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1 高考数学考题考点大总结高考数学考题考点大总结 精通此分资料 高考数学不成问题精通此分资料 高考数学不成问题 三角函数部分 三角函数部分 以角 的顶点为坐标原点 始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系 在角 的终边 上任取一个异于原点的点 yxP 点 P 到原点的距离记为r 则 sin r y cos r x tan x y 特殊角的三角函数值 0 6 4 3 2 2 3 sin 0 2 1 2 2 2 3 101 cos 1 2 3 2 2 2 1 01 0 tan 0 3 3 13 不存在 0 不存在 和角与差角公式 sin sincoscossin cos coscossinsin tantan tan 1tantan sincosab 22 sin ab 辅助角 所在象限由点 a b 的象限决定 tan b a 二倍角公式sin2 sincos 2222 cos2cossin2cos11 2sin 2 2tan tan2 1tan 降幂公 式是 2 2cos1 sin 2 2 2cos1 cos2 2 1 本题满分 12 分 设函数 0 2 sin2 6 sin 2 x x xxf 求的值域 xf 记BC 的内角 A B C 的对边长分别为A 的值 acbBfcba求若 3 1 1 1 解析 I xxx x xxfcos1cos 2 1 sin 2 3 2 sin2 6 sin 2 3 分1 6 sin 1cos 2 1 sin 2 3 xxx 6 分 6 5 6 6 0 xx 2 2 1 xf II 由 7 分 6 0 6 sin 1 BBBf故得 解法一 由余弦定理 cos2 222 Bacab 得 12 分21 022 2 或解得 aaa 解法二 由正弦定理 3 2 3 2 3 sin sinsin 或得 CC C c B b 当 9 分2 2 3 22 cbaAC从而 当 11 分1 6 6 3 2 baBAC从而又时 故 a 的值为 1 或 2 12 分 2 已知求的最大值 1 sinsin 3 xy 2 sincosyx 易错点分析 此题学生都能通过条件将问题转化为关于的函数 进而利用换 1 sinsin 3 xy sin x 元的思想令将问题变为关于 t 的二次函数最值求解 但极易忽略换元前后变量的等价性而造成sintx 错解 解析 由已知条件有且 结合 得 1 sinsin 3 yx 1 sinsin1 1 3 yx sin1 1x 3 而 令 2 sin1 3 x 2 sincosyx 1 sin 3 x 2 cos x 2 2 sinsin 3 xx 则原式 根据二次函数配方得 当即 2 sin1 3 txt 2 22 1 33 ttt 2 3 t 时 原式取得最大值 2 sin 3 x 4 9 3 本题满分 12 分 设函数 0 2 sin2 6 sin 2 x x xxf 求的值域 xf 记BC 的内角 A B C 的对边长分别为A 的值 acbBfcba求若 3 1 1 解析 I xxx x xxfcos1cos 2 1 sin 2 3 2 sin2 6 sin 2 3 分1 6 sin 1cos 2 1 sin 2 3 xxx 6 分 6 5 6 6 0 xx 2 2 1 xf II 由 7 分 6 0 6 sin 1 BBBf故得 解法一 由余弦定理 cos2 222 Bacab 得 12 分21 022 2 或解得 aaa 解法二 由正弦定理 3 2 3 2 3 sin sinsin 或得 CC C c B b 当 9 分2 2 3 22 cbaAC从而 当 11 分1 6 6 3 2 baBAC从而又时 故 a 的值为 1 或 2 12 分 4 已知函数 xxxf2sin 2 1 12 cos 2 1 求的最值 xf 2 求的单调增区间 xf 4 解 xxxf2sin 2 1 6 2cos 1 2 1 2 分 2sin 6 sin2sin 6 cos2 cos1 2 1 xxx 2 2sin 2 1 2cos 2 3 1 2 1 xx 分 2 1 3 2sin 2 1 x 2 分 5 在中 已知内角 边 设内角 周长为 1 ABC A 2 3BC Bx y 求函数的解析式和定义域 2 求的最大值 yf x y 解题思路 1 的内角和 由得 ABC ABC 00ABC 2 0B 应用正弦定理 知 2 3 sinsin4sin sin sin BC ACBxx A 2 sin4sin sin BC ABCx A 因为 所以 yABBCAC 22 4sin4sin2 3 0 3 yxxx 2 因为 1 4 sincossin2 3 2 yxxx 5 4 3sin2 3xx 所以 当 即时 取得最大值 x x y6 3 6 设函数 其中向量 且 f x a b cos2 mx 且a 1 sin2 1 x 且b x R 5 的图象经过点 求实数的值 求函数的最小 yf x 2 4 m f x 值及此时值的集合 x 解题思路 1 sin2 cos2f xa bmxx 由已知 得 1 sincos2 422 fm 1m 由 得 1 sin2cos212sin 2 4 f xxxx 当时 的最小值为 sin 21 4 x f x 12 由 得值的集合为 sin 21 4 x x 3 8 x xkk Z 7 07 山西 已知向量 2cos tan 2sin 22424 xxx ab tan 24 x 是否存在实数 是 f xa b 令 0 0 xf xfx 