2017_18学年高中数学第二章2.1.2.1椭圆的简单几何性质课后提升训练含解析.docx

椭圆的简单几何性质(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.椭圆(m+1)x2+my2=1的长轴长是()A.2m-1m-1B.-2-mmC.2mmD.-21-mm-1【解析】选C.椭圆方程可简化为+=1,由题意知m0,所以b0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.63B.33C.23D.13【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离d=a,整理为a2=3b2,即a2=3(a2-c2)2a2=3c2,即=,e=63.7.设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点为F1,F2,若椭圆上存在一点P,使PF1PF2,则椭圆的离心率的范围为()A.0,22B.0,22C.22,1D.22,1【解析】选C.因为PF1PF2,所以F1PF2=90,所以|PF1|2+|PF2|2=4c2,又|PF1|+|PF2|=2a,所以4c2=|PF1|2+|PF2|2=2a2,即2c2a2,所以e2.又因为0eb0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆M上任一点,且的最大值的取值范围是c2,3c2,其中c=a2-b2,则椭圆M的离心率e的取值范围是()A.14,12B.12,22C.22,1D.12,1【解析】选B.设P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),则=(-c-x,-y),=(c-x,-y),=x2+y2-c2.又x2+y2可看作P(x,y)到原点的距离的平方,所以(x2+y2)max=a2,所以()max=b2,所以c2b2=a2-c23c2,即e2,所以e22.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017台州高二检测)若椭圆的两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,且PF1F2的最大面积是12,则椭圆的短半轴长为_.【解析】设P点到x轴的距离为h,则=|F1F2|h,当P点在y轴上时,h最大,此时最大.因为|F1F2|=2c=8,所以h=3,即b=3.答案:310.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为55,且过点P(-5,4),则椭圆的方程为_.【解析】因为e=55,所以=,所以5a2-5b2=a2,即4a2=5b2.设椭圆的标准方程为+=1(a0),因为椭圆过点P(-5,4),所以+=1.解得a2=45.所以椭圆的方程为+=1.答案:+=1三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,F1PF2=60.(1)求椭圆离心率的范围.(2)求证:F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)不妨设椭圆方程为+=1(ab0),|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.在PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60=(m+n)2-3mn=4a2-3mn4a2-3=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).所以,即e.又0eb0)的右顶点是A(a,0),其上存在一点P,使APO=90,求椭圆离心率的取值范围.【解析】设P(x,y),由APO=90知,点P在以OA为直径的圆上,圆的方程是:x-a22+y2=,所以y2=ax-x2.又P点在椭圆上,故+=1.把代入化简,得(a2-b2)x2-a3x+a2b2=0,即(x-a)(a2-b2)x-ab2=0,因为xa,x0,所以x=,又0xa,所以0a,即2b2a2.由b2=a2-c2,得a222.又因为0e1,所以22e1.即椭圆离心