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第10章 多 项 式10.1 根 找出多项式的根，即多项式为零的值，可能是许多学科共同的问题，。MATLAB求解这个问题，并提供其它的多项式操作工具。在MATLAB里，多项式由一个行向量表示，它的系数是按降序排列。例如，输入多项式x412x30x225x116 p=1 -12 0 25 116p = 1 -12 0 25 116 注意，必须包括具有零系数的项。除非特别地辨认，MATLAB无法知道哪一项为零。给出这种形式，用函数roots找出一个多项式的根。 r=roots(p)r = 11.7473 2.7028 -1.2251 + 1.4672i -1.2251 - 1.4672i 因为在MATLAB中，无论是一个多项式，还是它的根，都是向量，MATLAB按惯例规定，多项式是行向量，根是列向量。给出一个多项式的根，也可以构造相应的多项式。在MATLAB中，命令poly执行这个任务。 pp=poly(r)pp = 1.0e+002 * Columns 1 through 4 0.0100 -0.1200 0.0000 0.2500 Column 5 1.1600 + 0.0000i pp=real(pp) %throw away spurious imaginary partpp = 1.0000 -12.0000 0.0000 25.0000 116.0000 因为MATLAB无隙地处理复数，当用根重组多项式时，如果一些根有虚部，由于截断误差，则poly的结果有一些小的虚部，这是很普通的。消除虚假的虚部，如上所示，只要使用函数real抽取实部。10.2 乘法 函数conv支持多项式乘法(执行两个数组的卷积)。考虑两个多项式a(x)=x32x23x4和b(x)= x34x29x16的乘积： a=1 2 3 4 ; b=1 4 9 16; c=conv(a , b)c = 1 6 20 50 75 84 64 结果是c(x)=x66x520x450x375x284x64。两个以上的多项式的乘法需要重复使用conv。10.3 加法 对多项式加法，MATLAB不提供一个直接的函数。如果两个多项式向量大小相同，标准的数组加法有效。把多项式a(x)与上面给出的b(x)相加。 d=a+bd = 2 6 12 20 结果是d(x)= 2x36x212x20。当两个多项式阶次不同，低阶的多项式必须用首零填补，使其与高阶多项式有同样的阶次。考虑上面多项式c和d相加： e=c+0 0 0 de = 1 6 20 52 81 96 84 结果是e(x)= x66x520x452x381x296x84。要求首零而不是尾零，是因为相关的系数象x幂次一样，必须整齐。 如果需要，可用一个文件编辑器创建一个函数M文件来执行一般的多项式加法。精通MATLAB工具箱包含下列实现：function p=mmpadd(a,b)% MMPADD Polynomial addition.% MMPADD(A,B) adds the polynomial A and B% Copyright (c) 1996 by Prentice Hall,Inc.if nargin2 error( Not enough input arguments )enda=a(:). ; % make sure inputs are polynomial row vectorsb=b(:). ;na=length(a) ; % find lengths of a and bnb=length(b) ;p=zeros(1,nb-na) a+zeros(1,na-nb) b ; % add zeros as necessary 现在，为了阐述mmpadd的使用，再考虑前一页的例子。 f=mmpadd(c,d)f = 1 6 20 52 81 96 84 它与上面的e相同。当然，mmpadd也用于减法。g=mmpadd(c , -d)g = 1 6 20 48 69 72 44 结果是g(x)= x66x520x448x369x272x44。10.4 除法 在一些特殊情况，一个多项式需要除以另一个多项式。在MATLAB中，这由函数deconv完成。用上面的多项式b和c q , r=deconv(c , b)q = 1 2 3 4r = 0 0 0 0 0 0 0 这个结果是b被c除，给出商多项式q和余数r，在现在情况下r是零，因为b和q的乘积恰好是c。10.5 导数 由于一个多项式的导数表示简单，MATLAB为多项式求导提供了函数polyder。 gg = 1 6 20 48 69 72 44 h=polyder(g)h = 6 30 80 144 138 7210.6 估值 根据多项式系数的行向量，可对多项式进行加，减，乘，除和求导，也应该能对它们进行估值。在MATLAB中，这由函数polyval来完成。 x=linspace(-1, 3) ; % choose 100 data points between -1and 3. p=1 4 -7 -10 ; % uses polynomial p(x) = x34x27x10 v=polyval(p , x) ; 计算x值上的p(x)，把结果存在v里。然后用函数plot绘出结果。 plot(x , v),title( x3+4x2-7x-10 ), xlabel( x )图10.1 多项式估值10.7 有理多项式 在许多应用中，例如富里哀(Fourier)，拉普拉斯(Laplace)和Z变换，出现有理多项式或两个多项式之比。在MATLAB中，有理多项式由它们的分子多项式和分母多项式表示。对有理多项式进行运算的两个函数是residue和polyder。函数residue执行部分分式展开。 num=10*1 2 ; % numerator polynomial den=poly(-1; -3; -4) ; % denominator polynomial res, poles, k=residue(num, den)res = -6.6667 5.0000 1.6667poles = -4.0000 -3.0000 -1.0000k = 结果是余数、极点和部分分式展开的常数项。上面的结果说明了该问题： 这个函数也执行逆运算。 