职业学院高等数学教学教案课时教学计划表.doc

此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除 课时教学计划表授课日期： 教案编号 第二章01课程名称班级专业、层次高等数学课程类型：理论授课形式：讲授教学资源多媒体授课题目（章、节）21 导数教材和主要参考书高等数学教学目的与要求：会用导数的定义求一些简单函数的导数;会求曲线上一点处的切线方程和法线方程。教学重点和难点：重点：导数的定义，导数的几何意义难点：可导与连续的关系教学内容与时间安排：（2课时）1、导数定义2、导函数定义3、导数的几何意义4、函数的可导性与连续性的关系5、小结本次课内容思考题与作业（含课内抽问互动环节）：习题21 1，2（1），4，9课后体会： 第二章 导数与微分1.引入提问（1）怎样求变速运动的瞬时速度呢？（2）怎样求平面曲线在一点的切线斜率呢？（1）设物体作变速直线运动，它的运动方程(即路程s与时间的函数关系)是从而可以求得物体在时段内的平均速度 很明显，当无限变小时，平均速度无限接近于物体在时刻的瞬时速度因此，平均速度的极限值就是物体在时刻的瞬时速度，即可定义（2）如图21所示, 设曲线所对应的函数为,，点的坐标分别为 (), ()，则割线的斜率是其中是割线的倾斜角当时,点沿着曲线无限趋近于点,而割线就无限趋近于它的极限位置.因此,切线的倾斜角是割线倾斜角的极限，切线的斜率是割线斜率的极限，即 以上两例，虽然实际意义不同，但从数学结构上看，都可归结为计算函数增量与自变量增量之比的极限问题，也就是下面我们要研究的导数问2导数定义 (板书) 讨论:该极限一定存在吗?结论: 存在称函数在点处具有导数，称可导;不存在导数就不存在, 称不可导注：（1）如果极限为无穷大，这时函数在点不可导，但为了方便，也称函数在点的导数是无穷大 （2）上述导数的定义式还有以下几种常用的形式： 令=，则有 令，则当时，有，于是有例3 求函数在点的导数分析:根据导数的定义先计算再计算 最后由导数定义得: 思考:函数在点处的导数怎样求?例4 设,求：分析:先求出,再把x=2,x=-1带入即得，3.导函数定义如果函数在区间内的每一点都有导数，则称函数在区间内可导这时，对于区间内每一点,都有一个导数值与它对应因此是的函数，称为函数的导函数，记作即 由于函数在点的导数,就是导函数在点的函数值， 即 因此，求函数在点的导数,可以先求它的导函数，再将代入中，求得函数在点的导数 注： 通常情况下，导函数也简称为导数例5 求函数的导数提示：该题的导数就是导函数解： 即 所以，常数的导数等于零小结：用定义求导数，可分为以下三个步骤： (1)求增量 给自变量以增量,求出对应的函数增量 (2)算比值 计算出两个增量的比值 (3)取极限 对上式两端取极限 例6 求函数 (0，0)的导数解 (1)求增量：(2)算比值： (3)取极限：令，则，且当时由此得即 特别地，当=e时， ln e=1，则 上式表明，以e为底的指数函数的导数就是它自己，这是以e为底的指数函数的一个重要特性要求同学课后论证： （参考书上例7，例8）4导数的几何意义结合图21，函数在点处的导数是曲线的点处的切线的斜率由点斜式得曲线上点处切线方程：法线方程为 （o）例9 求曲线在点(1,1)处的切线方程和法线方程分析：关键是求出曲线在点(1,1)处的切线的斜率，而法线与切线垂直即知法线斜率与切线斜率互为负倒数关系，从而求出法线斜率，再用点斜式分别得切线方程和法线方程解 因为,所以曲线在点(1,1)处的切线的斜率为所以，所求切线方程为 即 所求法线的斜率为 于是所求法线方程为 即 5函数的可导性与连续性的关系提问:函数处连续与可导吗?(画图分析, 连续则不可导)定理 如果函数在点处可导，则函数在点处连续证：因在点处可导，所以由于 所以 于是函数在点处连续6、小结本次课内容: 本次课主要讲解了：（1）导数的概念（2）导数几何意义：k=（3）可导与连续的关系:可导 连续课时教学计划表授课日期： 教案编号： 第二章02课程名称班级专业、层次高等数学课程类型：理论授课形式：讲授教学资源多媒体授课题目（章、节）2.2 函数的和、差、积、商的导数， 2.3复合函数的求导法则教材和主要参考书高等数学教学目的与要求：掌握函数的和、差、积、商的求导法则. 复合函数的求导法则.能熟练,灵活应用法则求函数的导数。教学重点和难点： 重点：函数的和、差、积、商的求导法则.