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最新本科毕业论文终稿优秀论文 逼近思想在实分析中的应用研究摘要首先介绍逼近思想产生的国内外背景，论述逼近思想及其分类。 接着研究逼近思想在数学分析中的应用，在可微性方面，用多项式函数逼近初等函数；在可积性方面，用阶梯函数和连续函数来逼近R可积函数。 其次探讨逼近思想在实变函数中的应用，从可测集、可测函数、L积分和L可积函数的逼近来说明逼近思想在实变函数中的具体体现。 最后总结逼近思想在L积分中应用与在R积分中应用的相似之处。 关键词逼近思想；R可积函数；可测集；可测函数；L积分；L可积函数AbstractFirstly thispaper providesbackground of approximation theoryand illustrates approximation theoryand itsclassification.Then thisarticle studiesthe applicationof approximation theory inMathematical Analysis,In termsof differentiability,approximation ofthe elementaryfunction bypolynomial function;In termsof integrability,approximation ofRiemann integrable functions bystaircase functionand continuousfunction.Finally thispaper discussesthe applicationofapproximationtheory in real variable function.To illustratethe approximationtheory embodiesinrealvariablefunctionis fromthe measurable set,measurable function,Lebesgue integraland Lebesgue integrablefunctionsapproximation.Key words:approximationtheory;Riemann integrablefunction;measurableset;measurable function;Lebesgue integral;Lebesgueintegrablefunction引言数学思想是数学知识的本质，它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略。 数学思想寓于数学知识之中,我们不仅要学习数学知识，更重要的是要学习数学知识背后的数学思想。 逼近思想是贯穿整个微积分学的基本思想，在数学的多个分支中都有应用。 例如，常微分方程里的一阶微分方程的解的存在唯一性定理的证明过程中使用的皮卡（Picard）逐步逼近法，运筹学里最优解问题中线性规划的单纯形法，解高次方程时所用的牛顿切线法等，都体现了逼近法的思想。 所以研究逼近思想具有重要意义。 网上流行“实变函数学十遍”1，表明了实变函数很抽象，让我们学起来很费劲。 而实变函数论中运用最普遍和最具特色的数学思想就是逼近思想。 2用逼近思想来研究实变函数论，即逼近思想在可测集、可测函数、L积分和L可积函数的应用，可以让我们清晰地看到实变函数论的整体框架。 由于L积分是从改进的R积分形成的，所以本文先研究逼近思想在R可积函数中的应用和初等函数的逼近。 1逼近思想的概述1.1逼近思想产生的国内外背景古希腊的阿基米德从圆内接和外切正六边形开始,然后正十二边形,正二十四边形,对圆周长进行逼近，其中就蕴含了逼近思想；牛顿的“流数术”也运用了逼近思想；中外许多数学家证明哥德巴赫猜想的过程也运用了逼近思想等等。 下面我们主要介绍刘徽的“割圆术”和“Zenos paradoxes”，来形象地说明什么是逼近思想。 三国时期魏国人刘徽认为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，我们结合图形来说明刘徽的思想。 从图形上可以看到刘徽是在单位圆内，作内接正多边形，可以看到随着正多边形的边数的增加，正多边形越来越接近圆，于是他就用正多边形的面积近似代替单位圆的面积。 正多边形的边数越多，正多边形的面积就越接近于圆的面积，而圆的面积21S?，由此看出,要计算?的值，只需求出圆的面积，而圆的面积可以用正多边形的面积来近似代替。 