使 fx 其中 若存在 则求出 x 的值 若不存在 则证明之 f x 的导函数 解题思路 42 tan 42 tan 42 sin 2 cos22 xxxx baxf 1 2 cos2 2 cos 2 sin2 2 tan1 1 2 tan 2 tan1 2 tan1 2 cos 2 2 2 sin 2 2 2 cos22 2 xxx x x x x xxx cossinxx 0 f xfx 令即 sincoscossinf xfxxxxx 0 cos2 x 0 0 2 2 xfxfxx使所以存在实数可得 16 本小题满分12分 已知向量 2 sin a与 cos 1 b互相垂直 其中 0 2 1 求 sin和 cos的值 6 2 若 10 sin 0 102 求cos 的值 解 1 a与b互相垂直 则0cos2sin ba 即 cos2sin 代入 1cossin 22 得 5 5 cos 5 52 sin 又 0 2 5 5 cos 5 52 sin 2 2 0 2 0 22 则 10 103 sin1 cos 2 cos 2 2 sin sin cos cos cos 概率部分 概率部分 1 本小题满分 12 分 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别 公司准备了两种不同的饮料共 5 杯 其颜色完全相同 并且其中 3 杯为 A 饮料 另外 2 杯为 B 饮料 公司要求此员工 一一品尝后 从 5 杯饮料中选出 3 杯 A 饮料 若该员工 3 杯都选对 则评为优秀 若 3 杯选对 2 杯 则评为良好 否则评为及格 假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能 力 1 求此人被评为优秀的概率 2 求此人被评为良好及以上的概率 解 1 员工选择的所有种类为 3 5 C 而 3 杯均选中共有 3 3 C种 故概率为 10 1 3 5 3 3 C C 2 员工选择的所有种类为 3 5 C 良好以上有两种可能 3 杯均选中共有 3 3 C种 3 杯选中 2 杯共有 1 2 2 3C C种 故概率为 10 7 3 5 1 2 2 3 3 3 C CCC 2 本小题共 l2 分 本着健康 低碳的生活理念 租自行车骑游的人越来越多 某自行车租车点的收费标 准是每车每次租车不超过两小时免费 超过两小时的部分每小时收费标准为 2 元 不足 1 小时的部分按 1 小时计算 有甲 乙人互相独立来该租车点租车骑游 各租一车一 7 次 设甲 乙不超过两小时还车的概率分别为 1 4 1 2 两小时以上且不超过三小时 还车的概率分别为 1 2 1 4 两人租车时间都不会超过四小时 求甲 乙两人所付的租车费用相同的概率 设甲 乙两人所付的租车费用之和为随机变量 求 的分布列和数学期 望E 本小题主要考查相互独立事件 随机变量的分布列 数学期望等概念及相关计算 考 查运用所学知识和方法解决实际问题的能力 解 依题意得 甲 乙在三小时及以上且不超过四小时还车的概率分别为 1 4 1 4 记 甲 乙两人所付的租车费用相同 为事件A 则 1111115 42244416 P A 答 甲 乙两人所付的租车费用相同的概率为 5 16 可能的取值有 0 2 4 6 8 1 0 8 P 1 11 15 2 4 42 216 P 1 11 11 15 4 4 42 42 416 P 1 11 13 6 4 42 416 P 1 11 8 4 416 P 甲 乙两人所付的租车费用之和 的分布列 02468 P 1 8 5 16 5 16 3 16 1 16 所以 155317 02468 8161616162 E 3 本小题满分 13 分 工作人员需进入核电站完成某项具有 高辐射危险的任务 每次只派一个人进去 且每 个人只派一次 工作时间不超过 10 分钟 如果有一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出 再派下一个人 现在一共只有甲 乙 丙三个人可派 他们各自能完成任务的概率分别 p pp p pp 假设 p pp 互不相等 且假定各人能否完成任务的事件相互 独立 如果按甲在先 乙次之 丙最后的顺序派人 求任务不能被完成的概率 若改变 三个人被派出的先后顺序 任务能被完成的概率是否发生变化 若按某指定顺序派人 这三个人各自能完成任务的概率依次为 q q q 其中 8 q q q 是 p pp 的一个排列 求所需派出人员数目X 的分布列和均值 数 字期望 EX 3 本小题满分 13 分 本题考查相互独立事件的概率计算 考查离散型随机变量及其分 布列 均值等基本知识 考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力 合 情推理与演绎推理 分类读者论论思想 应用意识与创新意识 解 I 无论以怎样的顺序派出人员 任务不能被完成的概率都是 1 1 1 321 ppp 所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关 并等于 1 1 1 1 321133221321321 ppppppppppppppp II 当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为 321 qqq时 随机变量 X 的分 布 列为 X123 P 1 q 21 1 qq 1 1 21 qq 所需派出的人员数目的均值 数学期望 EX 是 23 1 1 3 1 2 212121211 qqqqqqqqqEX 4 以下茎叶图记录了甲 乙两组各四名同学的植树棵数 