及其相应满足的条件难点：复合函数的求导法则教学内容与时间安排：（2课时）1、函数和、差、积、商的求导法则2、复合函数的求导法则3、小结本次课内容思考题与作业（含课内抽问互动环节）：习题22 1（1），（2），（7），2（2），4 习题23 1（1）(2)(4)(6), 2(1)(3)课后体会： 第二章 导数与微分引入:大家知道,用导数的定义求导数是比较困难的,我们能否寻求更简便的求导数的方法呢?在本次学习中将学习函数的和、差、积、商的求导法则及复合函数的求导法则1.函数和、差、积、商的求导法则由导数定义，可以推导出函数和、差、积、商的求导法则假设的导数均存在,则法则一 法则二 法则三这里仅证法则二证 设自变量增量,则函数,及的对应增量分别为 (1) (2) (3)由(1)、(2)式得，将它们代人(3)式，得 于是 因为u=，)在点处可导，即 且由于在点可导的函数在该点必须连续，即 .所以即函数在点处可导，且简记为 由此得函数积的求导法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子再加上第一个因子乘第二个因子的导数特别地，当=(为常数)时，由于常数的导数为0，则得 积的求导法则可以推广到有限多个函数之积的情形如，例1设，求及分析:该函数可看成三个函数u= v= w=和差，且该三个函数都可导，可以用法则一求导。解 例2 求的导数。分析：该函数可看成由两个函数u= ，v= 的乘积，且两个函数都可导，于是可用法则二求导。解 根据积的求导法则，得例3.求的导数解解:由乘法法则得：例4 求曲线 在点(1,2)的切线方程。分析：该题的关键是求出该曲线当x=1时的斜率，即先求该函数当x=1时的导数。 先化简，再由法则一求导。解 在求一个函数的导数时，应先化简再求导，可以简化求导过程。因为 所以 ，于是，曲线在点（1，2）处的切线方程为，即 思考:该题还有其它方法妈? 也可将 该函数可看成u= 与v= 的商，再,由法则三求导。最后由点斜式求出切线方程。但该方法较难, 一般不用该方法.注：能用法则一，二求导的尽量不用法则三例5 求函数的导数分析:该题若用定义求导数难度比较大,若把它变形然后用法则三求其导数比较简单即 课后论证:正切函数的导数的公式: 正割函数的导数公式: 余割函数的导数公式:2.复合函数的求导法则 定理 如果函数在点x处可导,而函数在对应点处可导，则复合函数在点处可导，且其导数为证 略 由此得复合函数求导法则：两个可导函数的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数 复合函数的求导法则也称为链式法则，它可以推广到多个变量的情形例如，如果 , 且它们都可导，则 例6 求函数的导数分析:可以看作由复合而成，又于是,利用复合函数的求导法则即可求导解:例7 求函数的导数分析: 可看作由复合而成，因为所以利用可以求复合函数的求导法则即可求导出其导数.解例8求函数的导数分析: 可看作由复合而成，于是用复合函数的求导 法则即可求其导数解: 从以上几例可以看出，应用复合函数求导法求导时，关键是将函数分解为可以求导的若干个简单函数的复合在熟练了以后，中间变量可以不写出来，从外到内逐层求导，一直求到对自变量的导数为止例9 求函数的导数解 例10 求函数的导数解 例11求函数的导数解 因为 所以 补证幂函数的导数公式： 证 因为 所以 3、小结本次课内容:(1)函数和、差、积、商的求导法则法则一 法则二 法则三(2)复合函数的求导法则 课时教学计划表授课日期： 教案编号： 第二章03课程名称班级专业、层次高等数学课程类型：理论授课形式：讲授教学资源多媒体授课题目（章、节）2.4 隐函数的导数教材和主要参考书高等数学教学目的与要求：了解隐函数的概念,掌握求隐函数的导数方法.教学重点和难点： 重点：隐函数概念难点：求隐函数的导数教学内容与时间安排：（2课时）1、显函数定义2、隐函数的定义3、隐函数的求导法则4、小结本次课内容思考题与作业（含课内抽问互动环节）：习题24 1（1），2（1），3（1），4（1），5课后体会： 第二章 导数与微分引入: 前面从定义出发可以求出基本函数的导数,再用函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则可以求出简单的初等函数的的导数,推导出一些基本的求导数公式,例如 , 等.然而有些特殊形式的函数的导数以上的方法就不能求出其导数了.例如由方程确定的隐函数y = f (x) 的导数。下面介绍隐函数.显函数及隐函数的求导方法.1、显函数定义：前边我们研究函数都是假设它可以表示为y = f (x) 的形式，能表达成这种形式的函数我们称之为显函数。例如提问:不是所有的函数都可以表示为显函数?