当刘徽算到正192边形时，即得2.1410243.142704?。 3后来他一直算到圆内接正3072边形,进一步得到39273.141591250?,可以将?精确到五位小数。 Achiles是史诗Iliad中的英雄人物。 公元前五世纪希腊有一个哲学家Zeno认为，如果Achiles与一头乌龟赛跑，只要乌龟先跑一段路，他就永远追不上乌龟。 以常识来看，这是无稽之谈！但是Zeno给出的证明为假设Achiles与乌龟相距1000步,Achiles每秒跑10步乌龟爬1步；经过100秒,Achiles跑了1000步,在这段时间里,乌龟向前爬了100步；再过10秒钟,Achiles跑完了这100步,但乌龟又向前爬了10步；要克服这10步,Achiles还要花1秒钟,在这1秒钟里乌龟又向前爬了1步。 这样,乌龟总在Achiles前头,他无论什么时候也赶不上乌龟。 4很明显,这是谬论。 设x为Achiles赶上乌龟所用的时间，根据题意，可以列出方程100010xx?,解得11119x?。 继续Zeno的证明，再花110秒钟，Achiles跑完了这1步，乌龟又向前爬了110步；再花1100秒钟，Achiles跑完了这110步，虽然这样看来乌龟在Achiles前头，但逼近方程的精确解。 1.2逼近思想方法的含义和分类我国著名数学家华罗庚有句名言“善于退,足够地退，退到最原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窍!”2这句名言揭示了逼近思想的精髓。 为了解决一个讨论对象比较复杂的数学问题,运用逐步退的方法,退到与问题本身有着本质联系的最简单情形。 通过最简单情形使问题获得解决，再逐步地扩大（或缩小）范围，逐步逼近，以至最后达到问题所要求的解。 在刘徽的“割圆术”中，我们求圆周率?，转化为求单位圆的面积。 不用公式求解，而用其他方法来求圆的面积是很困难的。 因为圆是曲线围成的，而不是我们所熟悉的直线围成的，于是我们退到求直线围成的图形面积，即求多边形的面积。 我们用多边形的面积去代替圆的面积，但是圆的面积并不等于这多边形的面积，当圆内接多边形的边数增加时，我们发现圆内接多边形的面积更接近于圆的面积，这样逼近下去，就可以求出圆的面积。 从Zenos paradoxes中，我们要求Achiles赶上乌龟所用的时间，直接来求是很困难的，先退到Achiles要赶上乌龟，必须跑完他们相距的1000步。 当阿齐列斯跑完这1000步，乌龟又向前跑了100步，所以Achiles要跑完这100步，如此下去，就可以求出Achiles赶上乌龟所用的时间。 逼近思想的含义是为了解决一个数学问题，首先从与该问题的实质内容有着本质联系的某些容易着手的条件或某些减弱的条件出发，再逐步地扩大（或缩小）范围，逐步逼近，以至最后达到问题所要求的解。 数学中的逼近思想大致上分为两类一类是问题解序列的逼近,另一类是问题序列的逼近。 3问题解序列的逼近是给问题一个可行或近似的初始解，然后以此解为基础，按固定的程序给出一个解序列，这个解序列的极限就是该问题的精确解，序列的每一项都是这个问题的近似解。 在Zenos paradoxes中，运用了这类逼近思想，它在求解方程中有着广泛的应用。 问题序列的逼近是从一个与问题实质内容有本质联系的较大范围内的问题开始,逐步缩小问题的范围,通过这系列问题解决的成果和方法的分析、综合、启发等,使原来的问题获得解决的一种方法。 在刘徽的“割圆术”中充分体现了这类逼近思想，它也是接下来我们所用到的逼近思想。 2逼近思想在数学分析中的应用数学分析主要研究函数的连续性、可微性和可积性。 逼近思想在数学分析中应用很广，考虑到本文侧重研究逼近思想在实变函数中应用，而实变函数是以Lebesgue积分为中心的新的微积分理论，又Lebesgue积分是以改进的Riemann积分建立的，所以接下来我们主要探讨R可积函数的逼近。 数学分析研究的对象是函数，所以先研究初等函数的逼近是很有必要的。 2.1用多项式函数逼近初等函数定义1设函数f在点0x有直到n阶的导数，这里n是任意给定的正整数，令?2()00000000111,;()()()()1!2!nnnTf xxf xf xxxfxxxfxxxn?，称之为f在0x处的n次Taylor多项式。 定理1设函数f在点0x处有直到n阶的导数，则有?000(),;,nnf xTf x xoxxxx?，此式叫做函数f在0x处的Taylor展开式。 5称?2()111,0; (0) (0) (0) (0)1!2!nnnTfxffxfxfxn?为f的n次Maclaurin多项式。 相应于定理1，?(),0;()nnf xTfxox?叫做函数f的Maclaurin展开式。 ?2()00000000111()()()()1!2!nnnf xf xf xxxfxxxfxxxoxxn?,0xx?。 这个公式的右边，除了最后一项外，前面是不超过n次的多项式。 这个公式的意义在于，在0x点的近旁，一个复杂函数可以用多项式函数来近似地代替。 虽然余项?0noxx?一般不是多项式，但是比起前面那些项的总和，已是微不足道。 接下来看一些初等函数的Maclaurin展开式。 2e1()1!2!nxnxxxo xn?；?352112sin1()3!5!21!nnnxxxxxo xn?；?242121cos11()2!4!2!nnnxxxxo xn?；?231ln (1)1()23nnnxxxxxo xn?；?2111 (1)1()2!nnnxxxxo xn?；?352112arctan1()3521nnnxxxxxo xn?。 定理2（Taylor定理）设函数()f x在?,a b上存在n阶的连续导函数，在?,a b内存在1n?阶的导函数，则对任意给定的?0,x xa b?，至少存在一点?,a b?，使得?() (1)2100000000()()()()()()2!1!nnnnfxfxff xf xf xxxxxxxxxnn?6由Taylor定理可以看出，在一个区间上可以用多项式函数来逼近复杂的函数。 当然，我们必须为这一便利付出代价，那就是函数必须在一定的范围内具有适当高阶的导函数。 又若初等函数在定义域内有直到1n?阶的导数，那么初等函数在定义域内有Maclaurin展开式，即初等函数在定义域内可以用多项式函数来逼近。 2.2用阶梯函数逼近R可积函数定义2?:,a b?R，如果有分割0121nnaxxxxxb?，使得在每个子区间上，?为常值函数，则称?为?,a b上的阶梯函数。 定义3函数?f x在?,a b上有定义，将?,a b分割成n个小区间?1,iixx?，1,2,in?，在每个小区间?1,iixx?上任取一点i?，作和式1()niiifx?1()iiixxx?，称为函数?f x在?,a b上的一个积分和。 取?1maxii nTx?,若01lim()niiTifx?存在，且这个极限的存在性和数值不依赖于分割和i?在第i个子区间上的选取,则称函数?f x在区间?,a b上黎曼可积。 设?xf在?,a b上有定义且?0f x?。 根据定义3，在区间?,a b内任取1n?个分点，它们依次为0121nnaxxxxxb?。 直线,0,1,ixx in?与函数?f x及x轴把曲边梯形分割成n个小曲边梯形。 在每个小区间?1,iixx?上任取一点i?，作以?if?为高，?1,iixx?为底的小矩形，用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边梯形的面积，这n个小矩形的面积之和就是该曲边梯形面积S的近似值，即1()niiiSfx?1()iiixxx?，把分割加密，那么小矩形的面积能更好地替代小曲边梯形的面积，则所求的S就更精确。 于是若01lim()niiTifx?存在，其中?1maxii nTx?，这个极限的存在性和数值不依赖于i?在第i个子区间上的选取,即01lim()niiTiSfx?。 即?0f x?，?,xa b?时，定积分的几何意义为该曲边梯形的面积（图1）。 从曲边梯形面积的逼近过程，结合阶梯函数和R可积函数的定义猜测R可积函数由阶梯函数来逼近。 定理3设f在?,a b上可积，则有任意0?，必存在?,a b上的阶梯函数?和?，使得在?,a b上有()()()xf xx?，且|()()|dbaxxx?，|()()|dbaxf xx?，|()()|dbaxf xx?。 证明f在?,a b上可积，则对任意0?，总存在相应的某一分割T,即011nnaxxxxb?，使得1niiix?。 记?1,iiiIxx?，1,2,in?，inf()iix Imf x?，sup()iix IMf x?，令?1012121,.nnnm xx xm xxxxm xxx?1012121,.nnnM xxxMxx xxMxxx?则()()()xf xx?，?,xa b?，那么1|()()|d|()()|dnbbiiaaixf xxxxxx?,|()()|d|()()|dbbaaxf xxxxx?，即定理得证。 从定理3可以看出R可积函数可由两个阶梯函数来逼近。 2.3用连续函数逼近R可积函数y()yf x?x a1x2x3x1nx?b图1定理4设f在?,a b上可积，求证对任给的0?，必存在?,a b上的连续函数g和h，使得在?,a b上有()()()g xf xh x?，并且()()d,()()dbbaah xf xxg xf xx?。 7证明f在?,a b上可积，则有任意0?