乙组记录中有一个数据模糊 无 法确认 在图中以X表示 1 如果8X 求乙组同学植树棵数的平均数和方差 2 如果9X 分别从甲 乙两组中随机选取一名同学 求这两名同学的植树总棵数 Y的分布列和数学期望 注注 方差 2222 12 1 n sxxxxxx n 其中x为 1 x 2 x n x的平 均数 共 13 分 9 解 1 当 X 8 时 由茎叶图可知 乙组同学的植树棵数是 8 8 9 10 所以平均数为 4 35 4 10988 x 方差为 16 11 4 35 10 4 35 9 4 35 8 4 35 8 4 1 22222 s 当 X 9 时 由茎叶图可知 甲组同学的植树棵树是 9 9 11 11 乙 组同学的植树棵数是 9 8 9 10 分别从甲 乙两组中随机选取一名 同学 共有 4 4 16 种可能的结果 这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值 为 17 18 19 20 21 事件 Y 17 等价于 甲组选出的同学植树 9 棵 乙组选出的同学植树 8 棵 所以该事件有 2 种可能的结果 因此 P Y 17 8 1 16 2 同理可得 4 1 18 YP 4 1 19 YP 8 1 21 4 1 20 YPYP 所以随机变量 Y 的分布列为 Y1718192021 P 8 1 4 1 4 1 4 1 8 1 EY 17 P Y 17 18 P Y 18 19 P Y 19 20 P Y 20 21 P Y 21 17 8 1 18 4 1 19 4 1 20 4 1 21 8 1 5 本小题满分 13 分 某产品按行业生产标准分成 8 个等级 等级系数 X 依次为 1 2 8 其中 X 5 为标准 A X 为标准 B 已知甲厂执行标准 A 生产该产品 产品的零售价为 6 元 件 乙厂执行标准 B 生产该产品 产品的零售价为 4 元 件 假定甲 乙两厂得产 品都符合相应的执行标准 I 已知甲厂产品的等级系数 X1的概率分布列如下所示 1 x 5678 P0 4ab0 1 且 X1的数字期望 EX1 6 求 a b 的值 II 为分析乙厂产品的等级系数 X2 从该厂生产的产品中随机抽取 30 件 相应的等 级系数组成一个样本 数据如下 10 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 求等级系数 X2的数学期 望 III 在 I II 的条件下 若以 性价比 为判断标准 则哪个工厂的产品更具可 购买性 说明理由 注 1 产品的 性价比 产品的零售价 期望产品的等级系数的数学 2 性价比 大的产品更具可购买性 本小题主要考查概率 统计等基础知识 考查数据处理能力 运算求解能力 应用意识 考查函数与方程思想 必然与或然思想 分类与整合思想 满分 13 分 解 I 因为 1 6 5 0 4678 0 16 673 2 EXabab 所以即 又由 X1的概率分布列得0 40 11 0 5 abab 即 由 673 2 0 3 0 5 0 2 aba abb 解得 II 由已知得 样本的频率分布表如下 2 X 345678 f 0 30 20 20 10 10 1 用这个样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 可得等级系数 X2的概率分布 列如下 2 X 345678 P0 30 20 20 10 10 1 所以 2222222 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 EXP XP XP XP XP XP X 3 0 34 0 25 0 26 0 1 7 0 1 8 0 1 4 8 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4 8 III 乙厂的产品更具可购买性 理由如下 因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于 6 价格为 6 元 件 所以其性价比为 6 1 6 因为乙厂产吕的等级系数的期望等于 4 8 价格为 4 元 件 所以其性价比为 4 8 1 2 4 据此 乙厂的产品更具可购买性 11 6 本小题满分13分 为了解甲 乙两厂的产品质量 采用分层抽样的方法从甲 乙两厂生产的产品中分别抽 取14件和5件 测量产品中微量元素x y的含量 单位 毫克 下表是乙厂的5件产品的 测量数据 1 已知甲厂生产的产品共98件 求乙厂生产的产品数量 2 当产品中的微量元素x y满足x 175且y 75时 该产品为优等品 用上述样本数据 估计乙厂生产的优等品的数量 3 从乙厂抽出的上述 5 件产品中 随即抽取 2 件 求抽取的 2 件产品中优等品数 的分 布列及其均值 即数学期望 10 1 2P 10 6 1P 10 3 0P 0 1 2 3 1435 5 2 2 5 5 2 355 14 98 1 2 5 2 2 2 5 1 3 1 2 2 5 2 3 其分布列为故 可以取值 优等品的数量为故可估计出乙厂生产的 的产品是优等品编号为件产品中从乙厂抽取的 乙厂的产品数量为解 C C C CC C C 012 P 10 3 10 6 10 1 5 4 10 1 2 10 6 1 10 3 0 E 的数学期望为 7 某商店试销某种商品 20 天 获得如下数据 日销售量 件 0123 频数 1595 试销结束后 假设该商品的日销售量的分布规律不变 设某天开始营业时有该商品 3 件 当天营业结束后检查存货 若发现存货少于 2 件 则当天进货补充至 3 件 否则不进货 将频率视为概率 