随机变量及其概率分布.ppt

第二章随机变量及其分布 本章要求离散型随机变量随机变量的分布函数连续型随机变量及其概率密度随机变量函数的概率分布 本章要求1 掌握随机变量及其分布函数的概念 2 理解离散型随机变量及其分布律的概念 掌握较简单的离散型随机变量的分布律的计算 掌握两点分布 二项分布与泊松分布 3 掌握连续型随机变量及其概率密度函数 性质及有关计算 掌握均匀分布 指数分布及其计算 熟练掌握正态分布及其计算 4 了解随机变量函数的概念 会求简单随机变量函数的概率分布 重点 随机变量的分布律与概率密度函数的概念 性质和计算 随机变量函数的分布 几种常见分布 关于随机变量 及向量 的研究 是概率论的中心内容 这是因为 对于一个随机试验 我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量 而这些量就是随机变量 也可以说 随机事件是从静态的观点来研究随机现象 而随机变量则是一种动态的观点 一如数学分析中的常量与变量的区分那样 变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念 同样 概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系 其基础概念是随机变量 2 1离散型随机变量 2 1 1随机变量的概念 定义 设S e 是试验的样本空间 如果量X是定义在S上的一个单值实值函数即对于每一个e S 有一实数X X e 与之对应 则称X为随机变量 随机变量常用X Y Z或 等表示 随机变量的特点 1 X的全部可能取值是互斥且完备的 2 X的部分可能取值描述随机事件 随机变量的分类 随机变量 2 1 2离散型随机变量 定义若随机变量X取值x1 x2 xn 且取这些值的概率依次为p1 p2 pn 则称X为离散型随机变量 而称P X xk pk k 1 2 为X的分布律或概率分布 可表为X P X xk pk k 1 2 或 1 pk 0 k 1 2 2 例设袋中有5只球 其中有2只白3只黑 现从中任取3只球 不放回 求抽得的白球数X为k的概率 解k可取值0 1 2 分布律的性质 例某射手对目标独立射击5次 每次命中目标的概率为p 以X表示命中目标的次数 求X的分布律 解 设Ai 第i次射击时命中目标 i 1 2 3 4 5则A1 A2 A5 相互独立且P Ai p i 1 2 5 SX 0 1 2 3 4 5 1 p 5 2 1 3 0 1 分布与二项分布 1 0 1 分布若以X表示进行一次试验事件A发生的次数 则称X服从 0 1 分布 两点分布 X P X k pk 1 p 1 k 0 p 1 k 0 1或 若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数 则称X服从参数为n p的二项分布 记作X B n p 分布律为 2 定义设将试验独立重复进行n次 每次试验中 事件A发生的概率均为p 则称这n次试验为n重贝努里试验 例从某大学到火车站途中有6个交通岗 假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立 并且遇到红灯的概率都是1 3 1 设X为汽车行驶途中遇到的红灯数 求X的分布律 2 求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率 解 1 由题意 X B 6 1 3 于是 X的分布律为 例某人射击的命中率为0 02 他独立射击400次 试求其命中次数不少于2的概率 泊松定理设随机变量Xn B n p n 0 1 2 且n很大 p很小 记 np 则 解设X表示400次独立射击中命中的次数 则X B 400 0 02 故P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0 98400 400 0 02 0 98399 上题用泊松定理取 np 400 0 02 8 故近似地有 P X 2 1 P X 0 P X 1 1 1 8 e 8 0 996981 2 1 4泊松分布 设随机变量X所有可能取的值为0 1 2 且概率分布为 其中 0是常数 则称X服从参数为的泊松分布 记作X P 据 得 泊松 Poisson 分布满足分布律的基本性质 泊松定理表明 泊松分布是二项分布的极限分布 当n很大 p很小时 二项分布就可近似地看成是参数 np的泊松分布 例设某国每对夫妇的子女数X服从参数为 的泊松分布 且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e 2 求任选一对夫妇 至少有3个孩子的概率 解 由题意 例一家商店采用科学管理 由该商店过去的销售记录知道 某种商品每月的销售数可以用参数 5的泊松分布来描述 为了以95 以上的把握保证不脱销 问商店在月底至少应进某种商品多少件 解 设该商品每月的销售数为X 已知X服从参数 5的泊松分布 设商店在月底应进某种商品m件 进货数 销售数 此题特注 查泊松分布表得 P X m 0 05 也即 于是得m 1 10 m 9件 或 注意 P34例2 9 2 10 比上述例题容易 2 2随机变量的分布函数 定义设X是随机变量 对任意实数x 事件 X x 的概率P X x 称为随机变量X的分布函数 记为F x 即F x P X x 易知 对任意实数a b a b P a X b P X b P X a F b F a 2 2 1分布函数的概念 当x 0时 Xx 故F x 0 例 设随机变量X的分布律为 当0 x 1时 F x P Xx P X 0 求X的分布函数F x 当1x 2时 F x P X 0 P X 1 当x2时 F x P X 0 P X 1 P X 2 1 故 注意右连续 下面我们从图形上来看一下 的分布函数图 2 2 2分布函数的性质 1 单调不减性 若x1 x2 则F x1 F x2 2 归一性 对任意实数x 0 F x 1 且 3 右连续性 对任意实数x 反之 具有上述三个性质的实函数 必是某个随机变量的分布函数 故该三个性质是分布函数的充分必要性质 