，总存在相应的某一分割T,即011nnaxxxxb?，由定理3可知，必存在?,a b上的阶梯函数?和?，得在?,a b上有()()()xf xx?，且|()()|dbaxxx?，()()d2baxf xx?，()()d2baf xxx?。 把阶梯函数()x?按如下方式取得()g x，对充分小的0?，若1iimm?，对?,iixx x?，1,2,1in?，作?1()iiiimmg xmxx?（如图2所示），则1()iimg xm?。 若1iimm?，对?,iixxx?，作?11()iiiimmg xmxx?（如图3所示），则1()iimg xm?。 在其他处作()()g xx?，则()g x在?,a b上的连续，且()()()g xxf x?，又()f x在?,a b上可积，则()f x在?,a b上有界，即,m M?,使得()mf xM?。 于是?11111()()d2max(,)21max(,)nnbiiaiixg xxmmmMnm M?。 对于确定分割T，n是一个固定的值，又0?任意小，那么()()d2baxg xx?。 从而x y1ix?ix ix?i m1ix?1i m?图2?1()iiiimmg xmxx?y x1ix?ix ix?1ix?i m1i m?图3?11()iiiimmg xmxx?()()d()()d()()d()()d22bbbbaaaag xf xxf xg xxf xxxxg xx?。 类似地，把阶梯函数()x?按如下取折线函数的方式取得()h x。 若1iiMM?，对?,iixxx?，1,2,1in?，作?11()iiiiMMh xMxx?，此时1()iiMh xM?。 若1iiMM?，对?,iixx x?，作?1()iiiiMMh xMxx?，则1()iiMh xM?。 在其他处作()()h xx?，则()h x在?,a b上的连续，且()()()f xxhx?。 同理可证()()dbah xf xx?。 从定理4可以看出R可积函数可由两个连续函数来逼近。 定理5设f在?,a b上可积，则对任给的0?，必存在?,a b上的连续函数?w x，使得?()baf xw x dx?。 7证明f在?,a b上可积，则对任意0?，总存在相应的某一分割T,即011nnaxxxxb?，使得1niiix?。 在?,a b上作函数?w x，当?1,iixxx?时，1111()()(),1,2,iiiiiiiixxxxw xf xf xinxxxx?。 从()w x的表达式可知，()w x为一次函数，()()iiw xf x?，11()()iiw xf x?，则()wx在?,a b上连续。 当?1,iixxx?时，有?11111()()iiiiiiiif xwxxx f xxxf xxxxxf xxx?1111111iiiiiiiiiiiiiiif xf xxxxxf xf xxxxxxxxxxx?于是?111()d()diinnbxiiaxiif xwxxf xwxxx?。 从定理5可以看出R可积函数可由一个连续函数来逼近。 例1f在?,a b上可积，则存在连续函数序列?()nx?，()dlim()dbbnaanf xxxx?。 8证明()f x在?,a b上可积，则可将区间?,a bn等分，即?01nnnnaxxxb?，记?1,nnniiiIxx?，1,2,in?，?inf()ninix Imf x?，?sup()ninix IMf x?，()f x在?,a b上可积，则?1lim0nnniinix?。 于是0?，1N?,当nN?时，?1innniix?。 作?11()()()nniinnniinniif xf xxf xxxxx?，则()nx?在?,a b上连续，那么()nx?在?,ab上可积。 则在?niI上，?()nninimxM?，?()nniimf xM?，从而?()()nnixf x?，故当nN?时，有?1()d()d()()dnbbbnnnniiaaaif xxx xf xxxx?。 于是()lim()bbnaanf xdxx dx?。 从例1可以看出R可积函数可由连续函数列来逼近。 3逼近思想在实变函数中的应用实变函数是以Lebesgue积分为中心的新的微积分理论，Lebesgue积分是在Riemann积分改进的基础上形成的。 为了建立Lebesgue积分，引进了Lebesgue可测集和可测函数，接下来我们探讨可测集的逼近、可测函数的逼近、无界函数L积分的逼近和L可积函数的逼近。 3.1用开集和闭集来逼近可测集定理6设nE?R，E为可测集的充要条件为对任意的0?，存在开集G,使EG?,且?*m GE?。 证明先证充分性。 对于每个1n?，?开集nGE?，有?*1nm GEn?。 作1nnGG?，G为G?