求当天商品不进货的概率 记 X 为第二天开始营业时该商品的件数 求 X 的分布列和数学期望 编号 12345 x169178166175180 y7580777081 12 解析 I P 当天商店不进货 P 当天商品销售量为 0 件 P 当天商品销 售量 1 件 153 202010 II 由题意知 X的可能取值为 2 3 51 2 204 P xP 当天商品销售量为1件 3 1953 2020204 P xPPP 当天商品销售量为0件当天商品销售量为2件当天商品销售 量为3件 故X的分布列为 X23 P1 4 3 4 X的数学期望为 1311 2 3 444 EX 8 本小题满分 12 分 某饮料公司招聘了一名员工 现对其进行一项测试 以便确定工资级别 公司准备了两 种不同的饮料共 8 杯 其颜色完全相同 并且其中 4 杯为A饮料 另外 4 杯为B饮料 公司要求此员工一一品尝后 从 8 杯饮料中选出 4 杯A饮料 若 4 杯都选对 则月工资 定为 3500 元 若 4 杯选对 3 杯 则月工资定为 2800 元 否则月工资定为 2100 元 令 X表示此人选对A饮料的杯数 假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力 1 求X的分布列 2 求此员工月工资的期望 解析 1 X的所有可能取值为 0 1 2 3 4 4 3 2 1 0 4 8 4 44 i C CC iXP ii 即 X01234 P 70 1 70 16 70 36 70 16 70 1 2 令Y表示新录用员工的月工资 则Y的所有可能取值为 2100 2800 3500 Y的分布列为 Y210028003500 P 70 53 70 16 70 1 13 2280 70 1 3500 70 16 2800 70 53 2100 EY 9 本小题共 13 分 甲 乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务 每个岗位至ABCD 少有一名志愿者 求甲 乙两人同时参加岗位服务的概率 A 求甲 乙两人不在同一个岗位服务的概率 设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数 求的分布列 A 解 记甲 乙两人同时参加岗位服务为事件 那么 A A E 3 3 24 54 1 40 A A P E C A 即甲 乙两人同时参加岗位服务的概率是 A 1 40 记甲 乙两人同时参加同一岗位服务为事件 那么 E 4 4 24 54 1 10 A P E C A 所以 甲 乙两人不在同一岗位服务的概率是 9 1 10 P EP E 随机变量可能取的值为 1 2 事件 是指有两人同时参加岗位服务 2 A 则 23 53 34 54 1 2 4 C A P C A 所以 的分布列是 3 1 1 2 4 PP 13 P 3 4 1 4 10 本小题满分 12 分 甲 乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球 命中率分别为与 且乙投球 2 次 2 1 p 均未命中的概率为 16 1 求乙投球的命中率 p 求甲投球 2 次 至少命中 1 次的概率 若甲 乙两人各投球 2 次 求两人共命中 2 次的概率 解 本小题主要考查随机事件 互斥事件 相互独立事件等概率的基础知识 考查运用概 14 率知识解决实际问题的能力 满分 12 分 解法一 设 甲投球一次命中 为事件 A 乙投球一次命中 为事件 B 由题意得 16 1 11 22 pBP 解得或 舍去 所以乙投球的命中率为 4 3 p 4 5 4 3 解法二 设设 甲投球一次命中 为事件 A 乙投球一次命中 为事件 B 由题意得 于是或 舍去 1 16 P B P B 1 4 P B 1 4 P B 故 3 1 4 pP B 所以乙投球的命中率为 3 4 解法一 由题设和 知 2 1 2 1 APAP 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 4 3 1 AAP 解法二 由题设和 知 2 1 2 1 APAP 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 4 3 1 2 APAPAPAPC 由题设和 知 4 1 4 3 2 1 2 1 BPBPAPAP 甲 乙两人各投球 2 次 共命中 2 次有三种情况 甲 乙两人各中一次 甲中两次 乙两 次均不中 甲两次均不中 乙中 2 次 概率分别为 16 3 1 2 1 2 BPBPCAPAPC 64 1 BBPAAP 64 9 BBPAAP 所以甲 乙两人各投两次 共命中 2 次的概率为 32 11 64 9 64 1 16 3 11 本小题满分 本小题满分 12 分 分 为防止风沙危害 某地决定建设防护绿化带 种植杨树 沙柳等植物 某人一次种植了 n 株沙柳 各株沙柳成活与否是相互独立的 成活率为 p 设为成活沙柳的株数 数学期 望 标准差为 3E 6 2 15 求 n p 的值并写出的分布列 若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活 则需要补种 求需要补种沙柳的概率 解 1 由得 2 3 3 1 2 Enpnpp 1 1 2 p 从而 1 6 2 np 的分布列为 0123456 P 1 64 6 64 15 64 20 64 15 64 6 64 1 64 2 记 需要补种沙柳 为事件 A 则 得 3 P AP 或 1 6 152021 6432 P A 156 121 