例如：方程可化为显函数.方程就无法将表示成的显函数时变量之间的函数关系不能表示为的形式，而是由某个方程确定。2、隐函数的定义：我们把由方程=0所确定的函数叫作隐函数思考：有时可以将隐函数化为显函数的形式，但通常将隐函数化为显函数是比较困难的，甚至无法将隐函数化为显函数怎样求隐函数的导数呢?在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数因此，我们希望有一种方法，无论隐函数能否化为显函数的形式，都能直接由方程求出它所确定的隐函数的导数来3隐函数的求导法则下面以例子说明求导法则例1 求由方程所确定的隐函数的导数 解 在方程中,将看作的函数,则是的复合函数.因此,利用复合函数的求导法则，方程两端同时对求导数，得，从上式中解出，得注意 上述结果中的仍然是由方程戈所确定的隐函数习惯上对隐函数求导，结果允许用带有的式子表示 例1表明，求隐函数的导数时,只需在方程中,将看作的函数,的表达式看作的复合函数,利用复合函数的求导法则，方程两端同时对求导,得到一个关于，y，的方程，从中解出，即得所求隐函数的导数例2 求方程确定的隐函数y = f (x) 的导数。解 等式两端对x求导数，得， ，即有 ，）解得 .例3 求由方程所确定的隐函数的导数 解 方程两端对求导数，得解得 例4求椭圆在点()处的切线方程解 由导数的几何意义知，所求切线斜率为.椭圆方程两边对求导，得 解出，得 将=2，代入上式,得，于是所求切线方程为 ,即 例5 求幂指函数 (0)的导数解 两边取对数，得两边对求导，得 . 整理，得. 上题中，先取对数，再利用隐函数的求导法求导，这种方法叫作对数求导法一般地，幂指函数可以用对数求导法求导，也可以将幂指函数写成 ，再用复合函数求导法求导例6 求 (0)的导数解 .对数求导法，对由多个因子通过乘、除、乘方或开方所构成的比较复杂的函数的求导也是很方便的例 7 求函数的导数解 两边取对数，得两边对求导数，得即例8 求函数的导数解 根据反正弦函数的定义，函数可化为两边对求导数，得即 因为当时，0，所以于是，得 课后要求：证明4、小结本次课内容: (1)显函数定义 y=f(x)(2)隐函数的定义 F(x,y)=0(3)隐函数的求导法则(4)特殊题型要先变形用隐函数的求导方法求解课时教学计划表授课日期： 教案编号： 第二章04课程名称班级专业、层次高等数学课程类型：理论授课形式：讲授教学资源多媒体授课题目（章、节）2.5初等函数的导数教材和主要参考书高等数学教学目的与要求：能熟练计算初等函数的导数教学重点和难点： 重点：导数的基本公式, 函数的和、差、积、商的求导法则, 复合函数的求导法则等的灵活应用难点：应用复合函求导法则求初等函数的导数教学内容与时间安排：（2课时）1、导数的基本公式2、函数的和、差、积、商的求导法则3、复合函数的求导法则4、小结本次课内容思考题与作业（含课内抽问互动环节）：1（1）（9），2（1），3(1),4(1), 5课后体会： 第二章 导数与微分引入: 前虽然学习了基本的求导公式和基方法,但还需要练习熟悉,灵活应用,归纳总结1 请学生上黑板写公式:导数的基本公式2请学生上黑板写公式:函数的和、差、积、商的求导法则设是可导函数，是常数，则3复合函数的求导法则设都是可导函数，则复合函数的导数为例1 设，求.分析:该题要用幂函数,指数函数,对数函数,常函数求导公式,再用求导四则运算公式解 = = =例2设求.分析:该题要分析结构,它是由复合而成解 (1)利用复合函数求导法则，有代回还原得在基本掌握复合函数求导法则后，也可以不写出中间变量，如下解法： 例3 设，求解 例4 设，求分析:该题是由 复合而成解 4、小结本次课内容1）、导数的基本公式 共16个2）、函数的和、差、积、商的求导法则： 3）、复合函数的求导法则：课时教学计划表授课日期： 教案编号： 第二章05课程名称班级专业、层次高等数学课程类型：理论授课形式：讲授教学资源多媒体授课题目（章、节）2. 高阶导数教材和主要参考书高等数学教学目的与要求：了解高阶导数的概念，掌握求高阶导数的方法教学重点和难点： 重点：高阶导数的概念难点：求高阶导数的方法教学内容与时间安排：（2课时）1、二阶导数2、阶导数3、高阶导数4、例题分析讲解5、小结本次课内容思考题与作业（含课内抽问互动环节）：1（1）（3），2（1），4（1），6（1）课后体会： 第二章 导数与微分 引入: 有的函数可以多次求导,下面介绍有关概念,学习高阶导数.1.二阶导数: 一般地，如果函数的导函数仍然可导，则我们把的导数叫作函数的二阶导数，记作或，即 2. 