n, d=residue(res, poles, k)n = 0.0000 10.0000 20.0000d = 1.0000 8.0000 19.0000 12.0000 roots(d)ans = -4.0000 -3.0000 -1.0000 在截断误差内，这与我们开始时的分子和分母多项式一致。residue也能处理重极点的情况，尽管这里没有考虑。 正如前面所述，函数polyder，对多项式求导。除此之外，如果给出两个输入，则它对有理多项式求导。 b , a=polyder(num , den)b = -20 -140 -320 -260a = 1 16 102 328 553 456 144 该结果证实： 10.8 M文件举例 本章说明了在精通MATLAB工具箱 中两个函数。这些函数说明了本章所论述的多项式概念和如何写M文件函数。关于M文件的更多信息，参阅第8章。 在讨论M文件函数的内部结构之前，我们考虑这些函数做些什么。 n % earlier datan = 0.0000 10.0000 20.0000 b % earlier datab = -20 -140 -320 -260 mmpsim(n) % strip away negligible leading termans = 10.0000 20.0000 mmp2str(b) % convert polynomial to stringans =-20s3 - 140s2 - 320s1 - 260 mmp2str(b , x ) ans =-20x3 - 140x2 - 320x1 - 260 mmp2str(b , , 1) ans =-20*(s3 + 7s2 + 16s1 + 13) mmp2str(b , x , 1) ans =-20*(x3 + 7x2 + 16x1 + 13) 这里函数mmpsim删除在多项式n中近似为零的第一个系数。函数mmp2str把数值多项式变换成等价形式的字符串表达式。该两个函数的主体是：function y=mmpsim(x,tol)% MMPSIM Polynomial Simplification,Strip Leading Zero Terms.% MMPSIM(A) Delets leading zeros and small coefficients in the % polynomial A(s). Coefficients are considered small if their % magnitude is less than both one and norm(A)*1000*eps.% MMPSIM(A,TOL) uses TOL for its smallness tolerance.% Copyright (c) 1996 by Prentice-Hall,Inc.if nargin2, tol=norm(x)*1000*eps; endx=x(:). ; % make sure input is a row i=find(abs(x).99&abs(x)tol) ; % find insignificant indicesx(i)=zeros(1, length(i) ; % set them to zeroi=find(x=0) ; % find significant indicesif isempty(i) y=0 ; % extreme case: nothing left!else y=x(i(1) : length(x) ; % start with first termend % and go to end of polynomialfunction s=mmp2str(p,v,ff)% MMP2STR Polynomial Vector to String Conversion.% MMP2STR(P) converts the polynomial vector P into a string.% For example: P = 2 3 4 becomes the string 2s2 + 3s + 4 % MMP2STR(P,V) generates the string using the variable V% instead of s. MMP2STR(2 3 4, z ) becomes 2z2 + 3z + 4 % MMP2STR(P,V,1) factors the polynomial into the product of a% constant and a monic polynomial.% MMP2STR(2 3 4, ,1) becomes 2(s2 + 1.5s + 2) % Copyright (c) 1996 by Prentice-Hall,Inc.if nargin3, ff=0; end % factored form is Falseif nargin 2, v= s ; end % default variable is s if isempty(v), v= s ; end % default variable is s v=v(1) ; % variable must be scalar p=mmpsim(p) ; % strip insignificant termsn=length(p) ;if ff % put in factored form K=p(1) ; Ka=abs(K) ; p=p/K; if abs(K-1)1e-4 pp= ; pe= ; elseif abs(K+1)1e-4 pp= -( ; pe= ) ; elseif abs(Ka-round(Ka)=1e-5*Ka pp=sprintf( %.0f , K) *( ; pe= ) ; else pp=sprintf( %.4g , K) *( ; pe= ) ; endelse % not factored form K=p(1); pp=sprintf( %.4g , K) ; pe= ;endif n=1 % polynomial is just a constant s=sprintf( %.4g ,K); returnends=pp v sprintf( %.0f ,n-1); % begin string constructionfor i=2:n-1 % catenate center terms in polynomial if p(i)0, pm= - ; else, if p(i)