1 3 1 6432 P AP 12 本小题满分 12 分 甲 乙 丙三人参加了一家公司的招聘面试 面试合格者可正式签约 甲表示只要面试 合格就签约 乙 丙则约定 两人面试都合格就一同签约 否则两人都不签约 设每人面试 合格的概率都是 且面试是否合格互不影响 求 1 2 至少有 1 人面试合格的概率 签约人数的分布列和数学期望 解 用 A B C 分别表示事件甲 乙 丙面试合格 由题意知 A B C 相互独立 且 P A P B P C 1 2 至少有 1 人面试合格的概率是 3 17 1 1 1 28 P ABCP A P B P C 的可能取值为 0 1 2 3 0 PP ABCP ABCP ABC P A P B P CP A P B P CP A P B P C 323 1113 2228 16 1 PP ABCP ABCP ABC P A P B P CP A P B P CP A P B P C 333 1113 2228 1 2 8 PP ABCP A P B P C 1 3 8 PP ABCP A P B P C 所以 的分布列是 0123 P 3 8 3 8 1 8 1 8 的期望 3311 01231 8888 E 立体几何部分 立体几何部分 立体几何 1 如图 矩形 ABCD 所在的平面 M N 分别为 AB PC 的中点 求证 平面PA MNPAD 易错点分析 在描述条件中 容易忽视 AEPAD MNPAD 面面 解析 取 PD 中点 E 连结 AE EN 则有 ENCDABAM 为平行四边形 11 22 ENCDABAM AMEN MNAE AEPAD MNPAD 面面 MNPAD 面 知识点归类点拨 判定直线与平面平行的主要依据是判定定理 它是通过线线平行来判定线面平行 这是 所指的直线是指平面外的一条直线与平行于平面内的一条直线 在应用该定理证线面平行时 这三个条件 缺一不可 练习 58 2005 浙江 如图 在三棱锥 P ABC 中 ABBC ABBCkPA 点 O D 分别为 AC PC 的中点 平面求证 OD 平面 PABOP ABC 证明 分别为 AC PC 的中点 O D ODPA 又平面PA PAB PAPAB ODPABODPAB 平面平面平面 易错点 59 对于两个平面平行的判定定理易把条件误记为 一个平面内的两条相交直线与另一个平面 内的两条相交直线分别平行 容易导致证明过程跨步太大 C B A P D O A P N M E D C B A B P C D M N E 17 2 如图 在正方体中 M N P 分别是 1111 ABCDABC D 的中点 11111 C C BC C D 求证 平面 MNP 平面 1 ABD 易错点分析 本题容易证得 MN MP BD 而直接由此得出 1 AD 面 1 MNPABD面 解析 连结分别是的中点 111 B D B CP N 1111 DC BC 11 PNB D 11 B DBDPN BD 又同理 11 PNABDPNABD 面平面 1 MNABDPNMNN 平面又 1 DMNABD 平面平面 知识点归类点拨 个平面平行问题的判定或证明是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问 题 即 线面平行则面面平行 必须注意这里的 线面 是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面 定理中的条件缺一不可 3 正方体中 1 M N 分别是棱的中 1111 ABCDABC D 1111 AB AD 点 E F 分别是棱的中点 求证 E F B D 共面 1111 BC C D 平面 AMN 平面 EFDB 平面 平面 11 AB D 1 C BD 证明 1 则 1111 EFB D B DBDEFBD E F B D 共面 易证 MN EF 设 1111 ACMNP ACEFQ ACBDO PQAO PQAOPAOQ AMNEFDB 平面平面 连结 AC 为正方体 同理 1111 ABCDABC D ACDB 11 AAABCDACBD 平面 可证于是得 11 ACBC 111 1 ACC BDACABD 平面同理可证平面 111 AB DC BD 面面 易错点 60 求异面直线所成的角 若所成角为 容易忽视用证明垂直的方法来求夹角大小这一重 0 90 要方法 4 如图 在棱长为 1 的正方体中 M N P 分别为的中点 求异 1111 ABCDABC D 1111 AB BB CC 面直线所成的角 1 D PAM CNAM与与 易错点分析 异面直线所成角的范围是 在利用余弦定理求异面直线所成角时 若出现角 00 0 90 D C B A A1 D1 B1 C1 N M P 18 的余弦值为负值 错误的得出异面直线所成的角为钝角 此时应转化为正值求出相应的锐角才是异面直线 所成的角 解析 如图 连结 由为中点 1 AN N P 11 BB CC 则从而 1111 PNAD PNAD 11 AND P 故 AM 和所成的角为所成的角 1 D P 1 AMD P和 易证 所以 1 Rt AAM 11 Rt AB N 1 ANAM 故所成的角为 1 D PAM与 0 90 又设 AB 的中点为 Q 则又从而 CN 与 AM 所成的角 11 BQAM BQAM 11 CNB P CNB P 就是 或其补角 1 PBQ 易求得在中 由余弦定理得 11 56 22 BQB PPQ 1 PBQ 1 2 cos 5 PBQ 故所成的角为 CNAM与 2 arccos 5 知识点归类点拨 在历届高考中 求夹角是不可缺少的重要题型之一 要牢记各类角的范围 两条异面 