2017_18学年高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式名师讲义.docx

3.1不等关系与不等式预习课本P6166，思考并完成以下问题 (1)不等式如何定义？ (2)比较两数(或式)的大小有哪些常用的方法？ (3)不等式的性质有哪几条？ 1不等式的概念用数学符号“”、“”、“”、“”、“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系含有这些不等号的式子叫做不等式点睛不等式“ab”的含义是“ab或ab”，它等价于“a不小于b”，在ab和ab中只要有一个成立，ab就成立2实数大小的比较(1)数轴上的两点A，B的位置关系与其对应实数a，b的大小关系数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大数轴上点的位置与实数大小的关系(表示实数a和b的两个点分别为A和B)，如下：点A，B的位置关系点A和点B重合点A在点B右侧点A在点B左侧实数a，b的大小关系ababab(2)比较两个实数的大小方法作差法依据ab0ab；ab0ab；ab0ab结论对于任意两个实数a和b，在ab，ab，ab三种关系中有且仅有一种关系成立3不等式的性质(1)对称性：abab.(2)传递性：ab，bcac.(3)加法法则：abacbc.推论1abcacb；推论2ab，cdacbd.(4)乘法法则：ab，c0acbc；ab，c0acbc.推论1ab0，cd0acbd；推论2ab0anbn(nN，n1)；推论3ab0(nN，n1)点睛(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件(2)要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)不等式x2的含义是指x不小于2()(2)若ab，则acbc一定成立()(4)若acbd，则ab，cd()解析：(1)正确不等式x2表示x2或x2，即x不小于2，故此说法是正确的(2)正确不等式ab表示ab或ab.故若ab，则acbc不一定成立，故此说法是错误的(4)错误取a4，c5，b6，d2，满足acbd，但不满足ab，故此说法错误答案：(1)(2)(3)(4)2已知ab0，bbba BababCabba Dabab解析：选C法一：A、B、C、D四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，可用特殊值法令a2，b1，则有2(1)12，即abba.法二：ab0，bb0，abb0ba，即abba.3设a，b是非零实数，若ab，则下列不等式成立的是()Aa2b2 Bab2a2bC. D.解析：选C因为a0，所以0，故.4当m1时，m3与m2m1的大小关系为_解析：m3(m2m1)m3m2m1m2(m1)(m1)(m1)(m21)又m1，故(m1)(m21)0.答案：m3m2m1数式的大小比较典例(1)已知x0，试比较a与的大小解(1)(x31)(2x22x)(x1)(x2x1)2x(x1)(x1)(x2x1)(x1).x1，x10，(x1)0.x310，所以当a1时，0，有a；当a1时，0，有a；当0a1时，0，有a1时，a；当a1时，a；当0a1时，a2，比较mm与2m的大小解：因为m，又因为m2，所以1，所以m01，所以mm2m.不等式的性质典例(1)已知b2a,3db3d B2ac3bdC2acb3d D2a3dbc(2)下列说法不正确的是()A若aR，则(a22a1)3(a2)3B若aR，则(a1)4(a2)4C若0abD若0ab，则a3b3解析(1)由于b2a,3dc，则由不等式的性质得b3d0，所以a22a1a2，则(a22a1)3(a2)3，故A选项说法正确；对于B，当a1时，(a1)40，(a2)41，所以(a1)4(a2)4不成立；对于C和D，因为0abc，且abc0，则下列不等式恒成立的是()Aabbc BacbcCabac Da|b|b|c解析：选C因为abc，且abc0，所以a0，cac.2若ab0，cd0，e.证明：cdd0.又ab0，acbd0，则(ac)2(bd)20，即.又e.用不等式性质求解取值范围典例已知1a4,2b8，试求2a3b与ab的取值范围解1a4,2b8，22a8,63b24.82a3b32.2b8，8b2.又1a4，1(8)a(b)4(2)，即7ab2.故2a3b的取值范围是(8,32)，ab的取值范围是(7,2)同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性.1在本例条件下，求的取值范围解：2b8，而1a4，1a4，即2.故的取值范围是.不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变，同乘以一个负数，不等号方向改变，求解中，应明确所乘数的正负2已知6a8,2b3，求的取值范围解：6a8,2b3.，当0a8时，04；当6a0时，30.由得：34.故的取值范围为(3,4)利用不等式性质求范围，应注意减少不等式使用次数3已知1ab1,1a2b3，求a3b的取值范围解：设a3b1(ab)2(a2b)(12)a(122)b，解得1，2.又(ab)，2(a2b)，所以a3b1.故a3b的取值范围为.层级一学业水平达标1李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是()A30x60400 B30x60400C30x60400 D30x40400解析：选Bx月后他至少有400元，可表示成30x60400.2若abcd0，且a0，bc，d0，则()Ab0，c0 Bb0，c0Cb0，c0 D0cb或cb0解析：选D由a0，d0，且abcd0，知bc0，又bc，0cb或cb0.3已知：a，b，c，dR，则下列命题中必成立的是()A若ab，cb，则acB若ab，则cacbC若ab，cd，则D若a2b2，则ab解析：选B选项A，若a4，b2，c5，显然不成立，选项C不满足倒数不等式的条件，如ab0，c0d时，不成立；选项D只有ab0时才可以否则如a1，b0时不成立，故选B.4设，则2的范围是()A. B.C. D.解析：选D02，0，0，由同向不等式相加得到2.5已知M2x1，N，则M，N的大小关系为()AMN BM0，M2x11，而x211，1，MN，故选A.6已知x1，则x22与3x的大小关系为_解析：(x22)3x(x1)(x2)，因为x1，所以x10，x20，所以(x1)(x2)0，所以x223x.答案：x223x7比较大小：a2b2c2_2(abc)4.解析：a2b2c22(abc)4a2b2c22a2b2c4(a1)2(b1)2(c1)2110，故a2b2c22(abc)4.答案：8已知1xy4，且2xy3，则z2x3y的取值范围是_(用区间表示)解析：z(xy)(xy)，2(xy)，5(xy)，3(xy)(xy)8，z的取值范围是3,8答案：3,89若x2或y1，Mx2y24x2y，N5，试比较M与N的大小解：MN(x2y24x2y)(5)(x24x4)(y22y1)(x2)2(y1)2.因为(x2)20，(y1)20，所以(x2)2(y1)20，又因为x2或y1，所以(x2)2与(y1)2不会同时为0.所以(x2)2(y1)20，所以MN.10(1)若ab0，求证：；(2)已知ab，求证：ab0.证明：(1)由于，ab0，ba0，ba0，ab0，0，故.(2)，0，即0，而ab，ba0，ab0.层级二应试能力达标1若xR，yR，则()Ax2y22xy1 Bx2y22xy1Cx2y20，所以x2y22xy1，故选A.2已知a1(0,1)，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是()AMNCMN DMN解析：选Ba1(0,1)，a2(0,1)，1a110，1a210，MN，故选B.3若11，则下列各式中恒成立的是()A20 B21C10 D11解析：选A由11，11，