一般地 对离散型随机变量X P X xk pk k 1 2 其分布函数为 例设随机变量X具分布律如右表 解 试求出X的分布函数 例向 0 1 区间随机抛一质点 以X表示质点坐标 假定质点落在 0 1 区间内任一子区间内的概率与区间长成正比 求X的分布函数解 F x P X x 当x1时 F x 1 当0 x 1时 特别 F 1 P 0 x 1 k 1 1 2 3连续型随机变量及其概率密度 1 定义对于随机变量X 若存在非负函数f x x 使对任意实数x 都有 则称X为连续型随机变量 f x 为X的概率密度函数 简称概率密度或密度函数 常记为X f x x 2 3 1连续型随机变量及其概率密度 密度函数的几何意义为 密度函数的性质 1 非负性f x 0 x 2 归一性 性质 1 2 是密度函数的充要性质 例设随机变量X的概率密度为 求常数a 答 3 若x是f x 的连续点 则 例设随机变量X的分布函数为 求f x 4 对任意实数b 若X f x x 则P X a 0 于是 例已知随机变量X的概率密度为1 求X的分布函数F x 2 求P X 0 5 1 5 注意 P40例2 14 2 117 例题多 1 均匀分布 则称X在区间 a b 上服从均匀分布 X U a b 若r vX的概率密度为 记作 2 3 2均匀分布与指数分布 公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间 即乘客的候车时间等 均匀分布常见于下列情形 如在数值计算中 由于四舍五入 小数点后某一位小数引入的误差 例某公共汽车站从上午7时起 每15分钟来一班车 即7 00 7 15 7 30 7 45等时刻有汽车到达此站 如果乘客到达此站时间X是7 00到7 30之间的均匀随机变量 试求他候车时间少于5分钟的概率 解 依题意 X U 0 30 以7 00为起点0 以分为单位 为使候车时间X少于5分钟 乘客必须在7 10到7 15之间 或在7 25到7 30之间到达车站 所求概率为 即乘客候车时间少于5分钟的概率是1 3 2 指数分布若X 则称X服从参数为 0的指数分布 其分布函数为 指数分布在可靠性理论与排队论中有广泛应用 例 电子元件的寿命X 年 服从参数为3的指数分布 1 求该电子元件寿命超过2年的概率 2 已知该电子元件已使用了1 5年 求它还能使用两年的概率为多少 解 本问题属于条件概率 例某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T 设 0 t 时段内过桥的汽车数Xt服从参数为 t的泊松分布 求T的概率密度 次数 有何发现 概率密度就是指数分布 F t 就是其分布函数 请欣赏 其中 为实数 0 则称X服从参数为 2的正态分布 记为N 2 可表为X N 2 若随机变量 2 3 3 正态分布 1 单峰对称密度曲线关于直线x 对称 f maxf x 正态分布有两个特性 2 的大小直接影响概率的分布 越大 曲线越平坦 越小 曲线越陡峻 正态分布也称为高斯 Gauss 分布 4 标准正态分布参数 0 2 1的正态分布称为标准正态分布 记作X N 0 1 分布函数表示为 其密度函数表示为 一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅 x 的值 P195附表1 如 若Z N 0 1 0 5 0 6915 注 1 x 1 x 2 若X N 2 则 标准化 P 1 32 Z 2 43 2 43 1 32 0 9925 0 9066 例设随机变量X N 1 22 P 2 45 X 2 45 例设X N 2 求P 3 X 3 本题结果称为3 原则 在工程应用中 通常认为P X 3 1 忽略 X 3 的值 如在质量控制中 常用标准指标值 3 作两条线 当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报 表明生产出现异常 利用 例一种电子元件的使用寿命 小时 服从正态分布 100 152 某仪器上装有3个这种元件 三个元件损坏与否是相互独立的 求 使用的最初90小时内无一元件损坏的概率 解 设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数 故 则Y B 3 p 其中 解 P X h 0 01 或P X h 0 99 下面我们来求满足上式的最小的h 看一个应用正态分布的例子 例公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0 01以下来设计的 设男子身高X N 170 62 问车门高度应如何确定 设车门高度为hcm 按设计要求 因为X N 170 62 故P X h 查表得 2 33 0 9901 0 99 即h 170 13 98184 设计车门高度为184厘米时 可使男子与车门碰头机会不超过0 01 所以 因而 2 33 标准正态分布的上分位点 设 若数满足条件 2 4 1离散型随机变量函数的概率分布 2 4随机变量函数的概率分布 设X一个随机变量 分布律为X P X xk pk k 1 2 求 Y X2的分布律 若y g x 是一元单值实函数 则Y g X 也是一个随机变量 求Y的分布律 解 当X取值1 2 5时 Y取对应值5 7 13 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件 两者具有相同的概率 故 或Y g X P Y g xk pk k 1 2 其中g xk 有相同的 其对应概率合并 注意 P51例2 25 2 26 2 4 2连续型随机变量函数的概率分布 1 一般方法若X f x x Y g X 为随机变量X的函数 然后再求Y的密度函数 此法也叫 分布函数法 则可先求Y的分布函数FY y P Y y P g X y 例设X U 1 1 求Y X2的分布函数与概率密度 当y 0时 当0 y 1时 当y 1时 例设X的概率密度为fX x y g x 关于x处处可导且是x的严格单减函数 求Y g X 的概率密度 解 Y的分布函数为 FY y P Y y P g X y P X