直线所成的角的范围 直线与平面所成角的范围 二面角的平面角的 00 090 00 090 取值范围 同时在用向量求解两异面直线所成的角时 要注意两异面直线所成的角与 00 0180 两向量的夹角的联系与区别 5 如图 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 AB AD 2 DC 2 AA1 AD DC AC BD 33 垂足未 E I 求证 BD A1C II 求二面角 A 1 BD C 1的大小 III 求异面直线 AD 与 BC 1所 成角的大小 易错点分析 本题主要考查学生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题 学生在解题中一 方面不能根据条件建立恰当的空间坐标系 另一方面建系后学生不能正确找到点的坐标 或者没有运用向 量知识解决问题的意识 解析 解法一 I 在直四棱柱中 1111 ABCDABC D 底面 是在平面上的射影 1 A A ABCDAC 1 ACABCD BDAC 1 BDAC II 连结 1111 AE C E AC 与 I 同理可证 11 BDAE BDC E 为二面角的平面角 11 AEC 11 ABDC ADDC 111 90 o ADCADC 又且 11111 2 2 3 3 ADADDCDCAA ACBD 1111 4 1 3 2 2 3 ACAEECAEC E E B1 C1 C B A A1 D1 D F 19 在中 即二面角的大小为 11 AEC 222 111111 90 o ACAEC EAEC 11 ABDC 90o III 过 B 作交于 连结则就是与所成的角 ADBF ACF 1 FC 1 C BF AD 1 BC 2 1 2 1 2 ABADBDAC AEBFEFFCBCDC 在中 11 7 15 FCBC 1 BFC 11 15471515 cos arccos 552 2 15 C BFC BF 即异面直线与所成角的大小为AD 1 BC 15 arccos 5 解法二 I 同解法一 II 如图 以 D 为坐标原点 所 1 DA DC DD 在直线分别为轴 轴 轴 建立空间直角坐标系 xyz 连结与 I 同理可证 1111 AE C E AC 11 BDAE BDC E 为二面角的平面角 11 AEC 11 ABDC 11 33 2 0 3 0 2 3 3 0 22 ACE由 得 11 133 3 3 3 3 2222 EAEC 二面角的大小为 111111 39 30 44 EA ECEAECEAEC 即 11 ABDC 90o II 如图 由 1 1 11 1 1 1 0 0 0 2 0 0 0 23 3 3 3 0 2 0 0 3 3 3 6 2 15 615 cos 52 15 DACB ADBC AD BCADBC AD BC AD BC ADBC 得 异面直线与所成角的大小为 AD 1 BC 15 arccos 5 解法三 I 同解法一 II 如图 建立空间直角坐标 坐标原点为 E 连结 1111 AE C E AC 与 I 同理可证 11 BDAE BDC E 为二面角的平面角 11 AEC 11 ABDC 由 11 0 0 0 0 1 3 0 3 3 EAC 得 1 0 1 3 0 3 3 EAEC X Y Z E B1 C1 C B A A1 D1 D Y Z X E B1 C1 C B A A1 D1 D 20 二面角的大小为 111111 330 EA EA ECEAECEC 即 11 ABDC 90 o III 如图 由 1 0 1 0 3 0 0 3 0 0 0 3 3 ADBC 得 1 3 1 0 3 3 3 ADBC 1 111 1 615 336 2 15 cos 52 15 AD BC AD BCADBCAD BC ADBC 异面直线与所成角的大小为 AD 1 BC 15 arccos 5 知识点分类点拔 解决关于向量问题时 一要善于运用向量的平移 伸缩 合成 分解等变换 正确地 进行向量的各种运算 加深对向量的本质的认识 二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合 的思想 向量的数量积常用于有关向量相等 两向量垂直 射影 夹角等问题中 常用向量的直角坐标运算 来证明向量的垂直和平行问题 利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的 问题 用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考 要解决的问题可用什么向量知识来解 决 需要用到哪些向量 所需要的向量是否已知 若未知 是否可用已知条件转化成的向量直接表示 所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示 则它们分别最易用哪个未知向量表示 这些未 知向量与由已知条件转化的向量有何关系 怎样对已经表示出来的所需向量进行运算 才能得到需要的 结论 6 2004 全国 20 如图四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为 矩形 AB 8 AD 侧面 PAD 为 等边三角形 并且与底面成二面角为4 3 求四棱锥 P ABCD 的体积 0 60 解析 如图 去 AD 的中点 E 连结 PE 则 作平面 ABCD 垂足为 O 连结 OE PEAD PO 根据三垂线定理的逆定理得 所以为侧面 PAD 与底面所成二面角的平面角 由已知OEAD PEO 条件可 所以 四棱锥 