任现职以来工作汇报 - 东华大学.ppt

数值分析 上课每周三8 15 9 45二教125双周三10 05 11 35图文5号机房请按机号入座 胡良剑Ljhu 信息理学楼54367792090 543 考试成绩笔试70 上机考试20 平时10 数值分析 数值分析是数学与计算机技术结合的一门学科 研究利用计算机解决数学问题的理论和方法 是计算数学的一个重要分支 zh wikipedia org 现代复杂工程技术问题的解决步骤 工程问题 上机计算 数学模型 结果分析 问题解答 设计算法 第一章数值分析的基本概念 1 1数值算法的研究对象 1 2误差分析的概念 1 3数值算法设计的一些要点 例1 1 易计算问题 1 求解线性方程组AX B 其中A为3阶可逆方阵 X x1 x2 x3 T 2 求代数方程3x2 8x 3 0在 0 1 上的根x 3 已知y P x 为 x0 x1 上的直线 满足P x0 y0 P x1 y1 x2 x0 x1 求P x2 4 计算定积分 1 a b 5 解常微分方程初值问题 解 1 Cramer法则 其中D A Dj为由B置换D的第j列所得 2 根据求根公式得x 1 3 3 P x2 4 根据积分公式得到 5 根据线性常微分方程求解公式得 例1 2 难计算问题 1 求解线性方程组AX B 其中A为30阶可逆方阵 X x1 x2 x30 T 2 求超越方程xex 1在 0 1 上的根x 3 已知y f x 为 x0 x1 上的函数 满足f x0 y0 f x1 y1 x2 x0 x1 求f x2 4 计算定积分 1 a b 5 解常微分方程初值问题 解 例1 2同例1 1 差不多 1 计算量非常大 2 无法求得x 的解析形式 只能求近似值 3 f x2 试试 4 无法找到原函数 考虑近似方法 5 没有解析解 数值解法求取近似解 利用计算机 但是 计算机的认识能力是有限的计算机的计算能力也是有限的可行且高效的算法 计算机 2数值算法的特点 计算机算法对于给定的问题和设备 计算机 一个算法是用该设备可理解的语言表示的 对解决这个问题的一种方法的精确刻画 计算机算法主要包含数值算法 非数值算法和软计算方法三类 三类计算机算法 数值算法主要指与连续数学模型有关的算法 如数值线性代数 方程求解 数值逼近 数值微积分 微分方程数值解和最优化计算方法等 本课程内容 非数值算法主要指与离散数学模型有关的算法 如排序 搜索 分类 图论算法等 软计算方法是近来发展的不确定性算法的总称 包括随机模拟 神经网络计算 模糊逻辑 遗传算法 模拟退火算法和DNA算法等 数值算法的特点 有穷性数值性近似性 数值计算软件 FortranC Matlab 1 2误差分析的概念 误差限和有效数字截断误差与收敛性舍入误差和数值稳定性数据误差和病态问题 1 误差限和有效数字 误差和相对误差 定义1 1 设x 是某量的准确值 x是x 的近似值称 x x x为x的误差或绝对误差 x x 称 为x的 绝对 误差限或精度 rx x x x 称为x的相对误差 x x x r 称 r为x的相对误差限 当 r很小时 r x 准确位数和有效数字 定义1 2 设x 0 a1a2 an 10m m为整数 1 1 其中a1 an为0 9中一个数字且a1 0 如果 x x 0 5 10 k 1 2 即x的误差不超过10 k位的半个单位则称近似数x准确到第k位小数 并说x有m k位有效数字 例1 3 误差限和有效数字 圆周率 3 1415926 x1 3 14 x2 3 141 x3 3 142 x4 3 1414解 1 x1 0 15926 10 2 x1 0 5 10 2 有3位有效数字 2 x2 0 5926 10 3 x2 0 5 10 2 有3位有效数字 3 x3 0 4073 10 3 x3 0 5 10 3 有4位有效数字 4 x4 0 1926 10 3 x1 0 5 10 3 有4位有效数字 有效数字概念的通俗定义 设x 是某量的准确值 x是x 的近似值 如果在从第一个非零数字开始的第n位进行四舍五入 即考虑第n 1位是舍还是入 x 和x的结果完全一致 则称x有n位有效数字 与定义1 2的区别 2 截断误差与收敛性 截断误差 一个无限的数学极限过程用有限次运算近似计算产生的误差 例 无限 近似计算 有限 截断误差 余项公式 在0与x之间 算法的收敛性 该算法总可以通过提高计算量 增加项数 使得截断误差任意小 即余项 0 3 舍入误差和数值稳定性 舍入误差 由于机器字长的限制而产生的误差机器数 二进制0 1 离散 规格化浮点式 阶码m 字长t 尾数 1 1 2m 0 1 2 t m 1 2 s单精度32位 4字节 t 23 s 7 符号2位 表示范围 2 9 10 39 3 4 1038 即2 128 2128 识别差2 23 1 19 10 7双精度64位 8字节 t 52 s 10 符号2位 表示范围 5 56 10 309 1 79 10308 即2 1024 21024 识别差2 52 2 22 10 16上溢出 和下溢出0 0 数值稳定性 误差传播问题 设函数y f x1 x2 xn 是一个算法或模型 是变量xi的准确值 而是变量xi的近似值 如果 且f的计算过程中没有新的误差产生 那么计算结果具有怎样的精度 即 算法的数值稳定 计算过程中舍入误差不会被严重放大 误差的传播 线性情形用严格估计非线性情形用线性近似绝对误差传播主要取决于条件数相对传播主要取决于条件数 四则运算 a b a b r a b a a b ra b a b rb 近似数相减不稳定 ab b a a b r ab ra rb a b 1 b a a b2 b b 0不稳定 r a b ra rb 例1 5 数值稳定性 n 0 1 20估计 算法一 递推公式In 1 nIn 1 n 1 20I0 1 1 e I1 I2 I20误差很大 n n n 1 20 20 0 不稳定 算法二 递推公式In 1 1 In n n 20 1I20 估计式中点 I19 I1 I0误差很小 n 1 n n 0 20 20 稳定 4 数据误差和病态问题 例1 6 病态问题 x1 x2 x3 1x1 1 1788 x2 0 0006 x3 1 9658 病态问题 很小的变化数据却导致解产生了很大的变化 区别 收敛性和数值稳定性主要源于算法 病态性主要是模型本身的原因 1 3数值算法设计的一些要点 设计算法基本原则精度 收敛性 稳定性速度 计算量 存储量 收敛速度注意事项病态问题速度细节 加法 乘法 函数 稳定性细