型集，则G为可测集，又对每个1n?，有nGE?，所以GE?，从而1nnGEGE?。 又1nnnGG?，则nGEGE?。 于是?*1*nm GEmGEn?。 令n?，得?*0m GE?，又外测度的正则性，所以?*0m GE?，即GE?为零测集。 于是?GGE?为可测集，即E为可测集。 再证必要性。 当mE?时，0?，?开集G,有GE?，使得mEGmE?，即mGmE?。 又mE?，则mG mE?。 又GE?，有()m GEmGmE?，即()m GE?。 当mE?时，则1nnEE?，且nE为互不相交有界的可测集。 又nE有界，则nmE?。 于是存在开集nG，有nnGE?，使得()2nnnm GE?。 作开集1nnGG?，则11nnnnGE?,即GE?。 于是1111nnnnnnnGEGEGE?。 又1nnnEE?，111()()nnnnnnnnnGEGEGE?，则1()nnnGEGE?。 那么11()()2nnnnnm GEm GE?，即()m GE?。 从而当E为可测集时，对于0?，都?开集G,有GE?，使得()mGE?。 即命题得证，定理6可以说明开集是从外向内逼近可测集。 例2设nE?R，E为可测集的充要条件为对任意的0?，存在闭集F,使FE?,且?*mEF?。 证明先证必要性。 E为可测集，则cE为可测集，由定理5可知，0?，?开集G，有cGE?，使得?*cm GE?。 令cFG?，则F为闭集，有cGE?，即FE?。 又cGEGE?，cEGEG?，所以G EEGEF?，那么?*mEF?。 再证充分性。 0?,存在闭集F,使FE?,则FE?。 令cGF?,则G为开集，且cGE?，那么?GEGEFEEF?。 又?*mEF?，则?*cm GE?，由定理5知cE为可测集，则E为可测集。 命题得证，此例题说明闭集从内向外可逼近可测集。 3.2简单函数逼近可测函数定理7若()f x是E上的非负可测函数，则存在非负可测的简单函数渐升列1()(),1,2,kkxx k?使得lim()()kkxf x?，xE?。 9证明对任意的自然数k，我们将?0,k划分为2kk等分，并记,1;()22k jkkjjExEf x?，1,2,2,1,2,kjkk?;(),kExE f xk?作函数列?,2,1,2,2,1,21,?kkjExkExjxkkjkkk?并记,211()()()2kkk jkkEEkjjxkxx?,xE?。 每个()kx?都是非负可测简单函数，且有1()()()kkxxf x?，xE?,1,2,k?。 这是因为,1,211,2k jkjkjEEE?，当,k jxE?时，则1,21kjxE?或1,2kjxE?。 当,k jxE?时，?kkjx21?，?,212,212,1112,11jkkjkkkExjExjx?于是1()()kkxx?，xE?,1,2,k?。 对任意xE?,()f x?，则kxE?，从而()()kxkk?；若()f x?，则存在自然数N，使()f xN?，则当kN?时，有10()()2kkf xx?，xE?，所以lim()()kkxf x?，xE?，即定理得证。 此定理说明可以用非负简单函数逼近非负可测函数。 例3若()f x是E上的可测函数，则存在可测简单函数列?()kx?，使得()()kxf x?，且有lim()()kkxf x?，xE?。 9证明记+()()()f xfxfx?，由定理6可知，存在非负可测的简单函数渐升列?1()kx?和?2()kx?，满足1lim()()kkxfx?，2lim()()kkxfx?，xE?。 令?12()()kkkxxx?，那么?kx?是可测简单函数。 且有?lim()()()kkxfxfxf x?，xE?。 又1()()kxfx?，2()()kxfx?，那么?1212()()()()()kkkkkxxxxxf x?，即?()kxf x?，xE?。 从此例题可以看出可用简单函数来逼近可测函数。 3.3连续函数逼近可测函数定理8（Lusin定理）设()f x是可测集E上几乎处处有限的可测函数，则对任意0?，存在闭子集FE?,使()f x在F?上连续，且?m EF?。 10证略。 例4设()fx是可测集E上几乎处处有限的可测函数，则存在一列单调递增的闭子集?n F，使得()fx在每个n F上连续，且10nnm EF?。 证明由Lusin定理得，对任意自然数n，存在闭子集nEE?,使得()fx在nE上连续，且?1nm EEn?。 记1nniiFE?，则n F为闭集，且()fx在n F上连续，?n F单调递增，又1nnnnEFEFEE?，所以?11nnnnm EFm EFm EEn?。 令n?，得10nnm EF?。 定理9设E为一维空间1R上的有界可测集合，?,Ea b?