泛函课后习题.pdf

n n n 1 35 7 1 2 0 klim 1 0 2 1 0 1 0 n k k n kk x n kk k n k kk n kk n kk n kk S n Sd d 页 题 证明 距离空间s中 按距离收敛等价于按坐标收敛 证明 1 设点列 又则的充要条件是 对于每一个自然数 有 因为 若 则对于每个k 有 n 从而 n 121 m 1 11 m 1 1 0 Nmax 2 11 2 2 221 1 2 1 2 1 n kk k n kkm n kk kk n kk kk n kk n k n kk m kk mN N N nN nN d d 2 反之 设 n k 1 2 即对使得当n N 时 有取 N 则当时 有 从而 当时 有 即 0 n 35 页第 10 题 证明距离空间的完备子空间是闭子空间 证明 设 X子是开集 则 x0 X 0 S x0 X子 即 X0是 X子接触点 且 x0 X子 则存在数列 xn X子 0 N 使得 m n N 时 有 d xn x0 4 d xm x0 3 4 即 d xm xn 故 xn 是 X子上的柯西序列 而 X子完备 故 xn 收敛 lim n n xxX 子子 而在 X 上显然有lim n n xx 0 这与极限的唯一性矛盾 故假设不成立 X子是闭子空间 00 x X 2 0000011 11 3620 d TX G 0 R 0minG 0 Xy 0 X T XRxX G xd x Tx G x xG xxX G xd x Txd Tx T xd x y xX d x 页第题 是距离空间 是X上到自身的映射且满足条件 对任意的x yX 当xy时 Tx Ty N 时 有 d Xn XN 1 即对定点 X0 取 XN 1为球心 有 d Xn X0 d Xn XN d Xn X0 1 d XN X0 取 r max d X1 X0 d X2 X0 d XN X0 1 则有 d Xn X0 r 对 n 成立 即 开球 S X0 r 使得 Xn S X0 r 亦 Cauchy 列是有界集 P35 2 证明如果d是集X上的距离 则 1 1 d d d 也是 X 上的距离 证明 x yX 1 因为0d 所以 1 0 1 d d d 1 0d 当且仅当0d 即xy 时成立 2 由 d x yd y x 得 11 1 1 d x yd y x d x yd y x d x yd y x 3 设 1 t t t 有 2 1 0 1 t t 则 t 为增函数 由 d x yd x zd z y 知 1 11 1 1 1 1 1 d x zd z y d x y d x zd z y d x zd z y d x zd z yd x zd z y d x zd z y d x zd z y d x zd z y 由 1 2 3 可知 1 1 d d d 也是X上的距离 P36 17 证明 存在闭区间 0 1上的连续函 数 x t 使得 1 sin 2 x tx ta t 其中 a t是给定的 0 1上的连续函数 证明 令 1 sin 2 Tx tx ta t 有 1 sin sin 2 sincos 22 1 sin 22 d Tx t Ty tx ty t x ty tx ty t x ty t x ty t d x ty t 则 1 2 存在唯一的 x t 使得 Tx t x t 即 1 sin 2 x tx ta t 有解 37 页第 18 题 0 00 n0 010 000 0 XTX d d 1 01 TB 1 1 nn nn n n n xX d x xr Tx Tyd x yx Txr xx xd xxr d x xd x Tx d x Txd Tx Tx rd x xrrr x 设 是完备距离空间 是 上到自身的映 射 在闭球B上 且 其中 证明 在 上有唯一不动点 证明 1 B B 1 10 0000 120101 2 231212 11 X T 1 1 1 n n n nnnn x xxxd x xr d x Txd x Txd Tx Txr d x xd Tx Txd x xr d x xd Tx Txd x xr d xxd TxTxr B 而 完备 B为闭球 B也是完备的 B B B 由压缩映射原理 11 1 121 1 1 1 1 1 1 1 1 0 npnnpnpnn npn npp p npn n npnn n d xxd xxd xx rr r rr x NnN d xxx xxn T 为B中的柯西序列 由于B完备 当时 