P ABCD 的体积 0 60 6PEOPE 3 3PO 1 8 4 3 3 396 3 P ABCD V 易错点 65 求点到平面的距离的方法有直接法 等体积法 换点法 7 2005 年春季上海 19 如图 已知正三棱锥 P ABC 的体积为 侧面与底面所成的二面角的大小为 72 3 0 60 1 证明 PABC 2 求底面中心 O 到侧面的距离 解析 1 证明 取 BC 边的中点 D 连结 AD PD 则 故 ADBC PDBC BCAPD 平面PABC 2 解 如图 由 1 可知平面 PBC平面 APD 则是侧面与底面所成二面角的平面角 PDA 过点 O 做 E 为垂足 则 OE 就是点 O 到侧面的距离 设 OE 为 h 由题意可知点 O 在 AD 上 OEPD 21 0 60 2 PDOOPh 2 4 3 h ODBCh 2 2 3 44 3 4 ABC Shh 即底面中心 O 到侧面的距离为 3 22 18 3 72 34 32 3 33 hhhh 知识点归类点拨 求点到平面的距离一般由该点向平面引垂线 确定垂足 转化为解三角形求边长 或 者利用空间向量表示点到平面的垂线段 设法求出该向量 转化为计算向量的模 也可借助体积公式利用 等积求高 8 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1中 底面是等腰直角三角形 ACB 90 侧棱 AA1 2 D E 分别是 CC1与 A1B 的中点 点 E 在平面 ABD 上的射影是 ABD 的垂心 G 求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小 结果用反三角函数值表示 求点 A1到平面 AED 的距离 解析 连结 BG 则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影 即 EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角 设 F 为 AB 中点 连结 EF FC 11 22 1 1 1 1 3 3 126 2 33 2 2 2 2 3 3 612 sin 333 2 arcsin 3 D ECC ABDCABCCDEF DE GADBGDFEFD EFFG FDFDEFFD EDEG FCCDABABEB EG EBG EB ABABD 分别是的中点又平面为矩形 连结是的重心在直角三角形中 于是 与平面所成的角是 连结 A1D 有 EAADAEDA VV 11 FABEFEFEDABED 又 设 A1到平面 AED 的距离为 h ABAED 1 平面 则 故 A1到平面 AED 的距离为 EDShS ABAAED 1 3 62 1 KA 3 62 易错点 62 二面角平面角的求法 主要有定义法 三垂线法 垂面法等 9 如图所示 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 已知 AA1 A1C1 a E 为 BB1的中 点 若截面 A1EC 侧面 AC1 求截面 A1EC 与底面 A1B1C1所成锐二面角度数 解法 1 截面 A1EC 侧面 AC1 A1C 连结 AC1 在正三棱 ABC A1B1C1中 22 截面 A1EC 侧面 AC1 数就是所求二面角的度数 易得 A1AC1 45 故所求二面角的度数是 45 解法 2 如图 3 所示 延长 CE 与 C1B1交于点 F 连结 AF 则截面 A1EC 面 A1B1C AF EB1 面 A1B1C1 过 B1作 B1G A1F 交 A1F 于点 G 连接 EG 由三垂线定理知 EGB1就是所求二面角的平面角 即所求二面角的度数为 45 知识点归类点拨 二面角平面角的作法 1 垂面法 是指根据平面角的定义 作垂直于棱的平面 通过这个平面和二面角两个面的交线得出平面角 2 垂线法 是指在二面角的棱上取一特殊点 过此 点在二面角的两个半平面内作两条射线垂直于棱 则此两条射线所成的角即为二面角的平面角 3 三 垂线法 是指利用三垂线定理或逆定理作出平面角 10 如图 已知直三棱柱 ABC A1B1C1 侧棱长为 2 底面 ABC 中 B 90 AB 1 BC D 是侧棱 CC1上一点 且 BD 与底面所成角为 30 3 1 求点 D 到 AB 所在直线的距离 2 求二面角 A1 BD B1的度数 解析 CC1 面 ABC B 90 DB AB DB 的长是点 D 到 AB 所在直线的距离 DBC 是 BD 与底面所成的角 即 DBC 30 BC BD 2 3 30cos 3 cos DBC BC 过 B1作 B1E BD 于 E 连 A1E BB1 AB AB BC 且 BB1 BC B AB 平面 BCC1B1 A1B1 AB A1B1 平面 BCC1B1 B1E BD A1E BD 即 A1EB1是面 A1BD 与面 BDC1B1 23 C CA AB B C C1 1A A1 1B B1 1 3 3 3 A A B B C C 主视图主视图 左视图左视图 俯视图俯视图 所成二面角的平面角 连 B1D BC BD 2 CD 1 CC1 2 D 为 CC1的中点 S 3 BDB1 SBCC1B1 B1E BD BC CC1 即 B1E 2 2 B1E 在 Rt A1B1E 中 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 33 tan A1EB1 63 3 arctan 3 3 3 1 11 1 11 EBA EB BA 易错点 66 直线与双曲线的位置关系可通过分析直线方程与渐进线方程的位置关系 