，()fx是E上几乎处处有限的可测函数，则对任意0?，存在闭集FE?及在整个直线上连续的函数()g x，使 （1）当xF?时，()()f xgx?； （2）?m EF?。 11证明由Lusin定理可知，对任意0?，存在闭集FE?,使()fx在F上连续，且?m EF?。 下面从F出发将()fx扩张成1R上满足要求的连续函数()x?，由于F为1R上闭集，那么1F?R为开集，则1F?R是至多可数个互不相交的开区间?,iia b的并集，且当,iia b为有限数时，,iia b属于F。 令?,.iiiiiiiiiiiiiiiiiif xxFfbf afax axaba bbagxf axabbf bxaba?则()gx在1R上连续，且满足在F上，()()xf x?。 例5设1E?R为可测集，()fx是E上几乎处处有限的实函数，则()fx在E上可测的充要条件是存在1R上连续函数序列?()nx?，使?lim(),.nnxf xae?于E。 证明?lim(),.nnxf xae?于E，则()fx在E上可测，即充分性得证，下证必要性。 由定理9，对任意自然数n，则存在闭集n FE?及1R上的连续函数()nx?，使在n F上，()()xfx?，且?1nm EFn?。 由例4可知，?n F是单调递增，记1nnFF?,则对任意xF?,存在N,使当nN?时，nxF?，于是()()xfx?，所以?lim()nnxf x?，?xF?。 又?11nnnnnEFEFEFEF?，所以?1nm EFmEFn?，令n?，得?0mEF?。 即?lim(),.nnxf xae?于E。 从此例题可以看出可测函数可由连续函数序列来逼近。 3.4用有界函数的L积分逼近无界函数的L积分设()fx在E上非负有界且mE?，当E为区间，()fx在E上的L积分与R积分在形式上相同，现在设nE?R是任一可测集，()fx在E上非负可测，考虑()fx在E上的L积分。 引理1任何可测集E都可以表示为一列单调递增有界可测集的极限。 证明作闭矩体?12,;,1,2,mniKx xxxmin?，1,2,m?，令mmEEK?。 又1mmKK?，则1mmEE?。 又E为可测集，mK为可测集，则mE为可测集。 即?mE为单调递增可测列。 由单调可测集列性质，得111lim()nmmmmnmmmEEE KEKERE?。 从而任何可测集E都可以表示为一列单调递增有界可测集mE的极限。 定义4对任何可测集E上可测函数列?nfx?,minnxfnnxfxfnxfxfn称为函数?xf的截断函数列，记为?()nf x。 显然截断函数列中每个函数?nfx为有界函数。 又?()nf x单调递增，事实上当?f xn?时，?1()()nnf xfxfx?；当?1nf xn?时，()nf xn?，?1()nfxf x?，于是1()()nnf xfx?；当?1f xn?时，()nf xn?，1()1nfxn?，即1()()nnf xfx?。 即对于任意正整数n，都有1()()nnf xfx?，那么?lim()nnf x?存在，下证?lim()nnf xfx?。 任意0?，若()f xn?，则?()nf xn?，当n充分大时，使得n与?fx充分接近，若()f xn?，则?()nf xfx?，有?lim()nnf xfx?。 ?()dnnEf xx?单调递增且有界，这是因为1nnEE?，?1()()nnf xfx?，则?111()d()d()dnnnnnnEEEf xxf xxf xx?，于是?lim()dnnEnf xx?存在。 定义5设nE?R是任一可测集，()fx在E上非负可测，称?dlim()dnnEEnf xxfxx?为?fx在E上的L积分。 从定义5可以看出，非负可测函数的L积分可由有界函数的L积分来逼近。 3.5连续函数逼近L可积函数定理10设()fx是1E?R上的L可积函数,mE?,则对任意0?，存在1R上的连续函数?gx，使()()dEf xg xx?。 10证明因为()fx在E上的L可积，则()fx在E上几乎处处有限，即;()0mE x fx?。 又1;();()nE xf xExf xn?，记;()nEE xfxn?，则1nnEE?。 又mE?,由单调可测集列性质，则lim;()0nnmEmE xfx?。 由积分的绝对连续性，对任意0?，存在1N?，使()d4NNENmEf xx?。 对于NEE?，由定理9，存在闭集NNFEE?及1R上的连续函数()x?，使 （1）在NF上，()()xfx?,且?1supx RgxN?； （2）?4NNm EEFN?。 于是()()d()()d()()dNNEEE Efxg xxfxg xxfxg xx?()d()d()()dNNNNEEE EFfxxg xxfxgxx?24