阶导数: 类似地，函数的二阶导数的导数叫作的三阶导数，三阶导数的导数叫作四阶导数,一般地,的(-l)阶导数的导数叫作的阶导数，分别记作或或 3. 高阶导数: 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数 例如，若质点的运动方程，则物体的运动速度为，或，而加速度是速度对时间的变化率，即是速度对时间的导数：或，由上可见，加速度是的二阶导函数的导数。提问:怎样求高阶导数呢? 由高阶导数的定义知，求函数的高阶导数，只需多次连续地求导数即可，因此仍可应用前面的求导方法进行计算下面通过对例题的分析讲解学会求高阶导数的方法4例题分析讲解例1 求函数 (，c为常数)的二、三、四阶导数 解 对依次求导，得 例2 设解: 例3 验证函数 (为常数)满足关系式：证 因为 所以 例4 求由方程所确定的隐函数的二阶导数解 方程两端对求导，并注意到是的函数，得 解得 式两端同时对求导，得 从解出二阶导数，得再将代入，得下面介绍几个初等函数的阶导数例5 求的阶导数解 一般地，可得例6 求的阶导数解 一般地，可得 类似 可求的阶导数为例7 求的阶导数解 一般地，可得：例8 求 (为任意常数)的阶导数解 一般地，可得特殊地，当 (为正整数)时，得到 注:求函数的阶导数关键是寻找规律 例9 已知物体作直线运动的方程是(都是常数),求物体运动的加速度 解 因为 所以，物体运动的加速度例10 已知物体的运动方程为,其中都是常数.求物体运动的加速度解 因为， 所以，物体运动的加速度为5小结:本次课主要讲解了高阶导数,要求了解高阶导数的概念，掌握求高阶导数的方法.课时教学计划表授课日期： 教案编号： 第二章06课程名称班级专业、层次高等数学课程类型：理论授课形式：讲授教学资源多媒体授课题目（章、节）2.7 函数的微分教材和主要参考书高等数学教学目的与要求：解微分的概念及几何意义,掌握微分公式及微分运算法则和微分在近似值中的应用教学重点和难点： 重点：微分公式及微分运算法则难点：微分在近似值中的应用教学内容与时间安排：（2课时）1、微分的定义2、微分的几何意义3、微分公式与微分运算法则4、微分在近似计算中的应用5、小结本次课内容思考题与作业（含课内抽问互动环节）：1（1），2（3），3，4，6（1），7课后体会： 第二章 导数与微分引入: 设函数在点处可导，即 存在根据有极限的函数与无穷小的关系，得 其中是当时的无穷小将上式两端同乘以，是当时比高阶的无穷小量从而有近似公式 我们 把称为的线性主部，并叫作函数在点处的微分1. 微分的定义: 设函数在点处可导，则叫作函数在点处的微分， 记作 即 此时，也称函数在点处可微 例如，函数在点处的微分是 函数的微分是 很明显，函数的微分的值由和两个独立变化的量确定例1 求函数当时的增量及微分解 函数的增量为 0.120 601因为函数在点的微分是 所以，将代入上式，得 由上例结果可以看出，,误差是0.000 601思考:函数的微分? ,规定:自变量的微分于是，函数的微分又可写成从而有因此,导数也叫作微商 可以看出，如果已知函数的导数，则由可求出它的微分;反之，如果已知函数的微分，则由可求得它的导数因此，可导与可微是等价的我们把求导数和求微分的方法统称为微分法 注意 求函数的导数和微分的运算虽然可以互通，但它们的含义不同一般地说，导数反映了函数的变化率，微分反映了自变量微小变化时函数的改变量2.微分的几何意义如图23所示，从图中可以看出设过点的切线与相交于点，则的斜率 所以，函数在点的微分 因此，函数在点的微分就是曲线在点()处的切线的纵坐标对应于的增量 由图23还可以看出，当且很小时,比小得多因此，在点的邻近，可以用切线段来近似代替曲线段3微分公式与微分运算法则 从函数微分的定义可以知道，计算函数的微分，只要先求出函数的导数，然后乘以自变量的微分即可因此，从导数的基本公式和运算法则，就可以直接推出微分的基本公式和运算法则 微分的基本公式函数和、差、积、商的微分法则其中都是x的函数，为常数下面只证乘积的微分法则证 根据微分的定义，有因为 所以 又因为 所以 类似地，可证明其他法则注：上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处。复合函数的微分法则 与复合函数的 求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下：设及都可导，则复合函数的微分为由于，所以，复合函数的微分公式也可以写成或。由此可见，无论是自变量还是另一个变