pN 有故为柯西序列 B 连续 1 T 01 nn xTxn xxx yyTy d Tx Tyd x y d x yd x y T 令 取极限 故存在不动点 假设存在另一个不动点 即 矛盾 在B上有唯一的不动点 P57 1 设 X 是赋范空间 对于 x y X 令 1 0 x y 1 xy d xy 证明 1 d是X上的距离但不是由范数诱导的距离 证明 由赋范空间 X 可知 d1满足一下 三个条件 1 非负性 1 0d x y 当x y时 1 x y1 1d x y 当xy时 所以 1 0d 2 交换性 当xy时 11 x y1y x1 d x ydy x 当且仅 当 x y 时 有 11 d x yd y x 且 1 0d x y 3 三角不等式 任取zX i 当 x y z 时 1 11 11 d x yxyxzzy d x zd z y ii 当 x y z 时 111 0 0dx ydx zdz y 所以 d1 x y d1 x z d1 z y iii 当 x y 且 y z 时 111 11 0 d x yxyxzd x zd z y ix 当 x y 且 x z 时 过程同 iii 根据 i ix 得 对任意 x y zX 有 111 d x yd x zd z y 所以 d1是 X 上的距离 设函数 1 使得 1 1 d x yxy 1 11 0 0 xxd x 取 1 当 x 0 时 1 1 0 11xdxxx 而 1 1 0 xd xx 所以 11 xx 即不满足范数齐次性 d1不是范数诱导的距离 P57 11设A是线性空间X中的子集 证明 1 1 1 01 nn n kkk k Co AxxX n xA 是任意自然数 且 证明 设 x yCo A 1 1nn xxx 1 1 n k k 1 1nn yxx 1 1 n k k 1 1 11 111 1 1 1 1 1 nn nn nnn xyxx xx xx 则 设 1 nnn 则 111 1 1 nnn kkk kkk 所以 1 xyCo A 即 Co A为凸集 设E为包含A的任何一个凸集 n 2时 1 122 xx 12 x xA 12 1 1 122 xxAE 即n 1 2时成立 3n 时 123 1 1 122331 1 32 2323 2323 xxxx xxAE 假设n成立 1 122nn xxxAE 1n 时 则有 1 12211 11 1 11 11 12 121 2121 21 nnnn nnnn nn nnnn n n nn n xxxx xx x xxx AE 所以 Co A为凸包 1 1 1 01 nn n kkk k Co AxxX n xA 是任意自然数 且 P57 6设 X 是赋范空间 0X 证明 X是Banach空间 当且仅当 X中的单位 球面 1SxXx 是完备的 证明 1 X是Banach空间 X中的单位 球面 1SxXx 是完备的 设 xn 为任 意柯西序列 且 n xS n xX 1 n x 因为X是Banach空间 X完备 n xX 则 xn 收敛 xn x xX 1 n xx 所以S是完备的 2 X中的单位球面 1SxXx 是完 备的 X是Banach空间 设任意柯西序列 xn n xX 则 0 N 使得 n mN 有 nm xx 则 nmnm xxxx 所以 n x 为柯西 序列 设lim n n xa 1 若0a 则0 n x 2若0a 取 n n n x y x n yS 因为 1 1 1 2 nmmnmn nm nmmmmn nm mnmmmn nm n yyxxxx xx xxxxxx xx xxxxxx xx x 所以 n n x x 为柯西序列 即 n y 为柯西序列 因为 n yS 所以设n n x x x xS 因为 1 0 n nn nnnn xaxax xaxy xxxx 所以 n xax axX 即X是Banach空间 P57 2 在l 中 按坐标定义线性运算且对 xl k x 定义sup n n x 试证 l 是一个赋范空间 证明 sup kn n xlx i 0 1 2 n n 故sup0 n n x 且 sup0 n n x 当且仅当0 n 即x 0 ii 取 K supsup nn nn xx 满足齐次性 iii 1 2 nn x ylxyn supsup supsup nnnn nn nn nn xy xy 满足三角不等式 l 是 的范数 综上所述l 是赋范空间 P58 13 设设 1 1 X 2 2 X 是赋范空间 在 乘积线性空间 是赋范空间 在 乘积线性空间