 约束关系为 力学系的动能为 圆柱中心轴的转动惯量 力学系的势能为 取坡顶为零势能 那么与y对应的广义动量为 即 注意到动能是广义速度的二次齐次函数 故 代入哈密顿正则方程得 求得 分离变量积分 化简得 所以重物的加速度为 重物下