也可以联立直线 方程与双曲线方程通过判别式 两种方法往往会忽视一些特殊情形 11 已知某几何体的三视图如下图所示 其中俯视图为 正三角形 设 D 为的中点 1 AA 1 作出该几何体的直观图并求其体积 2 求证 平面 111 BBC CBDC 且且 3 BC 边上是否存在点 P 使 AP 1 BDC且且 若不存在 说明理由 若存在 证明你的结论 1 解 由题意可知该几何体为直三棱柱 且它的直观图如图所示 3 ABC S 3h 所以 体积为 3 3V 2 证明 连交于 E 点 则 E 为 1 BC 1 BC 1 BC 的中点 连 DE 1 BC 1 ADAD 11 ABAC 11 90BADDAC 同理 11 ABDDAC 1 BDDC 1 DEB C 1 DEBC 又 11 BCBCE 11 DEBBC C 且且 又 平面 1 DEBDC 且且 111 BBC CBDC 且且 E P D AC B B1 C1A1 24 N M A B D C O 3 解 取 BCBC 的中点 P 连结 AP 则 AP 平面 1 BDC 证明 连结 PE 则 PE AD PEAD 且 四边形 APED 为平行四边形 AP DE 又 1 DEBDC 且且 1 APBDC 且且 AP 平面 1 BDC 12 如图 1 已知是棱长为 3 的正方 1111 ABCDABC D 体 点 E 在上 点 F 在上 且 1 AA 1 CC 1 1AEFC 求证 四点共面 1 E B F D 证明 在 DD 上取一点 N 使得 DN 1 1 连接 CN EN 显然四边形 CFD N 是 1 平行四边形 所以 D F CN 1 同理四边形 DNEA 是平行四边形 所以 EN AD 且 EN AD 又 BC AD 且 AD BC 所以 EN BC EN BC 所以四边形 CNEB 是平行四边形 所以 CN BE 所以 D F BE 所以四点共面 11 E B F D 13 如图 在四棱锥 O ABCD 中 底面 ABCD 四边长为 1 的菱形 OA 2 M 为 OA 的中点 N 为 4 ABC OAABCD 且且 BC 的中点 证明 直线 MNOCD且且 求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 求点 B 到平面 OCD 的距离 1 证明 证明 取 OB 中点 E 连接 ME NE 图 1 25 MECDMECD 且 AB AB 又 NEOCMNEOCD 且且且且 MNOCD 且且 2 CD A B 为异面直线 AB 与 MD 所成的角 或其补角 MDC 作连接 APCDP 且MP 且且ABCD且 O A C DM P 2 42 ADP D P 22 2MDMAAD 1 cos 23 DP MDPMDCMDP MD 所以 AB 与 MD 所成角的大小为 3 3 点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等 AB且且 O C D 连接 OP 过点 A 作 于点 Q AQOP APCD OACDCDOAPAQCD 且且 又 AQOPAQOCD 且且 所以 线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离 22222 13 2 4 1 22 OPODDPOAADDP 2 2 APDP 26 所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 2 2 2 332 2 OA AP AQ OP A A 2 3 14 如图所示 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为正方形 平面PD ABCD E F G 分 别为 PC PD BC 的中点 2PDAB 1 求证 PA 平面 EFG 2 求三棱锥 P EFG 的体积 1 证明证明 如图 取的中点 连接 ADH GH FH 分别为的中点 EF CD E F PC PD 分别为的中点 GH CD G H BC AD EF GH 四点共面 E F H G 分别为的中点 PA FH F H DP DA 平面 平面 PA 平面 PA EFGFH EFGEFG 2 解解 平面 平面 PD ABCDGC ABCD GCPD 为正方形 ABCDGCCD 平面 PDCDD GC PCD 27 1 1 2 PFPD 1 1 2 EFCD 11 22 PEF SEFPF 1 1 2 GCBC 1111 1 3326 P EFGG PEFPEF VVSGC 15 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是矩形 已知 60 22 2 2 3 PABPDPAADAB 证明 AD 平面 PAB 求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小 求二面角 P BD A 的大小 证明 在中 由题设PAD 22 2 PDPA 可得于是 222 PDADPA PAAD 在矩形 ABCD 中 又 ABAD AABPA 所以平面 ADPAB 解 由题设 所以 或其补角 是ADBC PCB 异面直线 PC 与 AD 所成的角 在中 由余弦定理得PAB 由 知 平面 AD 平面 PAB PAB PB 所以 因而 于是是直角三角形 故PBAD PBBC PBC 2 7 tan BC PB PCB 7cos2 22 PABABPAABPAPB 28 解 过点 P 做于 H 过点 H 做于 E ABPH BDHE 连结 PE 因为平面 平面 所以 ADPAB